四川省南充市阆中中学2024届高三一模数学（文）试题（Word版附解析）

阆中中学校高2021级2023年秋一模数学试题（文）（满分：150分考试时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题.（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，则集合（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由集合B的描述，及集合A中元素，应用交运算写出.【详解】对于集合B，由时，由时．此外的取值都不在集合A内，均不满足交集结果．所以.故选：D2.已知，则在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由复数四则运算、共轭复数及复数的几何意义即可得解.【详解】由，得，则，故在复平面内对应的点为，在第一象限．故选：A．3.已知，，若，则实数（）A.B.2C.D.1【答案】B 【解析】【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】由可得，即，故，故选：B4.已知，且，则的值是A.20B.C.D.400【答案】B【解析】【详解】由，得，化简得有，所以.故选B.5.推动小流域综合治理提质增效，推进生态清洁小流域建设是助力乡村振兴和建设美丽中国的重要途径之一．某乡村落实该举措后因地制宜，发展旅游业，预计2023年平均每户将增加4000元收入，以后每年度平均每户较上一年增长的收入是在前一年每户增长收入的基础上以10%的增速增长的，则该乡村每年度平均每户较上一年增加的收入开始超过12000元的年份大约是（）（参考数据：，，）A.2033年B.2034年C.2035年D.2036年【答案】C【解析】【分析】设经过n年之后，每年度平均每户收入增加y元，且，解不等式可得答案．【详解】设经过n年之后，每年度平均每户收入增加y元，由题得，即，则，，又，则．所以所求年份大约是2035年． 故选：C.6.如图所示的程序框图的输出结果为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】运行程序，根据裂项求和法求得正确答案.【详解】运行程序，，判断否，，，判断否，，……以此类推，，判断是，输出.故选：C7.已知等比数列的前项和为，公比为2，且成等差数列，则（）A.62B.93C.96D.64【答案】B【解析】【分析】利用给定条件求出，进而求出，再利用等比数列前项和公式计算即得.【详解】等比数列的公比为2，由成等差数列，得， 即，解得，所以．故选：B8.已知，则（    ）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由余弦二倍角公式和诱导公式计算．详解】由题意，，所以，故选：A．9.数列满足，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，列出数列的前几项，得到数列为周期数列，然后根据周期性求.【详解】因为数列满足，所以，，，，则是以4为周期的周期函数，所以， 故选：C.10.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位后，得到偶函数的图象，则正实数的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题图可知，周期，则，所以，又点在的图象上，求出，得到函数解析式，利用平移规律得的解析式，根据函数的奇偶性求得到答案．【详解】由题图可知，周期，则，所以，因为点在的图象上，所以＝－2，所以，得，因为，所以，，所以，是偶函数，，，则当时，正实数取最小值.故选：C11.数列满足（），则等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】先求，再由已知仿写作差得到，验证是否符合，最后再用等差数列的求和公式求解.【详解】由，，得，当时，，两式相减得，则，显然满足上式，因此，所以.故选：A12.已知函数的定义域为，，且为奇函数，为偶函数，则（）A.23B.C.D.3【答案】C【解析】【分析】根据条件求出函数的周期，再根据函数的周期性求值即可.【详解】因为为奇函数，为偶函数，所以，，令，则，所以，，所以，，则，所以的周期，因为， 所以，，，，所以．故选：C．二、填空题.（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量满足，的夹角为，则______.【答案】【解析】【分析】根据向量的模长公式直接代入求解即可.【详解】，故答案为：.14.已知数列中，，若是递减数列，则的取值范围________.【答案】【解析】【分析】根据是递减数列得出恒成立，再求出最小值即可得出的范围.【详解】∵数列为单调递减数列，∴当时，，∴，即，由于数列在时单调递增，因此其最小值为3，∴,综上可得：的取值范围是.故答案为：.15.已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，且顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．【答案】【解析】 【分析】根据题意，画出大致图像，确定球心在的延长线上，再结合几何关系和勾股定理进行求解即可.【详解】如图设底面的中心为，连接，则球心在直线上，由几何关系可知，，先将三角形转化成平面三角形，如图：因为，由勾股定理可得，设球心为，则在的延长线上，且，则，由勾股定理可得，即，解得，所以球体的表面积．故答案为：．16.已知，若，，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】作出函数图象，设，数形结合可知的范围，转化为关于的函数，利用导数求最值即可.