山西省朔州市怀仁市第一中学2023-2024学年高二上学期12月期中数学试题（Word版附解析）

怀仁一中高二年级2023~2024学年上学期期中考试数学试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过两点，的直线的倾斜角为，则（）A1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据两点的斜率公式及倾斜角的关系计算即可.【详解】由于直线AB倾斜角为，则该直线AB的斜率为，又因为，，所以，解得．故选:B．2.已知是坐标原点，是抛物线：的焦点，是上一点，则线段的长度为（）A.9B.C.3D.【答案】D【解析】【分析】根据点在抛物线上，求得抛物线方程即可求解.【详解】由是上一点，得：，解得，所以． 故选:D.3.已知点是双曲线：的渐近线上在第一象限内的一点，为的左焦点，则直线斜率的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出的过第一象限的渐近线斜率为，且，数形结合得到直线斜率的取值范围.【详解】由题意知，，，故的过第一象限的渐近线斜率为，且，又与原点连线的斜率为0，故斜率的取值范围为．故选：A．4.已知是空间的一个基底，，，若，则（）A.B.0C.5D.6．【答案】D【解析】【分析】利用空间向量基底的概念及共线定理计算即可.【详解】易知，因，所以存在实数，使得，所以，所以，所以． 故选：D．5.已知圆经过点，且圆心在直线上，若为圆上的动点，则线段为坐标原点）长度的最大值为（）A.B.C.10D.【答案】A【解析】【分析】求出圆心和半径，根据即可得答案.【详解】解：线段中点的坐标为，所以线段的中垂线的斜率为，所以线段的中垂线的方程为，又圆心在直线上，由，解得，所以圆心为．所以.故选：A．6.已知A，B是椭圆E：上的两点，点是线段AB的中点，则直线AB的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用点差法及点斜式计算即可. 【详解】设，，则AB的中点坐标为，所以，，将A，B的坐标代入椭圆的方程作差可得，所以，所以直线AB的方程为，即．故选:A．7.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可.【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系，设A与分别为上，下底面对应点.设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，所以. 又喉部（中间最细处）的直径为，所以，所以双曲线的方程为.由题意可知，代入双曲线方程，得，所以该塔筒的高为.故选:C.8.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（）A.B.2C.D.3【答案】C【解析】【分析】作出辅助线，得到线面垂直，进而得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，求出点到直线距离，求出最小值.【详解】取的中点为，连接，，，因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以，又底面是矩形，所以，以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，由，，，得，所以，，，则，设，则，，，，因此点到直线的距离，故当时，取最小值，即线段上的动点到直线的距离的最小值为．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知方程表示的曲线为，则（） A.当时，曲线表示椭圆B.存在，使得表示圆C.当或时，曲线表示双曲线D.若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则焦距为【答案】BC【解析】【分析】根据圆，椭圆，双曲线的标准方程分别判断各选项.【详解】A、B选项：当时，，，当时，，此时曲线表示圆，A选项错误，B选项正确；C选项：当时，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，当时，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确；D选项：若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则，则椭圆的焦距，D选项错误；故选：BC.10.已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（）A.若，则点在棱上B.若，则点在线段上C.若，为棱的中点D.若，则点在线段上【答案】ABD【解析】【分析】利用空间向量的数乘运算与共线定理逐项判断即可.【详解】作出三棱柱，如图，对于A，当时，，则，所以点在棱上，故A正确；对于B，当时，，所以点在线段上，故B正确； 对于C，当时，由B知，所以为棱的中点，故C错误；对于D，当时，，所以，则，即，所以点在线段上，故D正确.故选：ABD.11.过抛物线：的焦点的直线与相交于，两点，直线的倾斜角为，若的最小值为8，则（）A.的坐标为B.若，则C.的中点到的准线的最小距离为4D.当时，为的一个四等分点【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件，结合抛物线定义求出及抛物线方程，再逐项计算判断即得.【详解】抛物线：的焦点，准线，显然直线不垂直于y轴，设直线方程为，由消去并整理得，则，，，因此，当且仅当时取等号，即，，抛物线：，焦点，A错误；显然，，则，解得，即的斜率为，于是或，，B正确； 的中点到准线的距离，当且仅当时取等号，C正确；当时，直线的方程为，由消去y得：，不妨令，，于是，因此为的一个四等分点，D正确．故选：BCD12.已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为，则下列结论正确的是（）A.的离心率为B.的方程为C.若，则D.若，则椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称【答案】AC【解析】【分析】利用点差法确定，关系，结合，有求得离心率；根据椭圆过定点确定椭圆标准方程；由弦长公式求弦长；假设椭圆上存在，两点并设其中点坐标利用点差法确定，验证，所以点在椭圆外，这与是弦的中点矛盾，所以椭圆上不存在，两点，使得，关于直线对称. 【详解】设，，则，即，因为，在椭圆上，所以，，两式相减，得，即，又，所以，即，又，所以，离心率，故A正确；因为椭圆过点，所以，解得，，所以椭圆的标准方程为，故B错误；若，则直线的方程为，由得，所以，，，故C正确；若，则直线的方程为.假设椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称，设，，的中点为，所以，.因为，关于直线对称，所以且点在直线上，即.又，在椭圆上，所以，.两式相减.得，即，所以，即，联立解得即.又，所以点在椭圆外，这与是弦的中点矛盾，所以椭圆上不存在，两点，使得，关于直线对称，故D错误.故选：AC 【点睛】点差法的应用，以及点与椭圆位置关系的确定.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.试写出一个点的坐标：_________，使之与点，三点共线（与不重合）.【答案】（满足（）即可）【解析】【分析】设，由三点共线，可得，列出方程组，即可求解.【详解】设，由三点共线，可得，即，所以，解得，，，不妨令，可得，，，故此时点的坐标为.