山西省大同市第一中学2023-2024学年高二上学期12月检测数学试题（Word版附解析）

2023～2024-1高二年级12月学情检测数学试卷（试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线的左焦点的坐标为（）A．B．C．D．2．在空间直角坐标系O-xyz中，点，，则（）A．直线AB∥坐标平面xOyB．直线AB⊥坐标平面xOyC．直线AB∥坐标平面xOyD．直线AB⊥坐标平面xOy3．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用表示解下n（，）个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下4个圆环所需的最少移动次数为（）A．7B．10C．12D．224．已知抛物线的焦点在y轴上，且焦点到坐标原点的距离为1，则抛物线的标准方程为（）A．B．或C．D．或5．已知，则圆与直线的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定6．过双曲线（，）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A．若（O为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．或27．已知双曲线C：（，），抛物线E：的焦点为F，抛物线E的准线与双曲线C的两条渐近线分别交于点A，B，若△ABF为正三角形，则双曲线C的渐近线方程为（） A．B．C．D．8．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点M在椭圆C上，则的内切圆半径的取值范围为（）A．B．C．D．二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知、，则下列命题中正确的是（）A．平面内满足的动点P的轨迹为椭圆B．平面内满足的动点P的轨迹为双曲线的一支C．平面内满足的动点P的轨迹为抛物线D．平面内满足的动点P的轨迹为圆10．若正项数列是等差数列，且，则（）A．当时，B．的取值范围是C．当为整数时，的最大值为29D．公差d的取值范围是11．圆F：，抛物线C：，过圆心F的直线l与两曲线的四个交点自下向上依次记为P，M，N，Q，若，，构成等差数列，则直线l的方程可能是（）A．B．C．D．12．已知双曲线E过点且与双曲线共渐近线，直线l与双曲线E交于A，B两点，分别过点A，B且与双曲线E相切的两条直线交于点P，则下列结论正确的是（）A．双曲线E的标准方程是B．若AB的中点为，则直线l的方程为 C．若点A的坐标为，则直线AP的方程为D．若点P在直线上运动，则直线l恒过点三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．）13．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为．14．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为．15．已知椭圆C：（）的左焦点为F，经过原点的直线与C交于A，B两点，总有，则椭圆C离心率的取值范围为．16．在棱长为2的正方体中，动点E在正方体内切球的球面上，则的取值范围是．四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本题10分）求适合下列条件的曲线方程：（1）与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆的标准方程；（2）渐近线方程为，经过点双曲线的标准方程，18．（本题12分）记为等差数列的前n项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．19．（本题12分）如图，在棱长为2的正方体中，点M是的中点．（1）求到平面BDM的距离； （2）求证：平面MBD⊥平面．20．（本题12分）已知数列满足，（1）记，写出，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和．21．（本题12分）已知抛物线C：的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若，求l的方程；（2）若，求．22．（本题12分）已知椭圆C：（）的离心率，且椭圆C经过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点且斜率不为零的直线与椭圆C交于B，D两点，B关于x轴的对称点为A，求证：直线AD与x轴交于定点Q． 参考答案一、单项选择题1．【双曲线的焦点】A2．【空间向量】C3．【数列递推公式】A4．【抛物线方程】D5．【直线与圆的位置关系】B6．【双曲线的离心率】B7．【双曲线的几何性质】C8．【椭圆的几何性质】D二、多项选择题9．【圆锥曲线的定义】AD10．【等差数列的通项公式】ABC11．【直线与抛物线位置关系】CD12．【直线与双曲线位置关系】BC三、填空题13．【数列】14．【抛物最值】515．【椭圆的离心率】16．【空间向量运算】四、解答题17．【圆锥曲线基本量运算】【详解】（1）与椭圆有相同的焦点，则椭圆的焦点为，所以，设椭圆的方程为，将代入可得，，所以椭圆的标准方程为． （2）由渐近线方程为，设双曲线的方程为，，代入点可得，解得，所以双曲线的标准方程为．18．【等差数列通项及前n项和最值】【详解】（1）设等差数列的公差为d，由得，，解得：，所以．（2）[方法1]：邻项变号法由可得．当，即，解得，所以的最小值为，所以的最小值为．[方法2]：函数法由题意知，即，所以的最小值为，所以的最小值为．19．【利用空间向量解决立体几何问题】【详解】（1）以D为坐标原点，以DA，DC，为x，y，Z轴建立如图所示空间直角坐标系， 所以，，，．所以，，．设平面BDM的一个法向量为，因为，所以．令，则，，所以．设到平面BDM的距离为d，所以．（2）因为，，，所以，．设平面的一个法向量为，因为，所以，令，则，，所以． 又因为平面MBD的一个法向量，所以，所以，所以平面MBD⊥平面．20．【数列分组求和】【详解】解：（1）[方法一]【最优解】显然2n为偶数，则，，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，于是，，．[方法二]：奇偶分类讨论由题意知，，，所以，．由（n为奇数）及（n为偶数）可知，数列从第一项起，若n为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若n为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以（），则．（2）[方法一]：奇偶分类讨论．[方法二]：分组求和由题意知数列满足，，，所以． 所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．从而数列的前20项和为：．21．【直线与抛物线的位置关系】【详解】（1）设直线l方程为：，，由抛物线焦半径公式可知：∴联立得：则∴∴，解得：直线l的方程为：，即：（2）设，则可设直线l方程为：联立3得：则∴∴，∵∴ ∴，∴22．【椭圆的定点问题】【详解】（1）由离心率可得，将点代入椭圆方程可得，又；解得，所以椭圆C的方程为（2）设点，，则，直线PB的方程为，直线PB与椭圆C：联立，消去x，得，则可得，，易知，得由题意，直线AD的方程为，令，所以点Q的横坐标，所以直线AD与x轴交于定点