四川省南充市南部县第二中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

南部二中2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1.已知复数，则（）A.B.C.D.0【答案】C【解析】【分析】根据复数的减法计算即可.【详解】由题意，时，.故选：C2.目前，甲型流感病毒在国内传播，据某市卫健委通报，该市流行甲型流感病毒，以甲型亚型病毒为主，假如该市某小区共有120名感染者，其中有20名年轻人，60名老年人，40名儿童，现用分层抽样的方法从中随机抽取30人进行检测，则做检测的老年人人数为（）A.5B.15C.10D.20【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样的性质运算求解即可.【详解】由题意可得：做检测的老年人人数为.故选：B.3.下列说法正确的是（）A.直四棱柱正四棱柱B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线D.以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥【答案】C【解析】【分析】根据正棱柱、棱台、圆锥的母线和圆锥的定义分析可得答案.【详解】对于，直四棱柱的底面不一定是正方形，故不正确； 对于，将两个相同的棱柱的底面重合得到的多面体不是棱台，故不正确；对于，圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线，说法正确，故正确；对于，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是两个圆锥的组合体，故不正确.故选：C【点睛】关键点点睛：熟练掌握正棱柱、棱台、圆锥的母线和圆锥的定义是解题关键.4.下列说法错误的是（）A.设是两个空间向量，则一定共面B.设是两个空间向量，则C.设是三个空间向量，则一定不共面D.设是三个空间向量，则【答案】C【解析】【分析】根据空间向量可平移可判断AC，根据向量数量积定义可判断B，根据向量数量积的运算律可判断D.【详解】因为空间向量可平移，故任意两个向量均为共面向量，故A正确；，故B正确；设是三个空间向量，则可能共面，故C错误；空间向量数量积满足分配律，故，即D正确.故选：C5.函数的图象与直线的交点的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】画出以及的图象，由此确定正确答案.【详解】在同一平面直角坐标系中画出函数和直线的图象(如图所示)，可得两图象的交点共有4个. 故选：D6.已知向量，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由空间向量的坐标运算逐一判断．【详解】对于A，，故A错误，对于B，，故B正确，对于C，，故C错误，对于D，，故D错误，故选：B7.在平行六面体中，设，，，则以为基底表示（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】由向量的加法法则可得，再将已知条件代入即可得答案.【详解】因为.故选：A.8.如图所示，正方体的棱长为1，点是平面的中心，则到平面的距离是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】通过线面平行和中位线转化的方法来求得到平面的距离.【详解】设是的中点，，设是的中点.所以，平面，平面，所以平面，所以到平面的距离等于到平面的距离.根据正方体的性质可知，所以平面，由于，所以平面， 所以到平面的距离，也即到平面的距离为.故选：B二、多选题9.若，则有（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据不等式的基本性质判断各选项即可.【详解】对于A，由，得，所以，即，故A正确；对于B，由，得，即，故B错误；对于C，由，得，故C正确；对于D，由，得，所以，即，故D错误.故选：AC.10.已知为两个不同的平面，为三条不同的直线，则下列结论中不一定成立的是（）A.若，则B.若，则 C若，且，则D.若，且，则【答案】ACD【解析】【分析】对于ACD：结合正方体的结构特征分析判断；对于D：根据线面垂直的性质分析判断.【详解】对于选项A：若，则或相交，例如在正方体中，平面平面，且平面，可知平面，平面，故A不一定成立；对于选项B：若，由线面垂直的性质可知，故B成立；对于选项C：若，且，则不一定垂直，例如在正方体中，平面∥平面，且平面，平面，，故C不一定成立；对于选项D：若，且，则不一定成立，例如在正方体中，平面平面，且平面，平面，可知，故D不一定成立；故选：ACD.11.已知向量，，则函数的大致图象可能为（） A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据向量的坐标表示得函数解析式，然后分，，讨论即可.【详解】因为，所以.当时，，A正确；当时，的零点为0和，且，B正确，C错误；当时，的零点为0和，且，D正确.故选：ABD.12.如图，正方体中，，P为线段上动点，则下列说法正确的是（）A.B.平面C.三棱锥的体积为定值D.的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】在正方体中，易得平面，可判定A正确；过点作，得到平面 即为平面，结合与不垂直，可判定B不正确；由平面平面，证得平面，得到点到平面的距离等于点点到平面的距离，且为定值，可判定C正确；将绕着展开，使得平面与平面重合，连接，得到时，取得最小值，进而可判定D正确.