四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题（Word版附解析）

2023～2024学年度上期高中2022级期末联考数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆C:，则椭圆C的长轴长为A．3B．4C．6D．92．若直线l的倾斜角为，则它的方向向量可以为A．B．C．D．3．某中学举行数学解题比赛，其中5人的比赛成绩分别为：70，85，90，75，95，则这5人成绩的上四分位数是A．90B．75C．95D．704．若方程表示一个圆，则m可取的值为A．0B．1C．2D．35．有5个相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中一次性取出2个球，则事件“2个球颜色不同”发生的概率为A．B．C．D．6．已知圆，圆，点为轴上的动点，则的最小值为A．3B．C．D．7．已知等腰直角三角形ABC，，点D为BC边上的中点，沿AD折起平面ABD使得，则异面直线AB与DC所成角的余弦值为A．B．C．D．高中2022级数学试题第11页（共12页） 8．过点作圆的切线，切点分别为A，B，则弦长的最小值为A．B．3C．2D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知甲、乙两蔬菜店春节假期一周销售蔬菜量统计如图所示，则下列说法正确的是A．甲组数据的极差小于乙组数据的极差B．甲店在春节假期间每天的销售量越来越大C．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数D．若甲、乙两组数据的标准差分别为，则10．一个质地均匀的骰子，掷一次骰子并观察向上的点数．A表示事件“骰子向上的点数大于等于3”，B表示事件“骰子向上的点数为奇数”，则A．B．C．D．11．已知曲线，直线，点A为曲线C上的动点，则下列说法正确的是A．直线l恒过定点B．当时，直线l被曲线C截得的弦长为C．若直线l与曲线C有两个交点，则m的范围为D．当时，点A到直线l距离的最小值为12．已知椭圆的上、下焦点分别为F2，F1，上顶点为A，右顶点为B，原点为O，直线与椭圆C交于D，E两点，点，则A．四边形面积的最大值为B．四边形的周长为12C．直线BD，BE的斜率之积为D．若动点Q满足，且点P为椭圆C上的一个动点，则的最大值为高中2022级数学试题第11页（共12页） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，A，B是两个独立的开关，设它们闭合的概率分别为，，则该线路是通路的概率为______．14．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，若，则______．15．正方体的棱长为2，BC棱上一点P满足，则直线PA与平面AB1C所成角的正弦值为______．16．已知分别为椭圆的左、右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上有且仅有一个点P使，则椭圆离心率的取值范围为______（写成集合或区间形式）．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知直线，．（1）若直线，求m的值；（2）若直线，求l1与l2的距离．18．（12分）已知圆，圆，若动圆M与圆F1外切，与圆F2内切．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（2）直线l与（1）中轨迹C相交于A，B两点，若Q为线段AB的中点，求直线l的方程．19．（12分）传唱红色歌曲能够弥补青少年面对社会多元化的彷徨，有助于在红歌中受到启迪，树立积极的生活态度和健康的价值观．某重点高中在纪念“一二·九”活动中，举办了“唱青春之序曲，展时代之芳华”红色经典歌曲合唱比赛，由专业教师和学生会共50人组成评委团，评委所打分数的平均分最高的节目参加区合唱比赛．评委对各节目的给分相互独立，互不影响．现有两个特等奖节目：《在太行山上》得分的频率分布直方图和《四渡赤水出奇兵》得分的频率分布表，如下所示：高中2022级数学试题第11页（共12页） 分数区间[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)[85,95]频数141022112频率0.020.080.200.440.220.04分数区间[35,55)[55,75)[75,95]印象值8910（1）从两个节目各自的平均分来看，应该推选哪个节目参加区合唱比赛（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）根据印象值表对两个节目的所有评分进行赋值，从两个节目的“印象值”分数中各随机抽取一个分数，试估计《在太行山上》“印象值”比《四渡赤水出奇兵》“印象值”高的概率．20．（12分）圆C经过点和点，且圆心C在直线上．（1）求圆C的标准方程；（2）过点作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程及原点O到直线AB距离最大时m的值．21．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是等腰直角三角形，且，平面平面，点E是线段PC（不含端点）上的一个动点．（1）设平面ADE交PB于点F，求证：EF平面PAD；（2）当点E到平面PAD的距离为时，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值．22．（12分）已知椭圆C的方程为，称圆心在坐标原点O，半径为的圆为椭圆C的“蒙日圆”，椭圆C的焦距为2，离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，与其“蒙日圆”交于C，D两点，当时，求面积的最大值．