四川省成都市蓉城联盟2023-2024学年高三文科数学上学期开学联考试题（Word版附答案）

2023～2024学年度上期高中2021级入学联考文科数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数满足，则A．B．C．D．2．设集合，若集合，，则A．B．C．D．或3．边长为1的正方体的外接球表面积为A．B．C．D．4．已知，，，则A．B．C．D．5．养殖户在某池塘随机捕捞了条鲤鱼做好标记并放回池塘，几天后又随机捕捞了条鲤鱼，发现有条鲤鱼被标记，据此估计池塘里鲤鱼大约有A．条B．条C．条D．条6．若函数是定义域上的奇函数，则实数的值为A．B．C．D．7．若直线的倾斜角为，则A．B．C．D．8．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则 A．B．C．D．9．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为A．B．C．D．10．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为①②A．B．C．D．11．若函数，的值域为，则的最小值为A．B．C．D．12．已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，，则______．14．已知双曲线的一条渐近线方程为，则______．15．勒洛三角形是分别以等边的每个顶点为圆心，以边长为半径的三段内角所对圆弧围成的曲边三角形，由德国机械工程专家勒洛首先发现，勒洛三角形因为其具有等宽性被广泛地应用于机械工程，如转子发动机，方孔钻机等．如图，曲边三角形即是等边对应的勒洛三角形，现随机地在勒洛三角形内部取一点，则该点取自及其内部的概率为______． 16．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）已知等比数列的各项满足，若，且，，成等差数列．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．18．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．19．（12分）近日，某市市民体育锻炼的热情空前高涨．某学生兴趣小组在月日随机抽取了该市人，并对其当天体育锻炼时间进行了调查，右图是根据调查结果绘制的体育锻炼时间的频率分布直方图，锻炼时间不少于分钟的人称为“运动达人”．（1）估算这人当天体育锻炼时间的众数和平均数（每组中的数据用组中值代替）；（2）根据已知条件完成下面的列联表，并据此判断是否有的把握认为“运动达人”与性别有关．非“运动达人”“运动达人”合计男性女性 合计附：，，临界值表：0.050.013.8416.63520．（12分）已知函数．（1）求过原点的切线方程；（2）证明：当时，对任意的正实数，都有不等式恒成立．21．（12分）已知椭圆过点，且上顶点与右顶点的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线交椭圆于，两点，轴上是否存在点使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22．（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若与有公共点，求实数的取值范围．23．（10分）已知函数． （1）当时，求不等式的解集；2023～2024学年度上期高中2021级入学联考文科数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。123456789101112DBBACACDBDCC二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．414．15．16．三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）解：（1）设的首项为，若，，成等差数列，则，即，…………………………2分化简可得，又，…………………………4分解得或（舍去），；…………………………6分（2）设数列的前项和为，则…………………………8分…………………………11分 ．…………………………12分18．（12分）解：（1）由题设可知，，在中，，即，…………………………3分因为底面，又因为平面，所以，…………………………4分又因为，，平面，所以平面；…………………………6分（2）由底面，所以是三棱锥的高，所以．…………12分19．（12分）解：（1）由众数的定义可知，这人当天体育锻炼时间的众数为的组中值，即35，……………………2分设这人当天体育锻炼时间的平均数为；则；……………………6分（2）根据已知条件，列联表如下：非“运动达人”“运动达人”合计 男性女性合计………………………8分根据列联表中的数据有，………………11分所以没有的把握认为“运动达人”与性别有关．………………………12分20．（12分）解：（1）因为，，设切点为，…………………………1分所以切线斜率为，切线为，…………………………4分将点代入切线解得，故切线方程为；…………………………5分（2）令，，则原不等式即为，显然，…………………………6分又，且，…………………………7分再令，则，当时，，，所以恒成立， 当时，，……………………9分所以当时，恒有，所以在区间上为增函数，…………………10分即在区间上为增函数，因为当时，有，所以在上为增函数，所以，不等式恒成立．………………12分21．（12分）解：（1）椭圆的上顶点与右顶点的距离为，即，…………………………1分将代入方程，得，…………………………3分联立以上两式可得，或，（不合题意，舍去），………4分椭圆的方程为；…………………………5分（2）当直线与轴重合时，结论显然成立；…………………………6分当直线与轴不重合时，设其方程为；联立，得，由，即，解得或，…………………………7分设，两点的坐标分别为，， 所以，，…………………………8分若存在点使得，即存在点使得，设点的坐标为，因为，即，即，整理得，……10分代入得，所以点的坐标为．综上，轴上存在点满足题意．…………………………12分22．（10分）解：（1）曲线的极坐标方程可化为，…………………………2分又因为，，代入极坐标方程得；…………………………5分（2）将直线的参数方程代入，得关于参数的方程，若与有公共点，判别式，………8分即，解得．…………………………10分23．（10分） 解：（1）由题知，当时，原不等式即，…………………………1分当时，不等式为，解得；…………………………2分当时，不等式为，恒成立；…………………………3分当时，不等式为，解得，…………………………4分综上，不等式的解集为；…………………………5分（2）依题意，即恒成立，…………………………6分又因为，当且仅当时不等式取等号，即，…………………………8分所以，解得．…………………………10分 解析：1．D由复数模的定义得，选D．2．B因为，所以，选B．3．B其外接球直径，所以，选B．4．A因为，而，所以，所以，选A．5．C由题知被标记的鱼大约占总体的，所以鲤鱼大约有条，选C．6．A函数的定义域为，由题知是定义域在上的奇函数，所以，即，化简得，选A．7．C由斜率的定义有，所以，选C．8．D方程可化为，则圆心为，半径为，因为，在中，，，所以，所以，选D．9．B当时，在区间上是减函数（不符合题意）；当时，，即，令，有，所以在区间是增函数，，所以，选B．10．D 分别作，的中点，，连接，，过点作的垂线，垂足为，因为，所以，所以，根据对称性易得，所以，在中，，，又，所以，选D．11．C令，解得或，，令，解得，，结合图象可知，，同时，，所以的最小值为．选C．12．C抛物线的焦点为，由重心的性质有，又由抛物线的定义知，同理可得，又因为，所以，选C．13．因为，所以．14．因为，所以解得． 15．设等边的边长为，则，对应的勒洛三角形的面积为，所以取自及其内部的概率为．16．由余弦定理得，即，即，因为，即，即，