四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高三数学（文）上学期入学联考试题（Word版附解析）

2023-2024学年四川省成都市蓉城名校联盟高三（上）入学联考数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只1．（5分）若复数z满足，则|z|＝（　　）A．2B．C．3D．2．（5分）设集合U＝R，若集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x≥0}U（A∪B）＝（　　）A．{x|x≥﹣1}B．{x|x≤﹣1}C．{x|x≤1}D．{x|x＜0或x≥1}3．（5分）棱长为1的正方体的外接球的表面积为（　　）A．πB．2πC．3πD．4π4．（5分）已知a＝ln0.9，b＝，c＝2﹣0.1，则（　　）A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a5．（5分）养殖户在某池塘随机捕捞了100条鲤鱼做好标记并放回池塘，几天后又随机捕捞了100条鲤鱼，发现有3条鲤鱼被标记（　　）A．1000条B．3000条C．3333条D．10000条6．（5分）若函数f（x）＝（x+a）（2x+2﹣x）是定义域上的奇函数，则实数a的值为（　　）A．0B．﹣1C．1D．27．（5分）若直线y＝2x的倾斜角为θ，则sin2θ＝（　　）A．B．C．D．18．（5分）过点作圆x2﹣2x+y2＝2的两条切线，切点分别为A，B，则∠APB＝（　　）A．B．C．D．9．（5分）若函数f（x）＝kex﹣lnx在区间（1，e）上是增函数，则实数k的取值范围为（　　）A．（0，+∞）B．C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，﹣e]10．（5分）庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①）（如图②），若四边形ABCD是矩形，AB∥EF，EA＝ED＝FB＝FC＝3，则五面体FE﹣ABCD的表面积为（　　） A．48B．C．D．11．（5分）若函数，x∈[m，n]的值域为[﹣1，则n﹣m的最小值为（　　）A．B．πC．D．12．（5分）已知△ABC的顶点在抛物线y2＝2x上，若抛物线的焦点F恰好是△ABC的重心，则|FA|+|FB|+|FC|的值为（　　）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）若，，则＝　　．14．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为，则m＝　　．15．（5分）勒洛三角形是分别以等边△ABC的每个顶点为圆心，以边长为半径的三段内角所对圆弧围成的曲边三角形，由德国机械工程专家勒洛首先发现，如转子发动机，方孔钻机等．如图，现随机地在勒洛三角形内部取一点，则该点取自△ABC及其内部的概率为　　．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC面积的最大值为　　．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）已知等比数列{an}的各项满足an+1＞an，若a2＝3，且3a2，2a3，a4成等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{an+n}的前n项和．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC＝3．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）求三棱锥C﹣PBD的体积．19．（12分）近日，某市市民体育锻炼的热情空前高涨．某学生兴趣小组在8月9日随机抽取了该市100人，并对其当天体育锻炼时间进行了调查，锻炼时间不少于40分钟的人称为“运动达人”．（1）估算这100人当天体育锻炼时间的众数和平均数（每组中的数据用组中值代替）；（2）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此判断是否有95%的把握认为“运动达人”与性别有关．非“运动达人”“运动达人”合计男性1545女性合计附：，n＝a+b+c+d，临界值表：p（K2≥k）0.050.01 k3.8416.63520．（12分）已知函数f（x）＝xex+1．（1）求f（x）过原点的切线方程；（2）证明：当a≤﹣2时，对任意的正实数x，都有不等式f（x）21．（12分）已知椭圆过点，且上顶点与右顶点的距离的．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点P（3，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，若存在，求出点Q的坐标，请说明理由．（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣ρ2cos2θ+3ρcosθ＝3．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若l与C有公共点，求实数m的取值范围．选做题。23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣m|．（1）当m＝2时，求不等式f（x）≤5的解集；（2）若f（x）＞﹣m，求实数m的取值范围． 2023-2024学年四川省成都市蓉城名校联盟高三（上）入学联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只1．（5分）若复数z满足，则|z|＝（　　）A．2B．C．3D．