四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

2023~2024学年度上期高中2022级期中联考数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3．考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球，其中2个红球，2个绿球，甲摸一个后不放回，乙再摸一个，试验所有可能的结果数为（）A.8B.9C.12D.16【答案】C【解析】【分析】根据不放回抽取的性质进行求解即可.【详解】设4个小球分别为，，，，则试验结果为．故选：C2.某大型联考有16000名学生参加，已知所有学生成绩的第60百分位数是515分，则成绩在515分以上的人数至少有（）A.6000人B.6240人C.6300人D.6400人【答案】D【解析】【分析】根据第60百分位数的意义进行进行求解即可.【详解】成绩在515分及以下人数为，则成绩在515分以上人数为．故选：D3.给出下列命题： ①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角；②空间任意两个单位向量必相等；③对于非零向量，若，则；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底．其中说法正确的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】利用空间向量基本概念及数量积的定义及运算，对各个命题逐一分析判断即可得出结果.【详解】对于①，当与的夹角为，满足，所以①错误；对于②，因为向量既有大小又有方向，两向量相等要满足方向相同，长度相等，任意两个单位向量，只能确定长度相等，所以②错误；对于③，由，得到，所以或与垂直，所以③错误；对于④，因为为空间向量的一个基底，所以不共面，故也不共面，所以构成空间的另一个基底，所以④正确.故选：B.4.某地高校有100人参加2023数学建模竞赛，成绩频数分布表如下，根据该表估计该校大学生数学建模竞赛成绩的平均分为成绩分组/分人数/人42550156A.59B.59.4C.69D.69.4【答案】D【解析】【分析】根据平均数公式计算可得.【详解】依题意平均数为．故选：D 5.若，，，则事件与的关系为（）A.相互独立B.互为对立C.互斥D.无法判断【答案】A【解析】【分析】根据条件，利用和事件概率公式，求出，从而得到，即可判断出结果.【详解】因为，得，所以，故选：A.6.把边长为的正方形对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据条件求出坐标，从而得到，，再利用线线角的向量法即可求出结果.【详解】取中点，连接，，以，分别为，轴，垂直面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为是边长为的正方形，所以,则，，，又易知，,，所以为二面角的平面角，由题知，，所以，则 所以，，，故，所以，异面直线与所成角的余弦值为．故选：D.7.某校2023年秋季入学考试，某班数学平均分为125分，方差为．成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误，同学实际成绩137分，被错录为118分；同学实际成绩115分，被错录为103分；同学实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为，则与的大小关系为（）A.B.C.D.不能确定【答案】C【解析】【分析】分析前后的平均分，再根据方差公式判断即可.【详解】设班级人数为，因为，所以更正前后平均分不变，且，所以．故选：C8.如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则中点到平面的距离为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】构建空间直角坐标系，应用向量法求点面距离即可.【详解】以为原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设为平面的法向量，则，所以，令，所以，点到平面的距离为．故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.一组数据的平均数为，方差为，新数据的平均值为，方差为．下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】CD 【解析】【分析】根据平均数、方差的性质计算可得.【详解】若一组数据的平均数为，方差为，则新数据的平均值为，方差为.故选：CD10.下面结论正确的是（）A.若事件与相互独立，则与也相互独立B.若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件C.若，，与相互独立，则D.若，，则与互为对立事件【答案】AC【解析】【分析】由相互独立和互斥事件的定义可判断A、B；由相互独立的乘法公式和对立事件的定义可判断C，D.【详解】对于A：若事件与相互独立，因为，所以又，所以，所以事件与相互独立，所以，所以与是相互独立事件，故A正确；对于B：若事件与是互斥事件，如掷一枚骰子出现、、点记为事件，出现、、、点记为事件，则为出现、点，满足事件与是互斥事件，显然与不互斥事件，故B错误；对于C，若，，与相互独立， 则，故C正确；对于D：如从共个整数中随机抽取一个数，记抽到、、、、、为事件，则，记抽到、、、为事件，则，显然与不为对立事件，故D错误；故选：AC11.