【详解】作函数图象，如图， 设，则，，又，，，设，当时，，函数为增函数，，即实数取值范围是故答案为：三、解答题.（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.已知数列的前n项和为，且，数列为等差数列，，.（1）求，的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）,；（2）.【解析】 【分析】（1）利用关系及等比数列定义求通项公式，利用等差数列的通项公式求基本量，即得的通项公式；（2）应用错位相减、等比数列前n项和公式求.【小问1详解】当时，，解得.当时，,，两式相减得，即，所以是首项、公比均为2的等比数列，故.设等差数列的公差为d，由，可得，又，所以，解得，故.【小问2详解】令，由（1）知，则，①，②①—②，得，所以.18.已知向量，，函数.（1）若，求的值；（2）已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）根据向量共线定理可得，再利用二倍角的余弦公式，结合齐次式的应用可得解；（2）根据向量数量积公式可得，进而可得，再利用正弦定理和面积公式可将三角形面积转化为三角函数求值域问题，确定自变量范围，即可得解.【小问1详解】，，则；；【小问2详解】，又，所以，，得，即，因为，所以，所以，所以，解得，则 故，即面积的取值范围为.19.正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点．（1）求证：平面；（2）求四面体的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，，则与交于点，由正四棱锥的性质得到，平面，则，即可得证；（2）首先求出，再由为上靠近的三等分点，得到，所以.【小问1详解】在正四棱锥中为底面中心，连接，，则与交于点，且，平面，平面，所以，又，平面，所以平面. 【小问2详解】因为，，所以，又为上靠近的三等分点，所以，则.20.已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，记的面积为，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，列出关于，，的方程即可求解；（2）设直线方程（有两种方法，一种设；另一种设），与椭圆方程联立，结合韦达定理及基本不等式即可求出面积的最大值.【小问1详解】因为，所以，则，所以的标准方程为，因为点在上，所以， 解得，从而，.所以的标准方程为.【小问2详解】易知点在的外部，则直线的斜率存在且不为0，设，，，联立方程组消去得，由得，由根与系数的关系知所以，化简得.设点到直线的距离为，则，所以的面积令，得，所以，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.因为满足，所以的最大值为.评分细则：第二问另解： （2）设，，，联立方程组，消去得.由得，由根与系数的关系知.所以，化简得设点到直线的距离为，则，所以的面积.令，得，所以，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.因为满足，所以的最大值为.21.已知函数（1）当时，求在上的最小值；（2）若在上存在零点，求的取值范围.【答案】21.0；22..【解析】 【分析】（1）对函数式进行两次求导分析即得；（2）对于含参数函数的零点问题，常常考虑运用分析讨论法，即对导函数中的参数进行分类逐个分析，找到符合题意的情况即得.【小问1详解】当时，，，，令，，，则在上是增函数，则>0，所以，即在上是增函数，则.【小问2详解】，，，令，，，（1）当时，，则在上是减函数，则，①若，易得，则在上是减函数，，不合题意；②若，因，，则根据零点存在定理，必，使，即，变化时，，的变化情况如下表：0单调递增极大值单调递减 则，故要使函数在上存在零点，需使，即；（2）当时，由（1）知在上是增函数，，不合题意；（3）当时，在上是增函数，在上是增函数，则在上是增函数，，不合题意，综上所述，的取值范围是.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）分析讨论法：对含参函数的导函数进行分类讨论，逐个判断求得；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）已知点的直角坐标为，曲线与直线交于，两点，求的值．【答案】（1），（2）4【解析】【分析】（1）根据曲线的参数方程与直线的极坐标方程转化为普通方程即可；（2）根据题意写出直线的参数方程，再将其代入曲线的普通方程中，化简后，利用参数的几何意义即可求解．【小问1详解】 由，得，代入，得，所以曲线的普通方程为，由，得，即，所以直线的直角坐标方程为．【小问2详解】由点在直线上，则设直线的参数方程为（为参数），代入中，得，设点，对应的参数分别为，，则，，所以．23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）在（1）的条件下，设中的最小的数为，正数满足，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将化为分段函数的形式，从而利用三段法解不等式，得到解集； （2）由（1）知，化简得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小问1详解】，不等式可化为①，或②，或③，解①得，解②得，解③得，故，所以；【小问2详解】由（1）可知，所以，所以，当且仅当，，即时等号成立，所以的最小值为.