四川省盐亭中学2023届高三数学（文）上学期12月第四次模拟试题（Word版附解析）

四川省盐亭中学高2020级高三第四次模拟考试（文科）数学测试卷一、单选题（每题5分共计60分）1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】用因式分解解出集合B，然后依据交集定义可解.【详解】即解得.所以，又，.故选:C.2.若复数z满足z（1＋i）＝2（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘除法运算，求得，再求其对应点即可判断.【详解】∵，∴，∴在复平面内复数z对应的点位于第四象限．故选：D．3.已知命题:若，则;命题:若，则，在命题①;②;③;④中，其中真命题为（） A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】C【解析】【分析】先判断命题，的真假，然后根据真值表逐个判断即可求解．【详解】命题：当时，，故命题为真命题，命题：当，时，无意义，故命题为假命题，所以①为假命题，②为真命题，③为真命题，④为假命题，故选：C．4.已知向量，若三点共线，则实数（）A.B.C.4D.5【答案】A【解析】【分析】先求，然后向量共线的坐标表示可得.【详解】因为，所以，.又三点共线，所以向量与向量共线，所以，解得.故选：A5.函数图象大致为（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数为奇函数，再求出即可判断 【详解】，则函数为奇函数，故排除，当时，，故排除，故选．【点睛】本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值，属于基础题.6.设，则有（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】结合指数、对数函数的性质和三角函数的诱导公式即可求出结果.【详解】因为是增函数，且，所以，即又是增函数，且，所以，即，而，所以即综上所述，故选：B7.等差数列中，，则（）A.60B.30C.10D.0【答案】B【解析】【分析】本题可由等差数列的性质即中项公式来求解.【详解】等差数列中，,即, .故选：B.8.设函数，若，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由已知结合对数的运算性质可得，然后结合乘1法，利用基本不等式可求.【详解】因为数，若所以，即，所以，当且仅当时取等号.故选：A9.已知向量为平面向量的一组基底，且，若三点共线，则实数应该满足的条件为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由三点共线，可得进而由共线定理可得，将代入，再利用基本定理可求的的关系.【详解】若三点共线， 又又为平面向量的一组基底故选：D10.椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点为在轴上方，满足，则该椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据直线方程可得，进而可得，再结合椭圆定义运算求解.【详解】由直线可知：过定点，斜率，即，则，解得，又因为，可得，结合椭圆的定义可得，整理得.故选：A. 11.若函数在区间上单调递减，则实数的最大值是（）A.1B.C.0D.【答案】B【解析】【分析】由函数在区间上单调递减，等价于在区间上恒成立，分离参数后得到，令，通过即可求出的最大值.【详解】因为函数在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立.令，则，所以在上单调递减，上单调递增，故，则，即.经检验，当时，满足题意，所以实数的最大值是.故选：B.12.已知是圆上的两个动点，，点为线段的中点，点为抛物线上的动点，则的最小值为（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】求出点坐标，由几何关系得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，点为抛物线上的动点，所以设，先求出，所以的最小值为【详解】圆可化为，所以点.又因为点为线段的中点，且，所以，所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.因为点为抛物线上的动点，所以设，则，所以当时，，所以的最小值为.故选：C.二、填空题（每题5分共计20分）13.若，满足约束条件，则的最大值为_____________．【答案】6【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示： 由，可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线在y轴截距最大时，z取得最大值，由，解得，此时，故答案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.14.已知双曲线的实轴端点分别为，点是双曲线上异于另一点，则与的斜率之积为______【答案】##【解析】 【分析】设点坐标,，，根据直线的斜率公式结合，即可求得与的斜率之积．【详解】设,，，且，，，则，，所以，所以与的斜率之积为，故答案为：．15.已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】【详解】试题分析：为奇函数且为R上增函数，所以对任意实数恒成立，即考点：利用函数性质解不等式恒成立【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系16.若函数有两个极值点，则的取值范围为_____________【答案】【解析】 【分析】由题意得到有两个不等的零点，且在两零点的两侧，导函数符号相反，参变分离后构造，求导研究其单调性和极值，最值情况，画出图象，数形结合求出的取值范围.