【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．【解答】解：，则|z|＝．故选：D．【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．2．（5分）设集合U＝R，若集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x≥0}U（A∪B）＝（　　）A．{x|x≥﹣1}B．{x|x≤﹣1}C．{x|x≤1}D．{x|x＜0或x≥1}【分析】根据集合的基本运算即可求A∪B，进而求解结论．【解答】解：∵集合U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝{x|x＞﹣3}，∴∁U（A∪B）＝{x|x≤﹣1}．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3．（5分）棱长为1的正方体的外接球的表面积为（　　）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小，因此可得到外接球的直径，进而求得R，再代入球的表面积公式可得球的表面积．【解答】解：设正方体的棱长为a，正方体外接球的半径为Ra，即R＝＝；所以外接球的表面积为：S球＝7πR2＝3π．故选：C．【点评】本题考查正方体与球的知识，正方体的外接球的概念以及正方体棱长与其外接球的直径之间的数量关系，球的表面积的计算． 4．（5分）已知a＝ln0.9，b＝，c＝2﹣0.1，则（　　）A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a【分析】根据已知条件，以0，1为中间数，进行比较，即可求解．【解答】解：a＝ln0.9＜ln5＝0，b＝，4＜2﹣0.4＜20＝5，即0＜c＜1，故a＜c＜b．故选：A．【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．5．（5分）养殖户在某池塘随机捕捞了100条鲤鱼做好标记并放回池塘，几天后又随机捕捞了100条鲤鱼，发现有3条鲤鱼被标记（　　）A．1000条B．3000条C．3333条D．10000条【分析】根据已知条件，列出等式，即可求解．【解答】解：设池塘里鲤鱼大约有n条，则由题意可知，，解得x≈3333．故选：C．【点评】本题主要考查用样本的数字特征估计总体的数字特征，属于基础题．6．（5分）若函数f（x）＝（x+a）（2x+2﹣x）是定义域上的奇函数，则实数a的值为（　　）A．0B．﹣1C．1D．2【分析】由已知结合奇函数的性质即可求解．【解答】解：若函数f（x）＝（x+a）（2x+2﹣x）是定义域上的奇函数，则f（0）＝6a＝0，即a＝0，此时f（x）＝x（4x+2﹣x）为奇函数，符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了奇函数的性质的应用，属于基础题．7．（5分）若直线y＝2x的倾斜角为θ，则sin2θ＝（　　）A．B．C．D．1【分析】先求出tanθ＝2，再结合二倍角公式，即可求解．【解答】解：直线y＝2x的倾斜角为θ，则tanθ＝2， 故sin4θ＝＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．8．（5分）过点作圆x2﹣2x+y2＝2的两条切线，切点分别为A，B，则∠APB＝（　　）A．B．C．D．【分析】根据已知条件，结合圆的几何性质，以及勾股定理，即可求解．【解答】解：圆x2﹣2x+y4＝2，即（x﹣1）2+y2＝3，即圆心O（4，半径为，则|OP|＝，|OA|＝，∵A，B为切点，∴，∴，即，∴∠APB＝2∠PAO＝．故选：D．【点评】本题主要考查圆的切线方程，属于基础题．9．（5分）若函数f（x）＝kex﹣lnx在区间（1，e）上是增函数，则实数k的取值范围为（　　）A．（0，+∞）B．C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，﹣e]【分析】根据题意可得在区间（1，e）上恒成立，再参变量分离转化为最值，即可求解【解答】解：∵f（x）＝kex﹣lnx在区间（1，e）上是增函数，∴在区间（1，∴k≥在区间（6，设g（x）＝，x∈（1， ∴g′（x）＝＜0，∴g（x）在（3，e）上单调递减，∴g（x）＜g（1）＝，∴k≥，即实数k的取值范围为[，+∞）．故选：B．【点评】本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题的求解，化归转化思想，属中档题．10．（5分）庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①）（如图②），若四边形ABCD是矩形，AB∥EF，EA＝ED＝FB＝FC＝3，则五面体FE﹣ABCD的表面积为（　　）A．48B．C．D．【分析】五面体的表面积为S＝S矩形ABCD+2S梯形AEFB+2S△BCF，由此计算即可．【解答】解：五面体FE﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，且AB＝CD＝2EF＝2BC＝4，所以五面体FE﹣ABCD的表面积为S＝S矩形ABCD+2S梯形AEFB+2S△BCF＝4×4+2××（8+7）××4×．故选：D．【点评】本题考查了几何体体积的计算问题，是基础题．11．（5分）若函数，x∈[m，n]的值域为[﹣1，则n﹣m的最小值为（　　） A．B．πC．D．【分析】在一个周期内求出＝﹣1，2时的x的值，即可求出n﹣m的值．【解答】解：＝﹣2，即＝，由已知条件可知，T＝2π，令x﹣＝﹣，k∈Z，得，k∈Z，再令2sin（x﹣）＝2，即sin（x﹣）＝2＝+6kπ，得x＝，k∈Z，故n﹣m的最小值为．故选：C．【点评】本题考查正弦函数的图像与性质，属于中档题．12．