四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高二理科数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2022～2023学年度下期高中2021级期中联考理科数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用向量加法的运算法则求解即可．【详解】，故选：B．2.函数的导函数为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用求导公式及导数运算法则求解作答.【详解】函数，求导得.故选：D 3.若可导函数满足，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据导数定义可直接得到结果.【详解】由导数的定义知：.故选：C.4.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面平行，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】依题意可得，即可得到，从而得到方程，解得即可.【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面平行，则，即，即，解得.故选：C．5.若定义在上的函数的导数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.函数在区间上单调递减，在区间上单调递增B.函数在区间上单调递增，在区间上单调递减C.函数在处取极大值，无极小值 D.函数在处取极大值，无极小值【答案】A【解析】【分析】根据导函数的正负可确定单调性，结合极值点定义可确定正确选项.【详解】对于AB，由图象可知：当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，A正确，B错误；对于CD，由单调性可知：在处取得极小值，无极大值，CD错误.故选：A.6.若函数在点处的切线斜率为1，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出，由已知得列出方程，求解即可．【详解】因为，所以在点处的切线斜率为，解得，故选：D．7.若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】令，将问题转化为，利用导数可求得单调性，从而得到，解不等式即可求得结果.【详解】令，则恒成立，；，当时，；当时，； 上单调递减，在上单调递增，，解得：，即的取值范围为.故选：B.8.已知正四面体的棱长为，若、分别是、的中点，则线段的长为（）A.2B.C.D.【答案】B【解析】【分析】以、、作为一组基底表示出，再根据数量积的运算律求出，即可得解.【详解】，又、、两两的夹角均为，且，，.故选：B．9.函数的图象大致是（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】根据图象结合函数定义域、单调性判断B，C错误；由函数在时函数值的符号可判断D.【详解】由定义域为，排除B；又，令，得，的单增区间为，排除C；当时，，排除D；故选：A．10.若函数有两个极值点，则的取值范围为（）A.B.C.或D.【答案】D【解析】【分析】函数有两个不同的极值点，则在上有两个不同的实数解，转化为二次方程在有两个不同的实数解，求解即可.【详解】由题意可得的定义域为，，因为函数有两个极值点，所以在上有两个不同的实数解，所以，解得，故选：D11.如图，半径为1的球是圆柱的内切球，线段是球的一条直径，点是圆柱表面上 的动点，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先把都用表示，再根据的模长的范围求出数量积的范围即可.【详解】，因为线段是球的一条直径，,，又，，，故选：A．12.若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将不等式变形，令，，数形结合，转化为两个函数图象相交情况分析. 【详解】，不等式可化为，令，，由解得，由解得，在为增函数，在为减函数，令，则的图象恒过，若解集恰有个整数，当时，有无数个整数解，不满足题意；当时，如图，2满足不等式且3不满足不等式，即且，.故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，则______．【答案】【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算求解作答.【详解】因为，，所以.故答案为：14.______．【答案】2【解析】【分析】利用微积分基本定理直接运算求值.【详解】，故答案为：2． 15.若函数在区间上单调递减，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性与导函数的关系，利用分离参数法解决恒成立问题，结合三角函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，，因为在区间单调递减，所以上恒成立，等价于即可，因，所以，即，于是有，所以的取值范围是.故答案为：．16.如图，正方体的棱长为，若空间中的动点满足，，则下列命题正确的是______．（请用正确命题的序号作答）①若，则点到平面的距离为；②若，则二面角的平面角为；③若，则三棱锥的体积为；④若，则点的轨迹构成的平面图形的面积为． 