某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为，该单位全体工作人员平均体重和方差分别为（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据平均数、方差公式计算可得.【详解】依题意，设男性人数为（），女性人数为，该单位全体人员体重的平均数为：，所以该单位全体人员体重的方差为：．故选：AD12.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是中点，点是棱的上动点（与端点不重合）．下列说法正确的是（）A.从、、、、、六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为 B.从、、、、、六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为C.存在点，使直线与所成的角为D.不存在点，使平面【答案】ABC【解析】【分析】根据共面的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可.【详解】任取3点，有20个样本点，除开A、、和S、、分别共线，其余18种均不共线，故概率为；任取4点，共有15个样本点；每条直线上任取2个点，则共有9个样本点，故概率为．故A、B正确．以A为空间原点建立空间直角坐标系，，设，，设，则有，则，，，解得，，方程有解，故C正确．设平面的法向量，，则有，由，可得，故D错误．故选：ABC 【点睛】关键点睛：利用空间向量夹角公式、空间向量数量积运算性质是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某射击运动员每次击中靶心的概率均为0.6．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中2次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中靶心，4，5，6，7，8，9表示击中靶心；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：86360293714098575727034743739647469833126710037162332616959780456011366142817424据此估计，该射击运动员射击4次至少击中2次靶心的概率为__________．【答案】##【解析】【分析】根据对立事件的概率公式，结合古典概型计算公式进行求解即可.【详解】恰好0次击中包含3321一个样本点，恰好1次击中包含6233，0293，0371，6011四个样本点，故至多击中一次包含五个样本点，对立事件至少2次击中则包含15个样本点，故概率为．故答案为：14.某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则__________．【答案】250【解析】【分析】根据分层抽样等比例抽取的性质，列出等式计算即可.【详解】设小学生抽取的人数为，高中生抽取的人数为，则初中生抽取的人数为， 所以，解得，从而．故答案：25015.某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加，反之降低．则独孤队不超过四局获胜的概率为__________．【答案】0.236【解析】【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概率公式计算可得.【详解】设为独孤队第局取胜，由题意，独孤队取胜可能结果为四个互斥事件：，，，，所以独孤队取胜的概率．故答案为：16.已知空间向量，，两两之间的夹角均为，且，，，若向量，分别满足与，则的最小值为__________．【答案】##【解析】【分析】由题意可得，令，可得且，利用数量积的性质得出，最后由模的三角不等式可得结论．【详解】依题意，，，因为，所以，所以，所以， 令，则，且，由，得，所以，所以，当且仅当，共线同向且，共线时等号成立.故答案为：．【点睛】关键点睛：解题关键是把已知条件由结合已知变形得出，引入向量，可得，从而得到的最小值，从而由向量模的三角不等式得出结论．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某稻谷试验田试种了，两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表，记，两个品种各10亩产量的平均数分别为和，方差分别为和．（单位：）60635076718575636364（单位：）56626068787576626370（1）分别求这两个品种产量的极差和中位数；（2）求，，，；（3）依据以上计算结果进行分析，推广种植品种还是品种水稻更合适．【答案】17.极差：产品为35，产品为22，中位数：产品为63.5，产品为65.5；18.；，；19.推广品种水稻更合适．【解析】【分析】（1）根据中位数以及极差的计算公式即可求解，（2）根据平均数和方差的计算公式即可求解，（3）由平均数相同，方差越小越稳定即可求解. 小问1详解】由表中数据可知，产品的产量从小到大排列为，故产品的极差为，中位数为产品的产量从小到大排列为，产品极差为，中位数位；【小问2详解】由题意：，，，；【小问3详解】结合第（2）问可知，两个品种水稻的产量平均数一样，但是的方差较小，较稳定，所以推广品种水稻更合适．18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，点为的中点，点在线段上且．