重庆市北碚区缙云教育联盟2024届高三上学期零诊数学试题（Word版附解析）

重庆缙云教育联盟2024年高考第零次诊断性检测数学试卷考生须知：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则“”是“”的（）A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（）A.且B.C.D.或3.某校在开展“深化五育并举、强大核心素养”活动中，选派了名学生到三个劳动实践点去劳动，每个劳动实践点至少1人，每名学生只能去一个劳动实践点，不同的选派方法种数有（）A.B.C.D.4.设函数，则使得成立的的取值范围为（）A.B.C.D.5.已知椭圆，直线，若椭圆上存在关于直线对称的两点，则实数m的取值范围是（  ）A.B.C.D. 6.已知，，，则（）A.B.C.D.7.若，且，则的最小值为（）A.B.C.D.8.17到19世纪间，数学家们研究了用连分式求解代数方程的根，并得到连分式的一个重要功能：用其逼近实数求近似值．例如，把方程改写成①，将再代入等式右边得到，继续利用①式将再代入等式右边得到……反复进行，取时，由此得到数列，，，，，记作，则当足够大时，逼近实数．数列的前2024项中，满足的的个数为（参考数据：）A.1007B.1009C.2014D.2018二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.在棱长为2正方体中，M为边的中点，下列结论正确的有（）A.与所成角的余弦值为B.过三点A、M、的截面面积为C.四面体的内切球的表面积为D.E是边的中点，F是边的中点，过E、M、F三点的截面是六边形．10.已知直线和三点，，，过点C的直线与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点．下列结论正确的是（）A.P在直线l上，则的最小值为 B.直线l上一点使最大C.当最小时的方程是D.当最小时的方程是11.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（）A.B.C.D.12.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为，平均数为;去掉的两个数据的方差为，平均数为﹔原样本数据的方差为，平均数为，若=，则下列说法正确的是（    ）A.B.C.剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数D.剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量的夹角为，向量，，则向量，夹角的余弦值为______.14.已知球的两个平行截面的面积分别为，且两个截面之间的距离是，则球的表面积为_________．15.已知的三个内角A、B、C所对应的边分别是a、b、c，其中A、C、B成等差数列，，，则的面积为________．16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则函数的值域为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求A； （2）若，求的面积．18.已知数列是等差数列，，记为数列前项和，且（1）求数列的通项公式；（2）若，求，.19.为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了如下频率分布表（不完整）：学生与最近食堂间的距离合计在食堂就餐0150.100.000.50点外卖0.200.000.50合计0.200.150.001.00并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为（同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）.（1）补全频率分布表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过时，认为较近，否则认为较远）：（2）已知该校李明同学的附近有两家学生食堂甲和乙，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.（i）一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明准备去食堂就餐.此时，记他选择去甲食堂就餐为事件，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件，且、均为随机事件，证明：：（ii）为迎接为期7天的校庆，甲食堂推出了如下两种优惠活动方案，顾客可任选其一.①传统型优惠方案：校庆期间，顾客任意一天中午去甲食堂就餐均可获得元优惠； ②“饥饿型”优惠方案：校庆期间，对于顾客去甲食堂就餐若干天（不必连续）中午，第一天中午不优惠（即“饥饿”一天），第二天中午获得元优惠，以后每天中午均获得元优惠（其中，为已知数且）.校庆期间，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均为（），且是否去甲食堂就餐相互独立.