高中2022级数学试题第11页（共12页） 2023～2024学年度上期高中2022级期末联考数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678CBADCBBA二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9101112ACACDBCABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．14．15．16．三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）解：（1），，m的值为6；…………………………4分（2），，解得：或，…………………………7分验证，，两直线重合，舍去，时，，，．………………………10分18．（12分）解：（1）设动圆M的半径为r，动圆M与圆F1外切，与圆F2内切，，且，…………………………2分于是，…………………………3分动圆圆心M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为8的椭圆，，，…………………………5分高中2022级数学试题第11页（共12页） 当M点为椭圆左顶点时，不合题意，舍去动圆圆心M的轨迹C的方程为；…………………………6分（2）设，由题意，显然，则有，，…………………………7分两式作差可得，所以有，…………………………9分又，所以直线l的斜率，…………………………10分直线l的方程为，整理可得.…………………………12分19．（12分）解：（1）由频率分布直方图可知，《在太行山上》的平均得分约为：，由频率分布表可知《四渡赤水出奇兵》的平均得分约为：，………………………5分，故应该推选《在太行山上》参加区合唱比赛；…………………………6分（2）设“对《在太行山上》“印象值”高于《四渡赤水出奇兵》“印象值”为事件M，设A9表示事件“对《在太行山上》印象值为9”，设A10表示事件“对《在太行山上》印象值为10”，设B8表示事件“对《四渡赤水出奇兵》印象值为8”，设B9表示事件“对《四渡赤水出奇兵》印象值为9”，…………………………7分则，…………………………8分，高中2022级数学试题第11页（共12页） ，…………………………9分，，………………………10分事件Ai与Bj相互独立，其中，，，估计对《在太行山上》“印象值”高于《四渡赤水出奇兵》“印象值”的概率为0.284．…………………………12分20．（12分）解：（1）线段EF的中点坐标为，线段EF的垂直平分线方程为，联立，得C，又圆C的标准方程为；…………………………5分（2）线段PC的中点坐标为，以线段PC为直径的圆的标准方程为：，即，圆C方程化为：，两式相减得：，即为直线AB的方程，…………………………10分即由，直线AB经过定点，当时，原点O到直线AB的距离最大，高中2022级数学试题第11页（共12页） ，，解得．……………………12分21．（12分）解：（1）证明：四边形ABCD为菱形，，平面PBC，平面PBC，平面PBC，…………………………2分平面ADE，平面平面，，…………………………3分平面PAD，平面PAD，平面PAD；…………………………4分（2）在AB上取中点O，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，…………………………5分则，，，，，…………………………6分，，，设，则，…………………………7分设是平面PAD的一个法向量，则，可得，…………………………8分由点E到平面PAD的距离为得，高中2022级数学试题第11页（共12页） 解得，…………………………9分故点E为CP中点，，，又，设是平面ADE的一个法向量，则，可得，…………………………10分又，故是平面ABCD的一个法向量，得，…………………………11分平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为．…………………………12分22．（12分）解：（1）由得，，，…………………………2分椭圆C的方程为：；…………………………3分（2）由题意，蒙日圆方程为，圆心为O，半径，…………………………4分①当轴时，设直线CD:，，解得：，代入椭圆C的方程可得：，，，高中2022级数学试题第11页（共12页） …………………………5分②当CD不垂直x轴时，设直线CD：，即，圆心O到直线CD的距离为，得，………………………6分联立消去y得：，…………………………7分，解得，设，，则，，…………………………8分，，…………………………9分，…………………………10分令，则，，代入上式，，令，则，，当时，取得最大值，…………………………11分高中2022级数学试题第11页（共12页） 又，综上所述，面积的最大值为．…………………………12分部分解析：11．解：直线，，，直线过定点，A错误；当时，直线，半圆与直线相交，圆心到直线的距离为，弦长为，B正确；若直线与曲线有两个交点，则当时，有两个交点，当时，仅有一个交点，当直线与曲线相切时，点到直线的距离为2，，解得（舍）或，所以m的范围为，C正确；当时，直线，当A为原点时距离最小，且最小值为，D错误，故选：BC．12．解：，因为直线过原点，所以四边形为平行四边形，即面积取最大值时，四边形面积取最大值，此时，四边形面积的最大值为，A正确；四边形的周长为，B正确；若，则，C错误；若动点Q满足，可得Q在圆上，，D正确，故选：ABD．15．解：以D为原点建系如下，则，，，，设，，，则，因为，所以，解得，，易得平面AB1C的法向量高中2022级数学试题第11页（共12页） ，直线PA与平面AB1C所成角的正弦值为，故答案为：．16．解：直线AB方程为，设点P的坐标为，，，所以点P在以原点为圆心，为半径的圆M上，①圆M与直线AB相切，则原点到直线的距离等于半径，，，，，，，②若，，，综上的取值范围为．高中2022级数学试题第11页（共12页）