四川省绵阳市三台中学2024届高三上学期第四次月考数学（文）试题（Word版附解析）

高中2021级高三第四学月测试数学（文）本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后将答题卡收回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.集合，则间的关系是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分别求解两个集合，再判断集合的关系.【详解】，得，则，，得，则，所以.故选：B2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由复数，可得复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D.3.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据基本初等函数的单调即可排除ABC，结合奇偶性的判定即可求解D.【详解】对于A，为单调递增函数，故不符合题意，对于B，为上的单调递增函数，故不符合题意，对于C，为内单调递减函数，由于定义域不关于原点对称，故不是奇函数，故不符合题意，对于D，为上的单调递减函数，且，故为奇函数，D正确，故选：D4.与曲线共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先由与椭圆共焦点得到，且焦点在轴上，从而巧设所求双曲线为，利用即可得解.【详解】因曲线为椭圆，焦点在轴上，且， 又因为所求双曲线与双曲线共渐近线，所以设所求双曲线为，即，则，解得，所以所求双曲线为.故选：A.5.2022年11月，国内猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油、鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（）A.猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小.B.这7种食品价格同比涨幅的平均值超过C.去年11月鲜菜价格要比今年11月低D.猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍【答案】B【解析】【分析】根据统计图计算可得答案.【详解】由图可知，粮食价格同比涨幅比食用油价格同比涨幅小，故A不正确；这7种食品价格同比涨幅的平均值为，故B正确；因为鲜菜价格同比涨幅为，说明去年11月鲜菜价格要比今年11月高，故C不正确；猪肉价格同比涨幅为，禽肉价格同比涨幅为，，故D不正确.故选：B. 6.已知角，满足，，则（）A.B.1C.－3D.3【答案】C【解析】【分析】根据两角差的正切公式，即可求解.【详解】.故选：C7.已知等比数列的各项均为正数，是函数的极值点，则（）A.5B.6C.10D.15【答案】A【解析】【分析】利用极值点的定义得到，再利用等比数列的下标和性质即可得解.【详解】因为，所以，因为是函数的极值点，所以是的两根，所以，又，则，故选：A.8.已知圆和直线，则圆心C到直线l的最大距离为（    ）A.1B.2C.3D.【答案】D【解析】【分析】根据圆的方程和直线方程可得圆心坐标，以及直线所过定点，然后结合图形可得.【详解】将圆C化为标准方程得，所以圆心为，直线的方程为，所以直线过定点， 过点C作，垂足为Q，当CP不垂直l时，显然，当时，，所以圆心C到直线l的最大距离为.故选：D9.甲、乙两同学对同一组数据进行分析，甲同学得到的数据均值为，方差为，乙同学不小心丢掉了一个数据，得到的均值仍为，方差为2，则下列判断正确的是（）A.B.C.D.与2的大小关系无法判断【答案】C【解析】【分析】根据题设知丢失数据为，结合方差公式有，即可得答案.【详解】由题意知，丢失的数据为，才可保证甲乙得到的均值相等，结合方差公式，，所以乙所得方差，即.故选：C10.设，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】 根据双曲线以及椭圆的定义，以及在焦点三角形中运用余弦定理建立关于双曲线和椭圆离心率的方程解出即可.【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线定义得：，，设，则在中由余弦定理得：，即化简得：，所以，又因为双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率为，故选：B11.已知函数，则关于的不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】根据函数奇偶性，以及求导判断函数的单调性，即可求解相应不等式.【详解】，，为奇函数，则，，，，为减函数，又，则，，或.故选：C12.已知过点作的曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围为（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据导数求出切线斜率，再构造函数把有两条切线转化为函数有两个交点解决问题即可.【详解】设切点为，由题意得，所以，整理得，此方程有两个不等的实根．令函数，则．当时，，所以在上单调递增;当时，，所以在上单调递减,且． ，方程有两个不等的实根,故．故选：D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上.13.若x，y满足约束条件，则的最大值是__________．【答案】1【解析】【分析】根据题意，做出可行域，结合图像，代入计算，即可得到结果.【详解】根据题意，做出可行域，如图中阴影部分．由，得，则求z的最大值，需求的最小值．向右下方平移直线，当直线过点时，z取得最大值，．故答案为：114.用系统抽样的方法从全校800人中抽取40人做问卷调查，并将他们随机编号为0，1，2，3，…，799，已知第一组中采用抽签法抽到的号码为15，则第三组抽取到的号码是___________.【答案】【解析】【分析】求出抽样间隔为：，由此利用第一组中采用抽签法抽到的号码为15，能求出第三组抽取到的号码．【详解】解：用系统抽样的方法从全校800人中抽取40人做问卷调查，并将他们随机编号为0，1，2，3，，799，抽样间隔为：，第一组中采用抽签法抽到的号码为15， 第三组抽取到的号码．故答案为：．15.已知椭圆，点在椭圆上，已知点与点，则的最小值为_________.【答案】【解析】【分析】先判断点在椭圆内部，利用椭圆定义将转化为求出最大值即可.【详解】由题意，点为椭圆的左焦点，由于满足：，故在椭圆内部，设椭圆的右焦点为，连接，由于动点在椭圆上，则，从而，因为，当共线，且在线段上时取等号，故的最小值为，故答案为：16.已知函数，若存在互不相等的实数，使得，则的取值范围是__________． 【答案】【解析】【分析】先作出函数的图象，不妨设，由对称性可以得到，再求出，，即得解.