（5分）已知△ABC的顶点在抛物线y2＝2x上，若抛物线的焦点F恰好是△ABC的重心，则|FA|+|FB|+|FC|的值为（　　）A．1B．2C．3D．4【分析】根据已知条件，结合重心的性质，以及抛物线的定义，即可求解．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y6），抛物线y2＝2x，则F（），焦点F恰好是△ABC的重心，则，故|FA|+|FB|+|FC|＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）若，，则＝　4　．【分析】结合平面向量数量积的坐标运算求解即可． 【解答】解：已知，，则，则＝．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．14．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为，则m＝　3　．【分析】由双曲线的方程求得渐近线方程，结合已知得答案．【解答】解：由双曲线，得a＝，∴双曲线的一条渐近线方程为y＝＝，可得m＝3．故答案为：3．【点评】本题考查双曲线的简单性质，是基础题．15．（5分）勒洛三角形是分别以等边△ABC的每个顶点为圆心，以边长为半径的三段内角所对圆弧围成的曲边三角形，由德国机械工程专家勒洛首先发现，如转子发动机，方孔钻机等．如图，现随机地在勒洛三角形内部取一点，则该点取自△ABC及其内部的概率为　　．【分析】设等边△ABC的边长为a，求出勒洛三角形的面积和三角形ABC的面积，再利用几何概型的概率公式求解．【解答】解：设等边△ABC的边长为a，则S扇形ABC＝＝， 又因为S△ABC＝，所以勒洛三角形的面积M＝3S扇形ABC﹣2S△ABC＝，所以所求概率为P＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查扇形的面积公式，考查了几何概型的概率公式，属于基础题．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC面积的最大值为　　．【分析】结合余弦定理与基本不等式，推出bc≤4，再由S＝bcsinA，得解．【解答】解：由余弦定理知，a2＝b2+c3﹣2bccosA，所以4＝b2+c2﹣2bc•＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，所以△ABC面积S＝bcsinA≤＝，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查解三角形，熟练掌握余弦定理，三角形面积公式与基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）已知等比数列{an}的各项满足an+1＞an，若a2＝3，且3a2，2a3，a4成等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{an+n}的前n项和． 【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，由题意得，即，求解q，结合题意，利用等比数列的通项公式，即可得出答案；（2）由（1）得an＝3n﹣1，则an+n＝3n﹣1+n，利用分组求和法，即可得出答案．【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，∵a2＝3，且8a2，2a2，a4成等差数列，∴，即，解得q＝1或q＝4，∵an+1＞an，∴q＝3，a4＝1，∴{an}的通项公式为an＝3n﹣2；（2）由（1）得an＝3n﹣1，则an+n＝3n﹣1+n，∴数列{an+n}的前n项和（a1+7）+（a2+2）+...+（an+n）＝（7+3+...+3n﹣4）+（1+2+...+n）＝+＝+，故数列{an+n}的前n项和为+．【点评】本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC＝3．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）求三棱锥C﹣PBD的体积． 【分析】（1）由PA⊥底面ABCD，得PA⊥BD，再求解三角形证明AE⊥BD，可得BD⊥平面PAC；（2）求出直角梯形ABCD与三角形ABD的面积，再由四棱锥P﹣ABCD的体积减去三棱锥P﹣ABD的体积得答案．【解答】（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，在直角梯形ABCD中，由AD∥BC，BC＝3，解得BD＝2，AC＝，∵AD∥BC，∴△AED∽△CEB，则，可得DE＝＝，AE＝＝，在△AED中，有AE2+DE4＝AD2，得AE⊥BD，又PA∩AE＝A，∴BD⊥平面PAC；（2）解：∵，，∴三棱锥C﹣PBD的体积V＝VP﹣ABCD﹣VP﹣ABD＝．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．19．（12分）近日，某市市民体育锻炼的热情空前高涨．某学生兴趣小组在8月9日随机抽取了该市100人，并对其当天体育锻炼时间进行了调查，锻炼时间不少于40 分钟的人称为“运动达人”．（1）估算这100人当天体育锻炼时间的众数和平均数（每组中的数据用组中值代替）；（2）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此判断是否有95%的把握认为“运动达人”与性别有关．非“运动达人”“运动达人”合计男性1545女性合计附：，n＝a+b+c+d，临界值表：p（K2≥k）0.050.01k3.8416.635【分析】（1）根据众数和平均数的定义求解；（2）根据频率分布直方图求出“运动达人”的人数和非“运动达人”的人数，完成2×2列联表，计算K2的值，再与临界值比较即可．