重庆市缙云教育联盟2023-2024学年高三上学期第零次诊断性检测数学试题（Word版附解析）

2024CEE-00数学重庆缙云教育联盟2024年高考第零次诊断性检测数学试卷考生须知：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（    ）A．且B．C．D．或3．某校在开展“深化五育并举、强大核心素养”活动中，选派了名学生到三个劳动实践点去劳动，每个劳动实践点至少1人，每名学生只能去一个劳动实践点，不同的选派方法种数有（    ）A．B．C．D．4．设函数，则使得成立的的取值范围为（    ）A．B．C．D．5．已知椭圆，直线，若椭圆上存在关于直线对称的两点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知，，，则（    ） A．B．C．D．7．若，且，则的最小值为（    ）A．B．C．D．8．17到19世纪间，数学家们研究了用连分式求解代数方程的根，并得到连分式的一个重要功能：用其逼近实数求近似值．例如，把方程改写成①，将再代入等式右边得到，继续利用①式将再代入等式右边得到……反复进行，取时，由此得到数列，，，，，记作，则当足够大时，逼近实数．数列的前2024项中，满足的的个数为（参考数据：）A．1007B．1009C．2014D．2018二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。9．在棱长为2的正方体中，M为边的中点，下列结论正确的有（    ）A．与所成角的余弦值为B．过三点A、M、的截面面积为C．四面体的内切球的表面积为D．E是边的中点，F是边的中点，过E、M、F三点的截面是六边形．10．已知直线和三点，，，过点C的直线与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点．下列结论正确的是（     ）A．P在直线l上，则的最小值为B．直线l上一点使最大C．当最小时的方程是 D．当最小时的方程是11．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（    ）A．B．C．D．12．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为，平均数为;去掉的两个数据的方差为，平均数为﹔原样本数据的方差为，平均数为，若=，则下列说法正确的是（）A．B．C．剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数D．剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知单位向量的夹角为，向量，，则向量，夹角的余弦值为.14．已知球的两个平行截面的面积分别为，且两个截面之间的距离是，则球的表面积为．15．已知的三个内角A、B、C所对应的边分别是a、b、c，其中A、C、B成等差数列，，，则的面积为．16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则函数的值域为.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．(1)求A；(2)若，求的面积． 18．已知数列是等差数列，，记为数列的前项和，且(1)求数列的通项公式；(2)若，求，.19．为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了如下频率分布表（不完整）：学生与最近食堂间的距离合计在食堂就餐0.150.100.000.50点外卖0.200.000.50合计0.200.150.001.00并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为（同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）.(1)补全频率分布表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过时，认为较近，否则认为较远）：(2)已知该校李明同学的附近有两家学生食堂甲和乙，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐.（i）一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明准备去食堂就餐.此时，记他选择去甲食堂就餐为事件，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件，且、均为随机事件，证明：：（ii）为迎接为期7天的校庆，甲食堂推出了如下两种优惠活动方案，顾客可任选其一.①传统型优惠方案：校庆期间，顾客任意一天中午去甲食堂就餐均可获得元优惠；②“饥饿型”优惠方案：校庆期间，对于顾客去甲食堂就餐的若干天（不必连续）中午，第一天中午不优惠（即“饥饿”一天），第二天中午获得元优惠，以后每天中午均获得元优惠（其中，为已知数且 ）.校庆期间，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均为（），且是否去甲食堂就餐相互独立.又知李明是一名“激进型”消费者，如果两种方案获得的优惠期望不一样，他倾向于选择能获得优惠期望更大的方案，如果两种方案获得的优惠期望一样，他倾向于选择获得的优惠更分散的方案.请你据此帮他作出选择，并说明理由.附：，其中.0.100.0100.0012.7066.63510.82820．