又知李明是一名“激进型”消费者，如果两种方案获得的优惠期望不一样，他倾向于选择能获得优惠期望更大的方案，如果两种方案获得的优惠期望一样，他倾向于选择获得的优惠更分散的方案.请你据此帮他作出选择，并说明理由.附：，其中.0.100.0100.0012.7066.63510.82820.已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，过曲线与轴的负半轴的交点作两条直线分别交曲线于点（异于），且直线，的斜率之积为.（1）求曲线的方程；（2）证明：直线过定点.21.如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥、、、，、分别为、的中点，．（1）证明：平面平面；（2）若与所成角为，求二面角的余弦值．22.已知函数．（1）求的最值； （2）若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围． 重庆缙云教育联盟2024年高考第零次诊断性检测数学试卷考生须知：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解不等式可得或，根据取值的范围大小即可知“”是“”的充分不必要条件.【详解】由不等式可得或；易知是或的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A2.如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（）A.且B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】根据题意复数为纯虚数，即得，从而求解. 【详解】由复数是纯虚数，得解得:.故选:C.3.某校在开展“深化五育并举、强大核心素养”活动中，选派了名学生到三个劳动实践点去劳动，每个劳动实践点至少1人，每名学生只能去一个劳动实践点，不同的选派方法种数有（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】按照先分组，再分配的方法，即可求解.【详解】将5名学生分成3组，3，1，1或是2，2，13，1，1的分组有种方法，2，2，1的分组有种方法，所以分组方法共有种，再分配到3个劳动点，则有种方法.故选：D4.设函数，则使得成立的的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】易得为偶函数，且在上单调递增，可将不等式化为，解不等式即可.【详解】因为为偶函数，且在上单调递增，因为，所以，即，所以，所以或故选：D. 5.已知椭圆，直线，若椭圆上存在关于直线对称的两点，则实数m的取值范围是（  ）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设椭圆上两点关于直线对称，则可设直线方程为，将其与椭圆方程联立，令，可算出的范围，又线段的中点也在直线上，结合韦达定理可以算出的关系式，从而得解.【详解】设，线段的中点，若此椭圆上存在不同两点关于直线对称，所以直线的方程可以设为，联立，化为，，解得，而，所以，即，代入直线可得，所以，即实数m的取值范围是.故选：D.6.已知，，，则（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数和余弦函数单调性得到，再构造函数，得到其单调性，得到，构造函数，求导得到其单调性，得到，结合对数函数单调性得到，比较出大小.【详解】因为，而在上单调递减，故，又在上单调递增，故，令，则在上恒成立，故在上单调递增，，故，即，故，又，令，则，当时，，单调递减，故，故，因为，所以，即，因为在上单调递增， 故，又，故，故故选：D【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小.7.若，且，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化简解析式，得函数最大最小值与周期，利用条件转化为与最值的关系，再由最值与周期的关系可得.【详解】，的周期为，且令，则，则，由的值域为，故，则，故，由知，，或.即为函数的最大与最小值，或最小与最大值，当对应图象上相邻两最值点时，的值最小， 故.故选：B.8.17到19世纪间，数学家们研究了用连分式求解代数方程的根，并得到连分式的一个重要功能：用其逼近实数求近似值．例如，把方程改写成①，将再代入等式右边得到，继续利用①式将再代入等式右边得到……反复进行，取时，由此得到数列，，，，，记作，则当足够大时，逼近实数．数列的前2024项中，满足的的个数为（参考数据：）A.1007B.1009C.2014D.2018【答案】D【解析】【分析】作差讨论的符号与的关系，结合可得，，然后讨论奇数项和偶数项的单调性，再验证前8项哪些满足题意，结合单调性即可解答.【详解】由题，，且前8项为1，2，，，，，，，，所以当时，；当时，．又，所以，. 因为，其中，所以，所以，，所以，，又因为，所以不满足的分别为，，，，，，.故选：D．【点睛】本题难点在于作差讨论的符号与的关系，从而得到，，这对学生的思维能力有很高的要求，不易想到，但结合本题目标分析，似乎又是理所当然.