【详解】由，得，∵函数有两个极值点，∴有两个零点，且在零点的两侧，导函数符号相反，令，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，有极小值也是最小值为，且当时，恒成立，当时，恒成立，画出的图象，如下：要使有两个不等实数根，则，即，经验证，满足要求.故的取值范围为．故答案为：.三、解答题（70分）17.为进一步增强疫情防控期间群众防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能 力做到科学防护，科学预防.某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成，，，，，这六组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的值，并估计这100人问答成绩的平均数(同一组数据用该组数据的中点值代替）；（2）用分层抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在内的概率.【答案】（1），72（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出参数的值，在根据平均数公式计算可得；（2）求出，中抽取的人数，利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得.【小问1详解】由图可知，，解得，估计这人问答成绩的平均数为：.【小问2详解】由频率分布直方图可知，问答成绩在，这两组的频率之比为.用分层随机抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本，则问答成绩在内的有(人)，分别记为、， 问答成绩在内的有(人)，分别记为、、，从中任意抽取2人，则实验的样本空间为：共有个样本点.设事件为2人的问答成绩均在内，则，所以这2人的问答成绩均在内的概率.18.已知中，角的对边分别为，，.（1）求的值；（2）若，求的面积．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得到，结合，，得到；（2）根据第一问求出，结合，求出，由正弦定理得到，再由三角形面积公式和二倍角公式，诱导公式求出答案.【小问1详解】因为，由正弦定理得：，，，又，∵，故；【小问2详解】因为，所以， 由（1）知：，又因为，解得：，又，则由正弦定理，，又.19.设数列的前项和为，且;数列为等差数列，且.（1）求数列的通项公式.（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用前项和和通项公式的关系来解.（2）使用错位相减法解数列前项和.【小问1详解】当时，，得.当时，两式相减有即.因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列.则. 所以数列的通项公式为.【小问2详解】在等差数列中，设首项为公差为，则解得所以.则①②所以①②得即解得20.已知函数是自然对数的底数）.（1）若函数在处的切线方程为，求实数的值；（2）若，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先对函数求导，再求出在处的导数值，根据题目所给直线的斜率即可求解.（2）首先构造新函数，根据题意的分析，只要即可，然后通过对分类讨论，求出的最小值即可.【小问1详解】由题意，知，则. 因为函数在处的切线方程为，所以，解得.【小问2详解】令，则，即，所以，即因为，使得成立，即，使得成立，所以.①当时，在上恒成立，函数在区间上单调递增，所以，所以.②当时，令，解得；令，解得，所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，所以，即，故综上所述，实数的取值范围为.21.已知曲线上的任意一点到点的距离和它到直线的距离的比是常数，过点作不与轴重合的直线与曲线相交于两点，过点作垂直于直线，交直线于点，直线与轴相交于点.（1）求曲线的方程;（2）求面积的最大值.【答案】（1）（2）.【解析】 【分析】（1）设动点坐标为，依据所给条件列式计算.（2）设适合的直线方程和交点坐标，联立方程使用韦达定理，合理选择三角形面积的求解形式，最后构造函数求导解最值.【小问1详解】设曲线上的任意一点的坐标为.由题意，得，即，所以曲线的方程为.【小问2详解】由题意，设直线的方程为，则.联立方程得，则，所以，所以.又因为，所以直线的方程为.令，则，所以.因为，所以. 令，则.令，则当时.则函数在上单调递增，所以当时，，此时，故面积的最大值为.【点睛】方法点睛：联立方程是解圆锥曲线问题的常规方法，为避免分类讨论，在直线与轴不重合时可设直线方程为.在三角形面积求解时，选择合理的面积求解形式很重要.22.在直角坐标系中，圆，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设，的交点为，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用得到的极坐标方程； （2）方法一：代入，得到或，求出，利用垂径定理求出高，从而求出面积；方法二：化为直角坐标方程为，求出圆心到直线的距离，利用垂径定理得到的长，从而求出面积.【小问1详解】已知圆，得，因为，所以为圆的极坐标方程．【小问2详解】方法一：代入，可得，解得或，∴，又因为半径，则，∴；方法二：直线：化为直角坐标方程为，圆心到直线的距离，由半径∴，∴.23.已知：，． （1）若，求不等式的解集；（2），若的图象与轴围成的三角形面积不大于54，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用零点分段法求解出绝对值不等式；（2）先求出，由，解得：，则，由函数单调性得到，根据函数图象与轴围成的三角形面积不大于54，列出方程，求出的取值范围.【小问1详解】当时，，当时，成立；当时，，则；当时，不合题意，综上，的解集为；【小问2详解】因为，所以，由，解得：，则， 当时，单调递增，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，取得最大值，，∴图象与轴围成的三角形面积为，解得：，又，则，∴的取值范围是.