重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

重庆缙云教育联盟2023-2024学年（上）12月月度质量检测高一数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是第三象限角，且，则（）AB.C.D.2.下列命题中真命题有（）①②q：所有的正方形都是矩形③④A.1个B.2个C.3个D.4个3.若，则（）AB.C.D.4.若命题：，：，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.设，则是成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.已知，，，则最小值为（）A.3B.4C.5D.6 7.已知函数，若关于的方程有7个不同实数解则A.且B.且C.且D.且8.已知函数，若函数的零点个数恰为2个，则（）A.或B.C或D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.下列关系中，正确的有（）A.B.C.D.10.下列函数在上是减函数的是（）A.B.C.D.11.已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（）A.B.函数在上减函数C.D.不等式的解集为12.若关于的不等式的解集为，则的值可以是（）A.B.C.2D.1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数的单调递减区间为___________.14.设函数，则不等式的解集是___________.15.设，则“”是“”______的条件．（填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”）16.设函数存在最小值，则的取值范围是________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．（1）若集合A中仅有一个元素，求实数a的值；（2）若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；（3）若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．18.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，（1）求函数的解析式；（2）若函数，求函数的最小值.19.已知函数在上是增函数．求实数的取值范围．20.已知函数（）．（1）若在上的最大值为，求a的值；（2）证明：函数有且只有一个零点，且．21.汕头市某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件.（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？22.(1)已知,比较与的大小.(2)已知,求证:. 重庆缙云教育联盟2023-2024学年（上）12月月度质量检测高一数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是第三象限角，且，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由是第三象限角可判断，利用平方关系即可求解.【详解】解：因为是第三象限角，且，所以，故选：A.2.下列命题中真命题有（）①②q：所有的正方形都是矩形③④A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】利用判断全称量词命题、存在量词命题真假方法，逐一判断各个命题作答.【详解】恒成立，①是真命题；命题“所有的正方形都是矩形”正确，②是真命题； 恒成立，③是假命题；当时，对每一个整数y，都不是整数，④是假命题，所以真命题的个数是2.故选：B3.若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据，结合诱导公式和已知条件即求得结果.【详解】.故选：B4.若命题：，：，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：由得或，即或，所以由能够得到，由得不到，即推不出，推得出，所以是的必要不充分条件；故选：B5.设，则是成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性，可得出结论.【详解】因为为R上的减函数，是上的增函数，所以由可得（），由可得（），故是成立的必要不充分条件，故选：B【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，对数函数的单调性，必要不充分条件，属于中档题.6.已知，，，则的最小值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】【分析】由，，，所以，结合“1”的代换，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为，，，所以，则，当且仅当且，即时取等号，故选：B.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答合理构造基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，结合“1”的代换技巧是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7.已知函数，若关于的方程有7个不同实数解则A.且B.且C.且D.且【答案】A【解析】【详解】作出函数的图象，令，由图象可知有4个不等实根，时，有3个不相等的实数根，时无实根.题中原方程有且只有7个不等实根，即有两个实根，一根为0，另一根大于零，则，所以选A. 【点睛】涉及较复杂复合型的方程的根的个数问题解决方法是换元法，令，先画出函数的图象，根据根的个数判断原方程的根应该有几个，每个根应在哪个区间？问题转化为一元二次方程的根的分布问题，利用一元二次方程的根的分布列不等式，求出参数的取值范围.8.已知函数，若函数的零点个数恰为2个，则（）A.或B.C.或D.【答案】A【解析】【分析】首先将函数的零点个数恰为个，等价于与有个交点.再画出与的图像，结合图像即可.【详解】函数的零点个数恰为个，与有个交点.当时，，当时，，当时，.……故与的图像如下： 根据图像可得：或，解得：或.故选：A【点睛】本题主要考查函数的零点问题，熟练画出函数的图像为解题的关键，属于难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.下列关系中，正确的有（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据元素与集合的关系可判断ABC选项；根据集合与集合的关系可判断D选项.【详解】，，，方程无解，，ABD对，C错.故选：ABD.10.下列函数在上是减函数的是（）A.B.C.D.【答案】BCD 【解析】【分析】由各选项对应函数在上的单调性判断正误即可.【详解】A选项，函数在R上递增函数，故A错误；B选项，函数在上单调递减，在上单调递增，故B正确；C选项，函数在，上单调递减，故C正确；D选项，函数在上单调递减，在上单调递增，故D正确.