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.在棱长为2的正方体中，M为边的中点，下列结论正确的有（）A.与所成角的余弦值为B.过三点A、M、的截面面积为 C.四面体的内切球的表面积为D.E是边的中点，F是边的中点，过E、M、F三点的截面是六边形．【答案】AD【解析】【分析】对于A，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解；对于B，作出过三点A、M、的截面，即可求其面积；对于C，利用等体积法求出内切球的半径，即可求解；对于D，利用几何作图，作出过E、M、F三点的截面，即可判断.【详解】对于A，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，，则,则，与所成角的范围为，故与所成角的余弦值为，A正确；对于B，设N为的中点，连接MN，则，且，则梯形即为过三点A、M、的截面，，则梯形高为， 故梯形面积为为，B错误；对于C，如图，四面体的体积等于正方体体积减去四个角上的直三棱锥的体积，即，该四面体的棱长为，其表面积为，设四面体内球球半径为r，则，故四面体的内切球的表面积为，C错误；对于D，如图，延长ME和的延长线交于J，则≌，则，设H为的中点，则，连接HJ，则≌，则，故G为的中点，故，同理延长交于L，连接LH，交于K，K即为的中点，则K，E在确定的平面内，则六边形即过E、M、F三点的截面，是六边形，D正确，故选：AD 【点睛】难点点睛：本题综合考查了空间几何中的线线角、截面、以及内切球问题，难度较大，解答时要发挥空间想象能力，明确空间的位置关系，结合空间向量以及等体积法和几何作图解决问题.10.已知直线和三点，，，过点C的直线与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点．下列结论正确的是（）A.P在直线l上，则的最小值为B.直线l上一点使最大C.当最小时的方程是D.当最小时方程是【答案】BC【解析】【分析】对于A：求出点关于直线l的对称点，然后通过求最小值；对于B：通过，当三点共线时取最大值来求解；对于C：设，求出坐标，表示出，利用基本不等式求最小值；对于D：表示出，利用基本不等式求最小值.【详解】对于A：设点关于直线l的对称点为，则，解得，当三点共线时取最小值.A错误； 对于B：，当三点共线时取最大值，又，即，联立，解得，即直线l上一点使最大，B正确；对于C：设，当时，，当时，，即，，当且仅当，即时等号成立，此时，即，C正确；对于D：，当且仅当，即时等号成立， 此时，即，D错误.故选：BC.11.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（）A.B.CD.【答案】AC【解析】【分析】根据基本初等函数的奇偶性及单调性判断即可得解.【详解】函数是偶函数，又在区间上单调递减，故A符合；函数为奇函数，故B不符合；函数是偶函数，又在区间上单调递减，故C符合；函数定义域为，不关于原点对称，既不是奇函数，也不是偶函数，故D不符合．故选：AC．12.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为，平均数为;去掉的两个数据的方差为，平均数为﹔原样本数据的方差为，平均数为，若=，则下列说法正确的是（    ）A.B.C.剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数D.剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数【答案】ABD【解析】【分析】对于A选项，求出剩下的28个样本数据的和、去掉的两个数据和、原样本数据和，列出方程即可；对于B选项，写出和的表达式即可； 对于C选项，根据中位数定义判断即可；对于D选项，根据分位数定义判断即可.【详解】A.剩下的28个样本数据的和为，去掉的两个数据和为，原样本数据和为，所以，因为=，所以，故A选项正确；B.设，，因为，所以，所以，所以，故B选项正确；C.剩下28个数据的中位数等于原样本数据的中位数，故C选项错误；D.去掉2个数据，则剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量的夹角为，向量，，则向量，夹角的余弦值为______.【答案】##【解析】【分析】以，基底展开计算即可求解【详解】由题意，得，.而，所以.故答案为：14.已知球的两个平行截面的面积分别为，且两个截面之间的距离是，则球的表面积为_________． 【答案】【解析】【分析】先根据截面面积得到两个圆截面的半径，由于球的对称性，考虑两截面与球心的位置关系分别在球心的同侧和异侧两种情况，加以分类讨论.【详解】由球的截面为圆，设两个平行的截面圆的半径分别为，，球的半径为，因为，所以，又，所以，当两截面在球心的同侧时，，解得，球的表面积为；当两截面在球心的同侧时，，无解；综上，所求球的表面积为.故答案为：.15.已知的三个内角A、B、C所对应的边分别是a、b、c，其中A、C、B成等差数列，，，则的面积为________．