四川省南充市嘉陵第一中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

嘉陵一中高2022级高二上期第一次月考数学试题命题人：考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1.若一个圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形，则这个圆锥的底面半径为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】设底面半径为r，利用轴截面的面积列方程求出r的值.【详解】设底面半径为r．因为轴截面是等腰直角三角形，所以圆锥的高也是r．据题意得，解得．故选：C2.已知平面α的一个法向量是，，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】两个平面平行，其法向量也平行，即可判断各选项.【详解】平面α的一个法向量是，，设平面的法向量为，则，对比四个选项可知，只有D符合要求，故选：D.【点睛】本题考查了平面法向量的性质，两个平面法向量的关系，空间向量平行的坐标关系，属于基础题.3.若直线不平行于平面，且，则下列说法正确的是（）A.内存在一条直线与平行B.内不存在与平行直线C.内所有直线与异面D.内所有直线与相交 【答案】B【解析】【分析】根据线面位置关系逐一分析即可.【详解】若内存在一条直线与平行，则由和线面平行判定定理可知，与已知矛盾，故内不存在直线与平行，A错误，B正确；记，当内直线a过点A，则与a相交，C错误；当内直线b不过点A，则与b异面，D错误.故选：B4.水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图是直角梯形，如图所示．其中，则原平面图形的面积为（    ）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法的图形性质可得原图形的形状，进而可得面积.【详解】由直角梯形中，且，作于，则四边形为正方形，为等腰直角三角形，故，.   故原图为直角梯形，且上底，高，下底.其面积为.  故选：C5.已知是直线，、是两个不同平面，下列命题中是真命题的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】C【解析】【分析】根据线面平行的性质及面面位置关系判断A，由线面平行的性质及面面垂直的性质判断B，由线面平行的性质及线面垂直的性质，结合面面垂直的判定定理判断C，由线面平行的性质和面面平行的性质判断D.【详解】对于A，若，，则或，错误；对于B，若，，则或或与相交（含），错误；对于C，若且，则存在过的平面，有，于是，所以，正确；对于D，若，，则或，错误.故选：C.6.，，若，则实数值为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解．【详解】，又，，解得．故选：A．7.已知向量为平面α的一个法向量，为一条直线l的方向向量，则∥是l⊥α的（　　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据题意及充分条件与必要条件的概念判断．【详解】向量为平面α的一个法向量，为一条直线l的方向向量，若∥，则向量为平面α的一个法向量，l⊥α，充分性成立；若l⊥α，则向量为平面α的一个法向量，∥，必要性成立，则∥是l⊥α的充要条件．故选：C．8.如图所示，一个棱长为的正四面体，沿棱的四等分点作平行于底面的截面，截去四个全等的棱长为的正四面体，得到截角四面体，则该截角四面体的体积为（）A.4B.C.5D.【答案】D 【解析】【分析】先计算出棱长为的正四面体的体积，然后计算出棱长为的正四面体的体积，由此可求截角四面体的体积.【详解】如图所示正四面体的棱长为，所以，所以，所以此正四面体的体积为，同理可计算出棱长为的正四面体的体积为，所以截角四面体的体积为：，故选：D.二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分，全对得5分，部分选对得2分，选错得0分）9.下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A.若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥；B.若非零向量，，满足，，则有∥；C.若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；D.若，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间一组基底；【答案】ACD【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析判断即可【详解】对于A，若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则可得向量，是共线向量，即∥，所以A正确，对于B，若非零向量，，满足，，则向量与不能确定，可能平行，所以B错误，对于C，若，，是空间的一组基底，且，则由空间向量基本定理可得，，，四点共面，所以C正确，对于D，因为，，是空间的一组基底，所以对于空间中的任意一个向量，存在唯一的实数组，使，所以向量，，也是空间一组基底，所以D正确，故选：ACD10.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列命题中，正确的有（）A.平面B.平面C.平面平面D.平面平面【答案】CD【解析】【分析】将展开图还原为立体图，即可根据线面关系，结合线面平行以及面面平行的判断求解.【详解】展开图可以折成如图①所示的正方体．在正方体中，连接，如图②所示． 易知与平面有公共点与平面有公共点，所以AB错误；如图③所示，连接，由于平面,平面,所以平面，同理可得平面，平面,则平面平面，同理可证平面平面，所以CD正确．故选：CD11.如果一个凸n面体共有m个面是直角三角形，那么我们称这个凸n面体的直度为，则（）A.三棱锥的直度的最大值为1B.直度为的三棱锥只有一种C.四棱锥的直度的最大值为1D.四棱锥的直度的最大值为【答案】AD【解析】【分析】借助于正方体模型，一一判断各选项，即得答案.【详解】如图，借助于正方体模型，图1中三棱锥的四个面都是直角三角形，其直度为1，A正确； 图1中三棱锥，三个面都直角三角形，面为正三角形，其直度为；图2中三棱锥，三个面都是直角三角形，面为正三角形，其直度为，故直度为的三棱锥不止一种，B错误；四棱锥的共有5个面，底面为四边形，故其直度不可能为1，C错误；图3中的四棱锥的四个侧面都是直角三角形，底面为正方形，故四棱锥的直度的最大值为，D正确，故选：AD12.正方体中，，点在线段上运动，点在线段上运动，则下列说法中正确的有（）A.三棱锥的体积为定值B.线段长度的最小值为2C.当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为D.