四川省南充市南部中学2024届高三第四次月考数学（文）试题（Word版附解析）

南部中学高2021级高三第四次月考数学（文科）时间：120分钟总分:150分一、单项选择题．本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知全集，集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求集合的补集，再根据并集运算求出结果.【详解】因为，，所以；因为，所以.故选：B.2.复数的共轭复数是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再求出其共轭复数.【详解】因为，所以复数的共轭复数是.故选：C3.在△中，“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】试题分析：由正弦定理，得，由得， 即，由大边对大角得；当得，即，由正弦定理得，因此“”是“”的充要条件，故答案为C.考点：1、正弦定理的应用；2、充要条件的判断.4.若变量x，y满足约束条件则，则的最小值是（）A.-1B.-6C.-10D.-15【答案】B【解析】【分析】根据约束条件作出不等式组表示的平面区域,将目标函数化成，表示直线在轴上的截距,然后将目标函数平移经过可行域，可得其最值.详解】由作出可行域，如图.设，化成，表示直线在轴上的截距.的最小值,即直线在轴上的截距最小.由图可知，直线过点时截距最小。此时.故选：B【点睛】本题考查线性规划问题，作图要准确，其目标函数的几何意义常有截距、斜率、距离等几种，属于基础题. 5.已知，则下列大小关系正确的是（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式性质，不等式两边同时乘负数，改变不等号，不等式两边同时乘正数，不改变不等号，可得答案.【详解】对于A，因为，所以，故错误；对于B，因为，所以，又因为，所以，则，故正确；易知C，D错误.故选：B.6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【答案】A【解析】【分析】先将化简为，再根据三角函数的图象平移即可得出答案.【详解】，所以的图象向左平移个单位得：.故选：A.7.若，，，则（）A.B.C D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数，对数函数以及三角函数的图象与性质即可求解.【详解】根据指数、对数的性质可得：，，因为，所以，所以故选：C．8.已知数列中，，则等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意求出数列的通项公式，再求数列的前项和即可.【详解】当时，，当时，因为，所以，两式相减得：，经验证时，，符合，所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.故选：A.9.已知，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】以为整体，利用诱导公式和二倍角的余弦公式运算求解.【详解】∵，故选：D.10.已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（）A.B.[-1，2）C.（0，2）D.【答案】B【解析】【分析】先求出函数的值域，而的值域为，进而得，由此可求出的取值范围.【详解】解：因为函数的值域为，而的值域为，所以，解得，故选：B【点睛】此题考查由分段函数的值域求参数的取值范围，分段函数的值域等于各段上的函数的值域的并集是解此题的关键，属于基础题.11.在锐角三角形中，a，b，c分别是内角A，B，C的对应边，设A＝2C，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由正弦定理把边化角，再用三角恒等变换化简，转化为三角函数的值域问题，即可求解【详解】由正弦定理可得 又因为三角形是锐角三角形，所以，即，也即,所以，所以，，，，所以取值范围是，故选：A12.已知函数，，若，，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先由，，再结合函数函数的图象可知，，这样转化，利用导数求函数的最大值.【详解】由题意得，，，即，令函数，则， 所以，时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，又当时，，时，，作函数的图象如图所示.由图可知，当时，有唯一解，故，且，∴.设，，则，令解得，所以在上单调递增，在上单调递减，∴，即的最大值为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求函数最值，本题的关键是观察与变形，，并且由函数图象判断，只有一个零点，所以，这样后面的问题迎刃而解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知命题：，总有．则为______．【答案】，使得【解析】【分析】全称命题改否定，首先把全称量词改成特称量词，然后把后面结论改否定即可.【详解】解：因为命题，总有，所以的否定为：，使得 故答案为，使得【点睛】本题考查了全称命题的否定，全称命题（特称命题）改否定，首先把全称量词（特称量词）改成特称量词（全称量词），然后把后面结论改否定即可.14.已知函数，则___________.【答案】2【解析】【分析】根据解析式求函数值即可.【详解】因为所以，故答案为：215.若函数，则_________【答案】【解析】【分析】先根据时，得当时，，进而得函数是以为周期的周期函数，再根据函数周期性求值即可得答案.【详解】解：因为时，，所以，故，所以，所以当时，.即当时，函数是以为周期的周期函数.所以.故答案为：.【点睛】本题考查函数的周期性，解题的关键在于根据时，得当 时，，进而根据周期性得.16.已知函数，若不等式上恒成立，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由已知不等式化为，当时，比较、的大小关系，得出在的单调性，即可求出的取值范围.