【答案】##【解析】【分析】由题意首先得出，结合诱导公式、两角和差的正弦公式算出，进一步可以算出，结合以及正弦定理即可算出，最终根据三角形面积公式即可求解.【详解】因为A、C、B成等差数列，所以，即，又，所以，解得，则，因为，即，所以，又， 所以由正弦定理有，即，解得，所以的面积为.故答案为：.16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则函数的值域为______.【答案】【解析】【分析】根据高斯函数的定义，可得函数的图象，即可的解.【详解】由高斯函数的定义可得：当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，由图象知的值域为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求A；（2）若，求的面积．【答案】（1）； （2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合二倍角的正弦公式求解即得.（2）由（1）的结论，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算即得.【小问1详解】在中，由正弦定理、二倍角的正弦公式及，得．又，因此，而，所以．【小问2详解】由（1）知，由余弦定理得．而，则，，解得，所以的面积．18.已知数列是等差数列，，记为数列的前项和，且（1）求数列的通项公式；（2）若，求，.【答案】（1）（2），【解析】【分析】设数列的通项公式为：,根据与的关系及（1）求解出和,即可得的通项公式；（2）分奇偶对和进行讨论，再根据求解,.【小问1详解】设数列的首项为，公差为，则.， 由，故.因为，所以解得，，故.【小问2详解】当，时，,所以.当，时，，，所以由已知，故，不能同时为奇数或偶数，所以，为奇数与偶数.当为奇数，为偶数时，则，所以，，；当为偶数，为奇数时，则，所以，，.因为，所以，.19.为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了如下频率分布表（不完整）：学生与最近食堂间的距离合计在食堂就餐0.150.100.000.50点外卖0.200.000.50合计0.200.150.001.00 并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为（同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）.（1）补全频率分布表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过时，认为较近，否则认为较远）：（2）已知该校李明同学的附近有两家学生食堂甲和乙，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.（i）一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明准备去食堂就餐.此时，记他选择去甲食堂就餐为事件，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件，且、均为随机事件，证明：：（ii）为迎接为期7天的校庆，甲食堂推出了如下两种优惠活动方案，顾客可任选其一.①传统型优惠方案：校庆期间，顾客任意一天中午去甲食堂就餐均可获得元优惠；②“饥饿型”优惠方案：校庆期间，对于顾客去甲食堂就餐的若干天（不必连续）中午，第一天中午不优惠（即“饥饿”一天），第二天中午获得元优惠，以后每天中午均获得元优惠（其中，为已知数且）.校庆期间，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均为（），且是否去甲食堂就餐相互独立.又知李明是一名“激进型”消费者，如果两种方案获得的优惠期望不一样，他倾向于选择能获得优惠期望更大的方案，如果两种方案获得的优惠期望一样，他倾向于选择获得的优惠更分散的方案.请你据此帮他作出选择，并说明理由.附：，其中.0.100.0100.0012.7066.63510.828【答案】（1）频率分布表见解析，根据小概率值的独立性检验，可以认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（2）（i）证明见解析；（ii）当时，选择传统型优惠方案；当时，选择“饥饿型”优惠方案，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意补全频率分布表，然后计算，与临界值表对比即可；（2）（i）证法一：根据题意得到， ，然后结合条件概率公式得到，最后利用作差法和条件概率公式证明即可；证法二：根据题意得到，，然后结合条件概率公式得到，，最后利用作差法和条件概率公式证明即可；（ii）根据题意得到两种方案的优惠期望，然后分、和三种情况考虑即可.【小问1详解】（1）设组的频率为t，则组的频率为，估计学生与最近食堂间的平均距离，解得，故可补全频率分布表如下：学生与最近食堂间的距离合计在食堂就餐0.150.200.100.050.000.50点外卖0.050.200.150.100.000.50合计0.200400.250.150.001.00据此结合样本容量为2000可列出列联表如下：学生距最近食堂较近学生距最近食较堂远合计在食堂就餐7003001000点外卖5005001000合计12008002000零假设：学生中午的用餐情况与学生距最近食堂的远近无关.