【详解】对于A中，如图（1）所示，在正方体中，连接，连接，在正方形中，可得，由平面，平面，所以，因为且平面，所以平面，又因为平面，所以，连接，同理可证平面，因为平面，所以，因为且平面，所以平面，因为平面，所以，所以A正确；对于B中，当点不与重合时，过点作，因为，所以，所以平面即为平面，如图所示，在正方形中，与不垂直，所以与平面不垂直，所以B不正确；对于C中，分别连接，在正方体，因为，平面平面，所以平面，同理可证：平面，因为且平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，又因为是上的一动点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，且为定值， 因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以C正确；对于D中，将绕着展开，使得平面与平面重合，如图（2）所示，连接，当为和的交点时，即为的中点时，即时，取得最小值，因为正方体中，，可得，，在等边中，可得，在直角中，可得，所以的最小值为，所以D正确.故选：ACD.三、填空题13.在空间直角坐标系中，已知，，则______．【答案】【解析】【分析】利用空间中两点间的距离公式即可求解.【详解】．故答案为：.14.若函数，则________．【答案】2【解析】【分析】根据分段函数解析式，由内而外逐步代入，可得的值 【详解】故答案为：2【点睛】本题考查分段函数求函数值，属于简单题.15.如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则四棱锥的体积为______．【答案】【解析】【分析】利用割补法结合柱体、锥体的体积公式运算求解.【详解】由题意可得：正三棱柱的体积，三棱锥的体积，所以四棱锥的体积.故答案为：.16.三棱锥的四个顶点点在同一球面上，若底面，底面是直角三角形，，则此球的表面积为___________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，确定出三棱锥外接球球心，进而求出球半径作答. 【详解】在三棱锥中，底面，平面，则，，由是直角三角形，，得，而，平面，于是平面，又平面，因此，取中点，连接，如图，从而，点是三棱锥外接球球心，则，所以三棱锥外接球的表面积.故答案为：四、解答题17.已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥．（1）求它的表面积；（2）求它的体积.【答案】（1）；（2）﹒【解析】【分析】(1)四棱锥表面积为四个侧面等边三角形面积和底面正方形面积之和； (2)连接、，AC∩BD＝，连接，则为棱锥的高，求出SO，根据棱锥体积公式即可求解．【小问1详解】∵四棱锥的各棱长均为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形，∴它的表面积为；【小问2详解】连接、，AC∩BD＝，连接，则为棱锥的高，则，故棱锥的体积．18.如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证：（1）平面； （2）平面平面.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用面面平行的判定定理证明.【小问1详解】如图，连接，∵分别是的中点，∴.又∵平面，平面，∴直线平面.【小问2详解】连接SD，∵分别是的中点，∴.又∵平面，平面，∴平面，由(1)知，平面，且平面，平面，，∴平面∥平面.19.已知中，，，．（1）求；（2）求的面积．【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理直接求解.（2）利用余弦定理求出边c，再利用三角形面积公式计算即得.【小问1详解】在中，由正弦定理，得，解得，所以.【小问2详解】由余弦定理，得，整理得，而，解得，所以的面积.20.如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．（1）求异面直线EF与所成角的大小．（2）证明：平面．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解； （2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直.【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：，，，，，∴，，，．（1），∴∴异面直线EF和所成的角为．（2）∴，即，∴即．又∵，平面且∴平面．21.如图，已知四边形是矩形，将矩形沿对角线把折起，使移到点，且在平面上的射影恰好在上. （1）求证：；（2）求证：平面平面.【答案】（1）证明见详解（2）证明见详解【解析】【分析】（1）连接，根据题意，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得；（2）由四边形为矩形，所以，再由（1）知，证得平面，进而证得平面平面.【小问1详解】证明：连接，由在平面上的射影在上，可得平面，平面，所以，又由为矩形，，且平面，，所以平面，因为平面，所以.【小问2详解】证明：因为四边形为矩形，所以，由（1）知，，且平面，所以平面，又由平面，所以平面平面. 22.如图，直三棱柱中，，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点，使平面？若存在，求；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见详解；（2）Q是的中点,即.【解析】【分析】（1）（2）根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即可.小问1详解】在直三棱柱中，，直线两两垂直，以C为原点，以直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，设是平面的一个法向量， 则，令，得，显然，即，而平面，所以平面.【小问2详解】假定线段上存在点满足条件，由（1）设，，，则，，设是平面的一个法向量，则，令，得，由平面，得，即存在实数，满足：，即，解得，因此，即Q是的中点，