故答案：（答案不唯一：满足（）即可）14.已知抛物线：的焦点为，，为上一点，则的最小值为________．【答案】5【解析】【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.【详解】过作准线的垂线，垂足为，则，显然点在抛物线内，则当，，三点共线时，最小，其最小值为．故答案为：15.已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为________．【答案】【解析】 【分析】根据给定条件，利用圆的切线长定理，结合直角三角形面积用表示，再借助点到直线的距离求出最小值.【详解】圆：的圆心为，半径，由过作圆的两条切线，切点分别为，，得，垂直平分，因此，即有设，则，显然当最小时，的值最大，此时最小，又的最小值为点到直线的距离，即，，所以的最小值为．故答案为：16.已知分别是双曲线的上、下焦点，经过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形，若的离心率的取值范围是，则直线的倾斜角的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知也在双曲线的渐近线上，且在第二象限，从而由可知轴，设，又在渐近线上，可得，利用，和离心率的取值范围可得答案围．【详解】由双曲线的对称性可知也在双曲线的渐近线上，且在第二象限， 由轴，可知轴，所以可设，又在渐近线上，所以，所以，因为的离心率的取值范围是，所以，又，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知也在双曲线的渐近线上，利用求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）双曲线C的渐近线方程为，焦点在y轴上，两顶点之间的距离为4；（2）双曲线E与双曲线有共同的渐近线，并且经过点.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设双曲线的标准方程，根据条件求出即可； （2）设双曲线方程，将点代入求得即可.【小问1详解】已知双曲线C的焦点在y轴上，所以可设C的标准方程为，又C的渐近线方程为，所以，即，由C的两顶点之间的距离为4，得，所以.故双曲线C的标准方程为.【小问2详解】因为E与双曲线有共同的渐近线，所以可设E为，因为E过点，则，解得，故双曲线E的标准方程为.18.在四棱锥中，平面，底面是正方形，E，F分别在棱，上且，．（1）证明：∥平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】（1）在棱上取点，使得，连接，，即可证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理，即可证明；（2）以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】证明：如图，在棱上取点，使得，连接，，因为，所以且，由正方形，，得且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．【小问2详解】若，则可设，所以．以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则点，，，，，则，，，设平面的法向量为，则 由得令，得平面的一个法向是为，设直线与平面所成角的大小为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．19.在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的焦点，且与相交于两点，直线交的准线于点.（1）若，求直线的方程；（2）证明：直线平行于轴.【答案】（1）或（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合焦点弦长公式得直线的斜率存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理即可求解；（2）设，由直线，得，再联立直线：与抛物线方程，应用韦达定理，可证明.【小问1详解】抛物线的焦点为，准线方程为，设，由抛物线定义，得，所以，当直线的斜率不存在时，，不符合要求，故直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程，得，则，解得，所以直线的方程为或.【小问2详解】证明：设，则直线的方程为，令，可得，设直线的方程为，代入方程，得，所以，所以，所以直线平行于轴.20.已知椭圆C：的左，右焦点分别为，过点的直线交C于A，B两点，．（1）若，的周长为18，求的值；（2）若，求C的离心率．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义分别算出和的长即得；（2）首先设，则，，由，利用余弦定理可得，再利用勾股定理即可求C的离心率.【小问1详解】由，，得，． 因为的周长为18，所以由椭圆定义可得，解得．又，，所以，，所以．【小问2详解】设，则，．由椭圆定义可得，．在中，由余弦定理可得，即，化简可得，又，，故，所以，，所以，所以，所以，即，解得：，所以C的离心率．21.如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，． （1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（2）在棱上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为?若存在，求点到平面的距离；若不存在，说明理由．【答案】21.；22.存在，距离为.【解析】【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.（2）由（1）中坐标系，由异面直线所成角的余弦求出点，再利用向量法求出点到平面的距离.【小问1详解】由四边形为正方形，平面，知直线两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，设平面的一个法向量，则，令，得，设平面的一个法向量，则，令，得，设平面和平面所成锐二面角为，则 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．【小问2详解】假设存在，又，则，，由直线与所成角的余弦值为，得，解得，则存在点，为棱的中点时满足条件，即，，，设平面的一个法向量，则，令，得，所以点到平面的距离为.22.已知椭圆过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）已知的下顶点为，不过的直线与交于点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）（2）过定点，【解析】【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，设的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由，代入计算，即可得到结果.小问1详解】依题意，得又，解得所以椭圆方程为. 【小问2详解】因为，所以，又为线段的中点，所以，因此.根据题意可知直线的斜率一定存在，设的方程为，联立消去，得，根据韦达定理可得，因为，所以，所以，整理得，解得或.又直线不经过点，所以舍去，于是直线的方程为，恒过定点，该点在椭圆内，满足，所以直线恒过定点，定点坐标为.