注意到. 据小概率值的独立性检验，推断不成立，即可以认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关.【小问2详解】（i）证法一：由题意得，，结合，.结合条件概率公式知，即.，即成立.证法二：由题意得，，所以，同理，于是，故，即成立.（ⅱ）设李明在校庆期间去食堂甲就餐的次数为，若选择传统型优惠方案获得的优惠为X元，若选择“饥饿型”优惠方案获得的优惠为Y元，则，，对，有，故， ，令，结合得，记为.若，则，，此时李明应选择“饥饿型”优惠方案；若，则，，此时李明应选择传统型优惠方案.若，则，.注意到，.因此，即.此时李明选择获得的优惠更分散的方案，即获得的优惠方差更大的方案，即“饥饿型”优惠方案.综上所述，当时，李明应选择传统型优惠方案；当时，李明应选择“饥饿型”优惠方案.20.已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，过曲线与轴的负半轴的交点作两条直线分别交曲线于点（异于），且直线，的斜率之积为. （1）求曲线的方程；（2）证明：直线过定点.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据设点代入即可得到曲线的方程；（2）先考虑斜率存在的情况，设直线联立，得到方程，进而得到过定点，再考虑斜率不存在的情况，也得到过该定点即可.【小问1详解】设，由，得，所以，两边平方并化简，得曲线的方程为.【小问2详解】由（1）得，设直线、的斜率分别为，，如图所示，当不垂直于轴时，设，联立，整理得，解得（舍）或，当时，，所以，同理得， 所以的斜率，因为，代入可得，故的方程为，即，故过定点；当轴时，设，则，所以，即，又因为，代入可得，解得或（舍），所以（或），所以的方程为，过点.综上，直线过定点21.如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥、、、，、分别为、的中点，． （1）证明：平面平面；（2）若与所成角为，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据，为的中点，得到，再由，利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；（2）以为原点，以为轴，为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，再由平面的一个法向量为，由求解.【小问1详解】证明：∵，是的中点，∴，又，，、平面，∴平面，∵平面，∴平面平面；【小问2详解】解：∵、、，∴，以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，连接，∵、，∴四边形为平行四边形，∴，∴是异面直线与所成的角，则，∴，则、、、，∴，设平面的法向量为，又、， ∴，令，则、，∴，又平面的法向量，设二面角的平面角为，经观察为钝角，∴．22.已知函数．（1）求的最值；（2）若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）首先对求导，利用导数研究函数的单调性，可得函数的最值；（2）构造函数，先将方程有两个不同的解的问题转化为函数有两个不同的零点问题．再对a进行分类讨论，根据函数单调性结合零点存在定理求解．【小问1详解】由题意可得：，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以的最小值为，无最大值． 【小问2详解】令，则，若方程有两个不同的解，则有两个不同的零点．（ⅰ）若，则，由得．当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为．①当时，，即，故没有零点，不满足题意；②当时，，只有一个零点，不满足题意；③当时，，即，当时，，，又因为，故，所以，又，故在上有一个零点．设，则，单调递增，所以，故当时，，又，所以，因此在上有一个零点，所以当时，有两个不同的零点，满足题意；（ⅱ）若，则由得，．①当时，，当时，；当时，；当时， ．所以在和上单调递减，在上单调递增．又，所以至多有一个零点，不满足题意；②当时，，则，所以单调递减，至多有一个零点，不满足题意；③当时，，当时，；当时，；当时，．所以在和上单调递减，在上单调递增，又，所以至多有一个零点，不满足题意；综上，实数a的取值范围为．【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法（1）直接法：直接根据题设条件对参数进行分类讨论，通过研究函数的零点情况来确定参数的取值范围．（2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题．（3）数形结合法：先对解析式变形，将函数的零点问题转化为两函数图象的交点问题，再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．