已知点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，过曲线与轴的负半轴的交点作两条直线分别交曲线于点（异于），且直线，的斜率之积为.(1)求曲线的方程；(2)证明：直线过定点.21．如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥、、、，、分别为、的中点，．(1)证明：平面平面；(2)若与所成角为，求二面角的余弦值． 22．已知函数．(1)求的最值；(2)若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围.2024CEE-00数学重庆缙云教育联盟2024年高考第零次诊断性检测数学参考答案及评分标准1．A2．C3．D4．D5．D6．D【分析】根据正弦函数和余弦函数单调性得到，再构造函数，得到其单调性，得到，构造函数，求导得到其单调性，得到，结合对数函数单调性得到，比较出大小.7．B【分析】化简解析式，得函数最大最小值与周期，利用条件转化为与最值的关系，再由最值与周期的关系可得.8．D【分析】作差讨论的符号与的关系，结合可得，，然后讨论奇数项和偶数项的单调性，再验证前8项哪些满足题意，结合单调性即可解答.9．AD10．BC11．AC【分析】根据基本初等函数的奇偶性及单调性判断即可得解.12．ABD【分析】对于A选项，求出剩下的28 个样本数据的和、去掉的两个数据和、原样本数据和，列出方程即可；对于B选项，写出和的表达式即可；对于C选项，根据中位数定义判断即可；对于D选项，根据分位数定义判断即可.13．/14．15．/16．17（1）在△ABC中，由正弦定理、二倍角的正弦公式及，得．又，因此，而，所以．（2）由（1）知，由余弦定理得．而，则，，解得，所以△ABC的面积．18．（1）设数列的首项为，公差为，则.，由，故.因为，所以解得，，故.（2）当，时，,所以.当，时，，，所以由已知，故，不能同时为奇数或偶数，所以，为奇数与偶数. 当为奇数，为偶数时，则，所以，，；当为偶数，为奇数时，则，所以，，.因为，所以，.19．（1）设组的频率为t，则组的频率为，估计学生与最近食堂间的平均距离，解得，故可补全频率分布表如下：学生与最近食堂间的距离合计在食堂就餐0.150.200.100.050.000.50点外卖0.050.200.150.100.000.50合计0.200.400.250.150.001.00据此结合样本容量为2000可列出列联表如下：学生距最近食堂较近学生距最近食较堂远合计在食堂就餐7003001000点外卖5005001000合计12008002000零假设：学生中午的用餐情况与学生距最近食堂的远近无关.注意到.据小概率值的独立性检验，推断不成立，即可以认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关.（2）（i）证法一：由题意得，， 结合，.结合条件概率公式知，即.，即成立.证法二：由题意得，，所以，同理，于是，故，即成立.（ⅱ）设李明在校庆期间去食堂甲就餐的次数为，若选择传统型优惠方案获得的优惠为X元，若选择“饥饿型”优惠方案获得的优惠为Y元，则，，对，有，故，， 令，结合得，记为.若，则，，此时李明应选择“饥饿型”优惠方案；若，则，，此时李明应选择传统型优惠方案.若，则，.注意到，.因此，即.此时李明选择获得的优惠更分散的方案，即获得的优惠方差更大的方案，即“饥饿型”优惠方案.综上所述，当时，李明应选择传统型优惠方案；当时，李明应选择“饥饿型”优惠方案.20．（1）设，由，得，所以，两边平方并化简，得曲线的方程为.（2）由（1）得，设直线、的斜率分别为，，如图所示，   当不垂直于轴时，设，联立，整理得，解得（舍）或，当时，，所以，同理得，所以的斜率，因为，代入可得，故的方程为，即，故过定点；当轴时，设，则，所以，即，又因为，代入可得，解得或（舍），所以（或）， 所以的方程为，过点.综上，直线过定点21．（1）证明：∵，是的中点，∴，             又，，、平面，∴平面，∵平面，∴平面平面；（2）解：∵、、，∴，以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系如图所示，   连接，∵、，∴四边形为平行四边形，∴，∴是异面直线与所成的角，则，∴，则、、、，∴，               设平面的法向量为，又、，∴，令，则、，∴，又平面的法向量，                                               设二面角的平面角为，经观察为钝角，∴． 22．（1）由题意可得：，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以的最小值为，无最大值．（2）令，则，若方程有两个不同的解，则有两个不同的零点．（ⅰ）若，则，由得．当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为．①当时，，即，故没有零点，不满足题意；②当时，，只有一个零点，不满足题意；③当时，，即，当时，，，又因为，故，所以，又，故在上有一个零点． 设，则，单调递增，所以，故当时，，又，所以，因此在上有一个零点，所以当时，有两个不同的零点，满足题意；（ⅱ）若，则由得，．①当时，，当时，；当时，；当时，．所以在和上单调递减，在上单调递增．又，所以至多有一个零点，不满足题意；②当时，，则，所以单调递减，至多有一个零点，不满足题意；③当时，，当时，；当时，；当时，．所以在和上单调递减，在上单调递增，又，所以至多有一个零点，不满足题意；综上，实数a的取值范围为．