四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二数学上学期开学联考试题（Word版附解析）

2023~2024学年度上期高中2022级入学联考数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”．2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数，则的虚部为（）A．B．1C．D．2．已知是非零向量，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知偶函数在上单调递减，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．4．设的内角的对边分别为，已知，则（）A．B．C．或D．或5．已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则6．某中学校园内有一水塔，小明同学为了测量水塔的高度，在水塔底的正东方向的处测得塔顶的仰角为 ，在水塔底的南偏西方向的处测得塔顶的仰角为，已知，则水塔的高度为（）A．B．C．D．7．在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．的值为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．若集合，且，则实数的取值为（）A．0B．1C．3D．10．已知，函数，则下列结论正确的是（）A．函数的初相是B．是函数图象的一条对称轴C．是函数图象的对称中心D．函数的图象向左平移个单位后关于轴对称11．如图，在四面体中，平面平面，，则下列结论正确的是（） A．四面体的体积为B．C．二面角的余弦值为D．四面体外接球的体积为12．设的内角的对边分别为，则下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则外接圆的半径为C．若，则D．若，则为锐角三角形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数，若，则______．14．已知，则______．15．已知等腰直角三角形的斜边长为，以该三角形的一直角边所在的直线为旋转轴将该三角形旋转一周，所得的旋转体的侧面积为______．16．在中，已知，则的最大值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知．（1）与的夹角为，求；（2）若与垂直，求． 18．（12分）如图，在斜三棱柱中，，为的中点．（1）证明：平面；（2）证明：平面平面．19．（12分）如图，在四边形中，与互补，．（1）求；（2）求四边形的面积．20．（12分）已知函数．（1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）若存在，使得不等式成立，求．21．（12分）已知的内角的对边分别为．（1）若，求角； （2）求的取值范围．22．（12分）图①是由矩形和梯形组成的一个平面图形，其中，，点为边上一点，且满足，现将其沿着折起使得平面平面，如图②．（1）在图②中，当时，（ⅰ）证明：平面；（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（2）在图②中，记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．2023~2024学年度上期高中2022级入学联考数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678ACDACABC1．解：由题意得：，则，故选A．2．解：当是非零向量时，，故选C． 3．解：由于函数为偶函数，故，且在上单调递减，所以，即，故选D．4．解：由正弦定理得：，即，则．又，则，故选A．6．解：如图：设水塔高为，则，则在中，，化简得：，即，故选A．7．解：如图，连接交于点，连接，则（补角）是异面直线与所成角．设，在中，，为直角三角形，则，故选B．8．解：由题意得：，故选C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9101112ABDACDBCAC9．解：，又，当，则，当，则，当，则．故选ABD． 10．解：由题意得：，易知函数的初相是不是对称轴，是其中一个对称中心，对于D选项：为偶函数．故选ACD．11．平面平面，故平面，则，，A不正确，B正确；二面角的平面角是，易得，C正确；易得外接球的半径，故，D错误．故选BC．12．解：由正弦定理，则，A正确；由正弦定理得，，B错误；由余弦定理，C正确；由正弦定理，则为锐角，但不一定为锐角三角形，D错误．故选AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．14．15．16．解：由得， 即，又由余弦定理得：，化简得：，，有最小值，为锐角，故有最大值，最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）解：（1），，，又；（2），与垂直，，即，得．18．（12分）解：（1）证明：设与交于点，连接，如图，在斜三棱柱中，四边形是平行四边形，则点为的中点，点为的中点，点为的中点，，平面平面平面； （2）证明：四边形是菱形，，又平面，又平面平面平面．19．（12分）解：（1）连接，如图，与互补，与互补，在中，，即，得，在中，，即，得，又与互补，，故；（2）由（1）得，，由（1）得，，．20．（12分）解：（1），， ，，的最小正周期为，又，对称轴方程为；（2），即，又，则，故，．21．（12分）解：（1），，，，或，又，故，，得；（2）由正弦定理得：，即，，，，，又， ．22．（12分）解：（1）当时，即点为的中点，（ⅰ）证明：由题意得：，则，，故，又，则，又平面平面，平面平面平面，又平面，故平面；（ⅱ）设点到平面的距离为，过点作，则平面，如图，又是等腰三角形，，，由得，则，故直线与平面所成角的正弦值为；（2）延长交于点，连接，则平面平面，过作平面，连接，过点作，连接，如图， 则为直线与平面所成角，即，则为平面与平面的夹角，即，又，则，，故，即点重合，又，即，由相似三角形得，设，则，，即得，则或（舍去），又，得，故存在使得．