（1）用向量，，表示向量；（2）求的长． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；（2）首先用向量，，表示向量，再根据数量积的运算律计算可得.【小问1详解】因为点为的中点，所以，所以；【小问2详解】因为点在线段上且，所以，所以，所以，因为在四棱锥中，底面为正方形，底面，底面所以，，，则，，．19.药品监督局检测某种产品的两个质量指标，，用综合指标核定该产品的等级．若，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下： 产品编号质量指标产品编号质量指标（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件为“在抽取的2件产品中，每件产品的综合指标均满足”，求事件的概率．【答案】（1）0.6；（2）.【解析】【分析】（1）根据题设得到产品编号与综合指标的表格，应用古典概型的概率求法求一等品率；（2）列举法求事件的概率即可.【小问1详解】由题设可得如下表格，产品编号2483653216又则核定该产品为一等品，故一等品共有6个，所以一等品率为；【小问2详解】由题意，一等品中随机抽取2件产品有，共15种，其中事件，共10种 所以．20.如图四边形是平行四边形，，四边形是梯形，，且，，，沿将四边形翻折后使得平面平面．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据三角形的边角关系，可由余弦定理以及勾股定理证明线线垂直，进而根据面面垂直的性质即可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.【小问1详解】连接，，由于，，所以，由余弦定理得，，，，，，,由于，， 平面平面，平面平面，平面，平面，平面,，，平面,平面；【小问2详解】以为原点建立空间直角坐标系，，，，，，，，，设平面和平面的法向量分别为，，，取，，，取，，，设二面角的平面角为，，即二面角的正弦值为．21.某中学参加成都市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）补全频率分布直方图，若只有的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为80~100的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取3名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有，，，，五个等级．若两科笔试成绩均为，则直接参加；若一科笔试成绩为，另一科笔试成绩不低于，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙、丙三人报名参加，三人互不影响．甲在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；乙在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；丙在每科笔试中取得，，，，的概率分别为，，，，；甲、乙、丙在面试中通过的概率分别为，，．求甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率．【答案】21.图形见解析，78.7522.23.【解析】【分析】（1）首先求出的频率，再根据百分位数计算规则计算可得；（2）首先求出各组的人数，再根据古典概型及对立事件的概率公式计算可得；（3）首先求出甲、乙、丙能参加冬令营的概率，再根据相互独立事件的概率公式计算可得.【小问1详解】由频率分布直方图可知的频率为，所以组纵轴为，所以频率分布直方图如下所示： 又，，所以第分位数位于，且，所以入围分数应设为分；【小问2详解】依题意抽取人，抽取人，从人中随机选人一共有中选法，其中人都是的有中选法，设事件：“至少有1名学生成绩不低于”，则；【小问3详解】依题意甲能参加冬令营的概率，乙能参加冬令营的概率，丙能参加冬令营的概率，所以甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率．22.如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点，分别在和上． （1）若，，求证：，，，四点共面；（2）求；（3）若，点为线段上（包括端点）的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．【答案】22.证明见解析23.24.【解析】【分析】（1）利用共面向量定理可证明；（2）由线面平行则直线上的点到平面的距离都相等，可将所求三棱锥的体积转化为，又由题意可得点在平面的射影落在上，可求得点到平面的距离，进而得解；（3）建立空间直角坐标系，用向量法求线面角的正弦可得解.【小问1详解】，，，，所以,,,四点共面.【小问2详解】平面，上的所有的点到平面的距离都相等，同理上所有的点到的距离也相等， ，，点在平面的射影落在上，过点作，过点作，平面，，又与是平面内两条相交直线，平面,，在直角三角形中，，，解得,又在直角三角形中，，，在直角三角形中，可得，；【小问3详解】设与的交点为，以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由（2）可知，，，，，，由，可求得，， ，，设为平面的法向量，，取，，，，，，设，，，设直线与平面所成角的为，，，，．