平面截该正方体所得截面可能为三角形､四边形､五边形【答案】AB【解析】【分析】根据线面平行的判定可得A的正误，根据两个动点的特征可判断B的正误，可证明的中点即 为三棱锥的外接球的球心，从而可判断C的正误，作出平面与正方体的截面，从而可判断D的正误.【详解】如图，由正方体可得故四边形为平行四边形，故，而平面，平面，故平面，∴上任一点到平面距离为定值，即到平面距离为定值，而面积为定值，∴故为定值，A对.，B对.∵底面为等腰直角三角形，且边长为2，∴外接圆半径为，∵三棱锥的高为，如图，取的中点为，连接，则，故，故为三棱锥的外接球的球心，且半径为，故表面积为，故C不对.如下图所示：平面截该正方体所得截面可能为三角形､四边形，不可能为五边形，故D错. 故选：AB.三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，，且，那么等于_________【答案】-4【解析】分析】根据向量平行，可求出,即可求解.【详解】,即，解得，.【点睛】本题主要考查了向量平行及向量的坐标运算，属于中档题.14.下图，M是三棱锥的底面的重心．若，则______．【答案】1【解析】【分析】方法一：根据三角形重心的性质结合空间向量基本定理求解即可，方法二：利用空间向量共面定理的推论求解.【详解】方法一：由于M是三棱锥的底面的重心，连接AM， 所以，则，所以．方法二：因为M与A，B，C四点共面，所以．故答案为：115.已知三棱锥中，平面BCD，，，，则三棱锥的外接球的表面积为_____.【答案】【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理可得平面，再由性质定理得，取的中点E，可得，三棱锥的外接球的球心即为点，求出，再求球的表面积可得答案.【详解】因为平面BCD，平面，所以，因为，，所以，即，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，取的中点，连接，可得，所以三棱锥外接球的球心即为点，外接球的半径为，由得，则三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：. 16.如图，在棱长为4的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点．且平面，则线段长度的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】取的中点，的中点，的中点，连接、、、，根据正方体的性质得到，即可得到平面，同理可证平面，从而证明平面平面，即可得到在线段上，再求出、，即可求出的取值范围.【详解】解：如图，取的中点，的中点，的中点，连接、、、，根据正方体的性质可得，平面，平面，所以平面，同理可证平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，且平面，平面，点是侧面上的动点，所以在线段上，又，所以，，， 所以，则，所以线段长度的取值范围是.故答案为：四、解答题（共6小题，17小题10分，其余各小题12分，共70分）17.已知圆锥的轴截面是一个底边长为8，腰长为5的等腰三角形，求：（1）圆锥的表面积；（2）圆锥的体积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根据题意，求得圆锥的底面半径为，母线长为，高为，结合圆锥的表面积和体积公式，即可求解.【小问1详解】依题意，如图所示，可得，，设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则，可得，所以该圆锥的表面积为，【小问2详解】圆锥的体积为.18.如图，在直三棱柱中，，点D是AB的中点．求证： （1）；（2）平面.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据空间向量法证明两个向量垂直.（2）利用空间向量法结合线面平行的判定定理得出结果.【小问1详解】∵直三棱柱ABCA1B1C1，，因为，所以.∴两两垂直．如图，以C为坐标原点，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则，，，.【小问2详解】设与的交点为E，则. ，，.平面.平面，∴平面.19.如图，在四棱锥中，//平面PAD，，，，点N是AD的中点．求证：（1）//；（2）求异面直线PA与NC所成角余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；（2）由线线平行，以及异面直线所成角的定义即可求解平面角，由余弦定理即可求解.【小问1详解】在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD，【小问2详解】由于点N是AD的中点，BC∥AD，，所以,故四边形 为平行四边形，则,故或其补角即为异面直线PA与NC所成角，在中，,故异面直线PA与NC所成角的余弦值为20.如图所示，在三棱锥中，，．（1）求二面角的余弦值；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二面角得定义即可求出结果；（2）根据，再利用三棱锥体积公式即可求出结果.【小问1详解】取的中点，连结，，∵，，∴，，∴为二面角的平面角， 在中，，，∴，∴二面角的余弦值为．【小问2详解】由（1）得，，，平面，平面，∴平面∵，∴.21.如图，在正方体中，点E､F分别为棱､的中点，点P为底面对角线AC与BD的交点，点Q是棱上一动点.（1）证明：直线∥平面；（2）证明：.【答案】（1）证明见详解（2）证明见详解【解析】【分析】（1）建系，利用空间向量可得∥，再结合线面平行的判定定理分析证明；（2）由空间向量的坐标运算可得，进而可得结果.【小问1详解】 如图，以为坐标原点，分别为轴所在的直线，建立空间直角坐标系，不妨设，则，可得，可知，则∥，且平面，平面，所以∥平面.【小问2详解】设，则，可得，由（1）可知：，因为，所以.22.用文具盒中的两块直角三角板(直角三角形和直角三角形)绕着公共斜边翻折成二面角，如图和，，，，，将翻折到，使，为边上的点，且.（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判断定理，转化为证明平面；（2）首先证明平面，再以的中点建立空间直角坐标系，并求平面的法向量，代入线面角的向量公式，即可求解.【小问1详解】由已知，又三角形为等腰直角三角形，，又，所以，，又，平面∴平面，又平面，∴平面平面.【小问2详解】取BC中点F，连接，中，，，，所以，则，，中，，根据余弦定理可知，，所以，即，由（1）可知，平面平面.，且平面平面，且平面，所以平面中，,,，根据余弦定理可知， 中，，所以，以分别为轴的正方向，过点作轴，轴平行于，建立空间直角坐标系，则，，，故，，，设平面的法向量，则，则，令，则，即，设直线与平面所成角为，，则所以直线与平面所成角的为.