【解答】解：（1）众数为＝35，平均数为5×5.1+15×0.18+25×3.22+35×0.25+45×0.5+55×0.05＝29.2；（2）由频率分布直方图可知，“运动达人”的人数为（3.2+0.05）×100＝25，完成5×2列联表如下： 非“运动达人”“运动达人”合计男性301545女性451055合计7525100则K2＝≈3.030＜3.841，所以没有95%的把握认为“运动达人”与性别有关．【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了独立性检验的应用，属于基础题．20．（12分）已知函数f（x）＝xex+1．（1）求f（x）过原点的切线方程；（2）证明：当a≤﹣2时，对任意的正实数x，都有不等式f（x）【分析】（1）利用导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解；（2）根据题意易得f（x）﹣ax+1＞2x，再构造函数g（x）＝x﹣sinx，x＞0，证明g（x）＞0，从而可得2x＞2sinx，最后利用不等式的传递性，即可得证．【解答】解：（1）∵f（x）＝xex+1，∴f′（x）＝ex+1（x+4），设f（x）过原点的切线切f（x）于点P（t，tet+1），则P处的切线方程为y﹣tet+1＝et+5（t+1）（x﹣t），又该切线过原点（0，∴﹣tet+4＝et+1（t+1）（﹣t），∴t＝t（t+5），∴t＝0，∴f（x）过原点的切线方程y＝ex；（2）证明：∵当a≤﹣2时，对任意的正实数x，又f（x）+6＝xex+1+1＞2，∴f（x）﹣ax+1＞2x，①，设g（x）＝x﹣sinx，x＞2，则g′（x）＝1﹣cosx≥0，∴g（x）在（5，+∞）上单调递增， ∴g（x）＞g（0）＝0，即x﹣sinx＞0在（5，+∞）上恒成立，∴2x＞2sinx，②，由①②可得f（x）﹣ax+6＞2sinx，故原命题得证．【点评】本题考查导数的综合应用，构造函数证明不等式，不等式的性质的应用，化归转化思想，属中档题．21．（12分）已知椭圆过点，且上顶点与右顶点的距离的．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点P（3，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，若存在，求出点Q的坐标，请说明理由．【分析】（1）由题意，根据椭圆C的上顶点与右顶点的距离为，得到a2+b2＝3，再将点代入椭圆C中，进而可得椭圆C的方程；（2）对直线l的斜率是否存在进行讨论，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为x＝ty+3，将直线l的方程与椭圆方程联立，结合根的判别式求出t的取值范围，若存在点Q使得∠PQA+∠PQB＝π，此时存在点Q使得kQA+kQB＝0，不妨设Q（m，0），代入斜率公式中即可得证．【解答】解：（1）因为椭圆C的上顶点与右顶点的距离为，所以a2+b3＝3，①因为点在椭圆C上，所以，②联立①②，解得a2＝7，b2＝1或，（不合题意，所以椭圆C的方程为；（2）当直线l与x轴重合时，x轴上存在点Q使得∠PQA+∠PQB＝π，当直线l与x轴不重合时， 不妨设直线l的方程为x＝ty+3，联立，消去x并整理得（t2+2）y7+6ty+7＝6，此时Δ＝（6t）2﹣28（t5+2）≥0，解得或，不妨设A（x1，y3），B（x2，y2），由韦达定理得，，若存在点Q使得∠PQA+∠PQB＝π，即存在点Q使得kQA+kQB＝0，不妨设Q（m，0），因为，即y1（x8﹣m）+y2（x1﹣m）＝3，即y1（ty2+3﹣m）+y2（ty1+5﹣m）＝0，整理得2y3y2+（3﹣m）（y5+y2）＝0，代入得，所以点Q的坐标为，综上，x轴上存在点．【点评】本题考查椭圆的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣ρ2cos2θ+3ρcosθ＝3．（1）求曲线C的直角坐标方程； （2）若l与C有公共点，求实数m的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用一元二次方程的解的情况求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ2﹣ρ2cos8θ+3ρcosθ＝3，整理得：ρ2（1﹣cos2θ）+7ρcosθ﹣3＝0，化简得：4ρ2sin2θ+6ρcosθ﹣3＝0，根据，转换为直角坐标方程为：2y2+3x﹣4＝0，（2）直线l的参数方程为（t为参数）；由于直线l与C有公共点，所以，整理得，利用，解得．故实数m的取值范围为（﹣．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程的解法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．选做题。23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣m|．（1）当m＝2时，求不等式f（x）≤5的解集；（2）若f（x）＞﹣m，求实数m的取值范围．【分析】（1）将f（x）写成分段函数，再分别求解即可；（2）由题意可得|m+1|＞﹣m，分m≥0、m＜0分别求解即可．【解答】解：（1）当m＝2时，f（x）＝|x+1|+|x﹣3|＝，当x＜﹣1时，令﹣2x+7≤5；当﹣1≤x≤4时，3≤5成立； 当x＞6时，令2x﹣1≤4；综上所述，f（x）≤5的解集为：[﹣2；（2）因为f（x）＝|x+2|+|x﹣m|≥|（x+1）﹣（x﹣m）|＝|1+m|，当（x+7）（x﹣m）≤0时，又因为f（x）＞﹣m，所以有|m+1|＞﹣m，当m≥8时，上式显然成立；当m＜0时，由|m+1|＞﹣m2+2m+1＞m2，解得﹣＜m＜7，综上所述，实数m的取值范围为（﹣．