【详解】因为，则，由，可得在上恒成立，令，其中，则，所以，函数在上为增函数，则，即，所以，函数在上为增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，故.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键就是利用同构思想，将所求不等式转化为，将问题转化为函数在上的单调性问题，结合导数求解.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数（I）求的值（II）求的最小正周期及单调递增区间.【答案】（I）2；（II）的最小正周期是，.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值． （Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．【详解】（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2xsinxcosx，＝﹣cos2xsin2x，＝﹣2，则f（）＝﹣2sin（）＝2，（Ⅱ）因为．所以的最小正周期是．由正弦函数的性质得，解得，所以，的单调递增区间是．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角A；（2）若，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理求出；（2）由正弦定理及三角恒等变换得到，结合求出，结合第一问求出，利用面积公式进行求解.【小问1详解】 由题意及正弦定理得，即，即所以，因为，所以【小问2详解】由，得，所以由正弦定理得，又因为，所以，，所以又，所以，所以，从而△ABC是等边三角形．因为，所以．19.设是等差数列，是等比数列，公比大于0.已知，，.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由题意列出关于公差和公比的方程组，求解即可得出通项公式（2）根据错位相减法即可求出数列的和.【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.依题意，得又因为公比大于0，解得 故，.所以，的通项公式为，的通项公式为.（2）由（1）知，记的前n项和为，则记，①则，②①−②得，，，,所以.【点睛】本题主要考查了等差等比数列的基本量的计算，错位相减法求和，属于中档题.20.已知函数在处有极值.（1）求的值；（2）求函数在上的最大值与最小值.【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）对函数求导，根据函数在处取极值得出，再由极值为，得出，构造一个关于的二元一次方程组，便可解出的值；（2）由（1）可知，求出，利用导数研究函数在上的单调性，比较极值和端点值的大小，即可得出在上的最大值与最小值. 【详解】解：（1）由题可知，，的定义域为，，由于在处有极值，则，即，解得：，，（2）由（1）可知，其定义域是，，令，而，解得，由，得；由，得，则在区间上，，，的变化情况表如下：120单调递减单调递增可得，，，由于，则，所以，函数在区间上的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查已知极值求参数值和函数在闭区间内的最值问题，考查利用导函数研究函数在给定闭区间内的单调性，以及通过比较极值和端点值确定函数在闭区间内的最值，考查运算能力. 21.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，，求证：．【答案】（1）在单调递增，在单调递减；（2）见解析．【解析】【分析】（1）分别令，求出单调性；（2）设，则，要证：，即证：，而，令，，等价于，，证明的单调性即可.【详解】（1）函数定义域为，令得，令得，故在单调递增，在单调递减.（2），不妨设，则，要证：，即证：……（*），而，令，，（*）等价于，，设，，令，在恒成立，则在单调递增，故，故在单调递增， 故，故原命题得证．【点睛】本题考查利用导数求单调区间以及利用导数证明不等式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于高考常考题型.选做题：第22题，23题中选做一题，多做或做错按照第一题计分选修4-4（本题满分10分）22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为，曲线C的参数方程为(t为参数).以O点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）设射线与直线l和曲线C分别交于点M，N，求的最小值.【答案】（1）,；（2）1．【解析】【分析】（1）由参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化公式，结合同角三角函数的平方关系，可得所求；（2）求得，，运用辅助角公式，结合正弦函数的最值，计算可得所求最小值．【详解】将代入，得直线的极坐标方程为，即，由消去参数，得曲线的普通方程为，将代入， 得曲线的极坐标方程为，由射线与交于点，得，即，由射线与曲线交于点，得，即，则，所以当时，得时，取得最小值.选修4-523.设函数．（1）解不等式；（2）若关于x的方程没有实数根，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）先将题意转化为没有实数根，再求值域，利用 取值为值域的补集，计算即得结果.【详解】解：（1）当时，，得，所以；当时，，得，所以；当时，，得，所以．综上，原不等式的解集为；（2）方程没有实数根，即没有实数根，令，当且仅当时，即时等号成立，即值域为，若没有实数根，则，即，所以实数m的取值范围为．【点睛】方法点睛：1、绝对值不等式的解法：（1）利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；（2）利于“零点分段法”去绝对值进行求解，体现了分类讨论思想；（3）通过构造函数，利用函数图象求解，体现了函数与方程思想.2、不等式恒成立问题通常可转化成函数最值来处理.