【详解】设，根据函数的图象及对应的方程，不妨设，根据二次函数关于对称可以得到，由图象可知，与在部分的交点横坐标满足，所以，所以，令，，则当，时，，所以函数在，上单调递增，所以，，所以，．故答案为：三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分.17.某语文报社为研究学生课外阅读时间与语文考试中的作文分数的关系，随机调查了本市某中学高三文科班名学生每周课外阅读时间（单位：小时）与高三下学期期末考试中语文作文分数，数据如下表：123456384043455054（1）根据上述数据，求出高三学生语文作文分数与该学生每周课外阅读时间的线性回归方程，并预测某学生每周课外阅读时间为小时时其语文作文成绩；（2）从这人中任选人，这人中至少有人课外阅读时间不低于小时的概率.参考公式：，其中，参考数据：，，【答案】（1）；预测某学生每周课外阅读时间为小时时其语文作文成绩为（2）【解析】【分析】(1)根据所给的公式计算对应的量,,,再代入公式求解可求得线性回归方程.再令即可求得预测值.(2)设这人阅读时间依次为、、、、、的同学分别为、、、、、,再枚举出所有可能的情况,分析其中至少有人课外阅读时间不低于小时的情况数,再根据古典概型的公式求解概率即可.【详解】解：（1）根据表中数据,计算,,. ,∴关于的线性回归方程为：,当时,.预测某学生每周课外阅读时间为小时时其语文作文成绩为.（2）设这人阅读时间依次为、、、、、的同学分别为、、、、、,从中任选人,基本事件是、、、、、、、、、、、、、、共种,其中至少人课外阅读时间不低于小时的事件是、、、、、、、、、共种,故所求的概率为.【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解以及实际运用,同时也考查了利用枚举法解决古典概型的方法.属于基础题.18.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求；（2）若的外接圆半径为2，且，求ac．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）由余弦定理化角为边得，再利用余弦定理求解角；（2）由，得，利用两角和余弦得，由已知的外接圆半径利用正弦定理化角为边得.【小问1详解】因为，所以，整理得， 所以，又因为，所以．【小问2详解】因为，所以，，即．又因为，所以．因为的外接圆半径，由正弦定理，得，所以，解得．19.已知数列满足（1）证明：数列为等差数列；（2）设数列满足，为数列的前项和，若在上恒成立，求的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，化简得到，结合等差数列的定义，即可得证；（2）由（1）求得，得到，进而求得，结合题意，转化为即恒成立，结合基本不等式，即可求解.【小问1详解】证明：由，可得，整理得为常数， 又由，所以数列是首项为，公差为的等差数列.【小问2详解】解：由（1）可得，所以，又由，则，因为若在上恒成立，即，所以，又因为，当且仅当时，即时，等号成成立，所以，所以，即实数的取值范围为.20.已知函数.（1）当时，求函数在上的值域；（2）若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用导数求得的单调区间，进而求得函数在上的值域；（2）由，构造函数，利用导数，结合对进行分类讨论来求得的取值范围.【小问1详解】当时，，所以， 令，则，0单调递减极小值单调递增所以，又，所以在上的值域为.【小问2详解】函数在上仅有两个零点，令，则问题等价于在上仅有两个零点，易求，因为，所以.①当时，在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以在上没有零点，不符合题意；②当时，令，得，所以在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，因为在上有两个零点，所以，所以.因为，令，所以在上，在上，，所以在上单调递减，在 上单调递增；所以，所以，所以当时，在和内各有一个零点，即当时，在上仅有两个零点.综上，实数的取值范围是.【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.21.已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且线段的中点为，该抛物线的焦点到准线的距离不大于3.（1）求抛物线的方程；（2）设点为抛物线上的动点，若，当的中点到抛物线的准线距离最短时，求所在直线方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先根据中点坐标设出点，再代入抛物线，求出的值即可；（2）先设出直线与两点，联立后得到韦达定理，求出中点坐标，结合韦达定理求出直线中点到准线距离的最值，最后求出直线方程即可.【小问1详解】依题意得，焦点到准线的距离不大于3，所以， 设，由的中点坐标为，得，解得，因为在抛物线，所以即，解得或（舍），所以抛物线的方程为.【小问2详解】如图所示，根据题意直线的斜率存在，设直线的方程为，设中点，由，，，所以，则所以，又因为的中点到准线的距离等于， 所以当最小时，的中点到准线的距离最短.因为，当且仅当时，解得，则.所以直线的方程为或.【点睛】关键点睛：本题的关键在于理解中点到准线的距离的最小值本质上是中点纵坐标的最小值，然后应用均值不等式求最值即可.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程是．（1）在直角坐标系中，求圆和圆的公共弦所在直线方程；（2）若射线与圆的交点为，与圆的交点为，线段的中点为，求的面积．【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）将两圆方程化为普通方程，两圆方程作差即可得结果；（2）在极坐标下求的极坐标，结合极坐标的定义分析求解.【小问1详解】由圆的参数方程可得，即，圆心，半径， 由圆的极坐标方程两边同乘可得，由，则，即，圆心，半径，可知，则，所以两圆相交，两圆相方程作差可得，即，所以圆与圆的公共弦所在直线的方程为.【小问2详解】由（1）知圆的极坐标方程为：，圆的极坐标方程为：联立的极坐标方程与射线OA：可得，联立的极坐标方程与射线OA：可得，则，所以.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数．（1）解不等式；（2）若对，都有，若、、且，求最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分段讨论自变量的范围，变化不等式，解出即可；（2）根据，求得的值后，利用柯西不等式即可求解.【小问1详解】 因为，所以当时，由，得，则；当时，由得，则；当时，由得，则．综上不等式的解集为．【小问2详解】因为对都有，则，，则在上是减函数，在上是增函数，所以，因为，即，则，（当且仅当，即，时等号成立）．