故选：BCD11.已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（）A.B.函数在上是减函数C.D.不等式解集为【答案】ABD【解析】【分析】利用赋值法求得，判断A；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B；利用，可求得C中式子的值，判断C；求出，将转化为，即可解不等式组求出其解集，判断D.【详解】对于A，令，得，所以，故A正确；对于B，令，得，所以，任取，且，则， 因为，所以，所以，所以在上是减函数，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，因为，且，所以，所以，所以等价于，又在上是减函数，且，所以，解得，即不等式的解集为，故D正确,故选：ABD．12.若关于的不等式的解集为，则的值可以是（）A.B.C.2D.1【答案】BC【解析】【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可. 【详解】因为不等式的解集为，所以二次函数的对称轴为直线，且需满足，即，解得，所以，所以，所以，故的值可以是和，故选：BC【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的单调递减区间为___________.【答案】(或都对)【解析】【分析】利用复合函数的单调性，同增异减，即可得到答案；【详解】令，则，在单调递减，在单调递增，根据复合函数的单调性可得：在单调递减，故答案为：.14.设函数，则不等式的解集是___________.【答案】【解析】【分析】由解析式可得图象，根据图象可确定自变量的大小关系，解不等式组可求得结果.【详解】函数的图象如图所示， 由图象可知：要满足不等式，则，解得：.故答案为：.15.设，则“”是“”______的条件．（填写“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”）【答案】必要不充分【解析】【分析】分别求出不含参的一元二次不等式和分式不等式的解集，再结合充分必要条件的判定即可.【详解】由，得，由，得，解得，所以Ý，所以“”“”，反之不成立.所以“”是“”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分16.设函数存在最小值，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据题意分，，和四种情况结合二次函数的性质讨论即可》 【详解】①当时，，故函数在上单调递增，因此不存在最小值；②当时，，当时，，故函数存在最小值；③当时，，故函数在上单调递减，当时，；当时，.若，则不存在最小值，故，解得.此时满足题设；④当时，，故函数在上单调递减，当时，；当时，.因为，所以，因此不存在最小值.综上，的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．（1）若集合A中仅有一个元素，求实数a的值；（2）若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；（3）若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．【答案】（1）a＝0或a＝；（2）且；（3）或【解析】【分析】（1）将问题转化为方程有一个根，分两种情况讨论即可；（2）将问题转化为方程有两个根，即可根据求得结果；（3）分两种情况进行分类讨论，列出不等式即可求得结果. 【详解】（1）当a＝0时，x＝，符合题意；当a≠0时，＝(－3)2－4a＝0，解得a＝.综上，集合A中仅含有一个元素时，a＝0或a＝.（2）集合A中含有两个元素，即关于x的方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数解，所以a≠0，且＝(－3)2－4a>0，解得a<且a≠0，所以实数a的取值范围为且（3）当a＝0时，x＝，符合题意；当a≠0时，＝(－3)2－4a≤0，即a≥.所以实数a的取值范围为或.【点睛】本题考查由集合的元素个数求参数的范围，属基础题.18.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，（1）求函数的解析式；（2）若函数，求函数的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）设，则，进而根据偶函数性质求解析式即可；（2）由题知，进而分，，三种情况讨论求解.【详解】解:(1)设，则，因为是定义在上的偶函数，且当时，，所以，所以(2)，对称轴方程为， 当，即时，在上单调递增,为最小值；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，为最小值；当，即时，在上单调递减,为最小值．综上，19.已知函数在上是增函数．求实数取值范围．【答案】a的取值范围是．【解析】【分析】设，根据函数在区间上单调递增，即，即可得到，再根据的取值范围即可得解；【详解】解：设，所以因为函数在上是增函数，所以.因为，所以，即因为，，所以，所以.所以的取值范围是【点睛】本题考查根据函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题.20.已知函数（）．（1）若在上的最大值为，求a的值；（2）证明：函数有且只有一个零点，且．【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由在上递增，可得，从而可求出a的值，（2）由函数的单调性和零点存在性定理可证得函数有且只有一个零点，方法一：由，可得，再由，可得，则，再结合可证得结论，方法二：由得，再结单调性可得，从而可证得，由在单调递增，可得，从而可得结论【小问1详解】因为函数和在上递增，所以在上递增，又因为在上的最大值为，所以，因为，所以解得；【小问2详解】证明：因为，所以，所以在上不存在零点．由（1）得在上单调递增，且，所以在上有唯一零点，且方法一：因为，所以，，因为，所以，所以，， 由于，所以因为，所以，得证．方法二：因为，有所以因为在单调递减，所以当时，有，所以有，即因为在单调递增，所以所以21.汕头市某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件.（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？【答案】（1）2400（元）；（2）应将售价定为125元，最大销售利润是2500元.【解析】【分析】（1）由销售利润=单件成本×销售量，即可求商家降价前每星期的销售利润；（2）由题意得，根据二次函数的性质即可知最大销售利润及对应的售价.【详解】（1）由题意，商家降价前每星期的销售利润为（元）；（2）设售价定为元，则销售利润.当时，有最大值2500.∴应将售价定为125元，最大销售利润是2500元. 22.(1)已知,比较与的大小.(2)已知,求证:.【答案】(1)(2)见解析【解析】【分析】(1)计算得到答案.(2)根据，得到，再根据得到证明.【详解】(1).∵,∴.∴∴.(2)∵,∴,∴,∴.∵∴.【点睛】本题考查了比较式子的大小，证明不等式，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.