【答案】②④【解析】【分析】分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，对于①：直接应用点到平面距离的向量公式，即可判断；对于②：直接应用面面角的向量公式，即可判断；对于③：先求出点到平面的距离，即可计算出，得出判断；对于④：延长至点，使得，取中点，中点，连接，，作出平面与正方体的截面，并说明该截面为边长为的正六边形，由条件得，根据空间向量共面定理得点在平面上，即可作出判断．【详解】对于①：由空间向量的正交分解及其坐标表示可建立如图空间直角坐标系，所以，，，，，向量，设平面的法向量，由，，则即，取则，则点与平面的距离为，故①错误；对于②：设平面的法向量，又，，即，取，则，易得平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则，是锐角，二面角的平面角为，故②正确；对于③：，，，， ，则，设平面的法向量为，由，，则，取则，则点到平面的距离为，由得易知，则三棱锥，故③错误；对于④：延长至点，使得，取中点，中点，连接，并延长，交棱，于点，，交，延长线于点，，连接，交棱，于点，，连接，，如图所示，则平面与正方体的截面为六边形，，在平面中，，点为中点，，，在和中 ，，，，即点为中点，，同理可得，，六边形为正六边形，且边长为，则其面积，，，，整理得，点在平面上，当，点的轨迹构成的平面图形的面积为，故④正确．故答案为：②④．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知空间向量，，．（1）若，求；（2）若与相互垂直，求． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据空间向量共线公式列式求参即可；（2）根据空间向量垂直数量积为0列式求参即可.【小问1详解】，，，即，且，，解得；【小问2详解】，，又，解得．18.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间的最大值与最小值．【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，并结合切点得到切线方程；（2）先利用导数求得在区间上的单调区间，进而求得在区间上的最大值与最小值.【小问1详解】，切点为，又，，切线方程为，即， 即曲线在点处的切线方程为；【小问2详解】由（1）知，令，得或，令，得，函数在区间，为增函数，在区间为减函数，又，，；又，，.19.如图，在正三棱柱中，，是的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）证明：平面平面．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分别作，的中点，，连接，，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求出直线与的空间向量，即可利用线线角的公式求解.（2）分别求出平面和平面的法向量，利用法向量数量积为0，即可证明.【小问1详解】如图，分别作，的中点，，连接，，在正三棱柱中，底面ABC，且， 则OA，OB，互相垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系，已知，则，，，，设异面直线与所成角为，，，，；【小问2详解】由题可知，，，，，设平面的法向量为，则，令，，设平面的法向量为，则，令，，，平面平面.20.制作一个容积为的圆柱体容器（有底有盖，不考虑器壁的厚度），设底面半径为．（1）把该容器外表面积表示为关于底面半径的函数；（2）求的值，使得外表面积最小．【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）根据圆柱体积公式可表示出圆柱的高，结合圆柱表面积公式可表示出；（2）利用导数可求得的单调性，进而确定最值点.【小问1详解】设圆柱体水杯的高为，则，表面积，即，.【小问2详解】由（1）得：；令，解得：；则当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，表面积取得最小值．21.在如图①所示的长方形中，，，是上的点且满足，现将三角形沿翻折至平面平面（如图②），设平面与平面的交线为．（1）求二面角的余弦值；（2）求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值；（2）设直线与相交于点，即为，是与平面所成角，计算求解即可． 【小问1详解】如图，取的中点，连接，，则，又平面平面，又平面平面，又平面平面，延长交于点，由，为的中点，则，，，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，,，，，，，平面，平面，，又，，平面，所以平面，平面的法向量为，且，又，，设平面的法向量为，则，令，则，设二面角的平面角为，，由题知，二面角的余弦值为； 【小问2详解】设直线与相交于点，，平面，同理平面，由平面公理3可得，又，即为，平面，是在平面内的投影，是与平面所成角，由，又，，，与平面所成角正弦值为．22.已知函数，．（1）求函数的导函数在上的单调性；（2）证明：，有．【答案】（1）在上单调递增；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）直接对函数求导，利用导数与函数间的关系即可求出结果；（2）构造函数，将求证结果转化判断函数值大小，再利用函数的单调性即可求出结果.【小问1详解】因为，所以，令，即，又因为， 又因为，所以，即有，所以，所以在区间上单调递增，即在上单调递增；【小问2详解】由题知，要证，即证，令，则，即证，由（1）知在区间上单调递增，又因为，所以，所以在区间上单调递增，因为，所以，故命题得证．