山西省大同市汇林中学2023-2024学年高一数学上学期期中试题（Word版附解析）

大同市云冈区中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号和班级填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.一、选择题（每题4分，共48分）1.下列命题正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法判断正确选项.【详解】A选项，时，，但，A选项错误；B选项，时，，但，B选项错误；C选项，时，，但，C选项错误；D选项，，，，所以，D选项正确.故选：D2.如图，在中，，于点，下列结论错误的有（）个①图中只有两对相似三角形；②；③若，，则 A.1个B.2个C.3个D.0个【答案】A【解析】【分析】由图中的三个直角三角形判断相似，面积法证明等式，射影定理和勾股定理求边长.【详解】在中，，于点，则有，故①错误；由，得，故②正确；由射影定理得，，解得，在中，，故③正确；故选：A.3.用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（）A.1B.3C.5D.7【答案】C【解析】【分析】先分析中有1个或者3个元素，即方程有一个根或者三个根，分析方程的根的情况，可得到可取的值，即可得答案.【详解】集合，，根据集合的新定义知：中有1个或者3个元素，当中有1个元素时，有一个解，可得；当中有3个元素时，易知，有三个解， 其中的两个为：，当有一个解时，令，可得；当有两个解且其中一个和0或者相等时，也满足条件，此时，显然不等于0，所以或，解得或，综上所述，设实数a的所有可能取值为，所以构成集合S元素个数为5，即.故选：C4.已知命题，命题，，若是成立的必要不充分条件，则区间可以为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由命题q中的a的范围，再由是成立的必要不充分条件，得选项.【详解】命题，，则，所以，解得或，又是成立的必要不充分条件，所以Ü，所以区间可以为，故选：B.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含． 5.如图，已知R是实数集，集合，，则阴影部分表示的集合是（）A.[0，1]B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先通过解分式不等式求解集合，然后再通过Venn图确定集合运算，进而求解即可【详解】由，解得：，即.Venn图中阴影部分表示的是.故选：B6.若全集，集合A满足，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据补集的运算可得答案.【详解】因为，，所以，故选：C7.“”是“函数在上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据分段函数在上单调递增求得的取值范围，再根据充分必要条件的概念判断即可. 【详解】解：由函数在上单调递增，得得．因为“”是“”的必要不充分条件，所以“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件.故选：B.8.（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接利用指数幂的运算性质计算即可.【详解】.故选：B9.函数的部分图象大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将函数写成分段函数，再根据特殊值判断即可. 【详解】解：因为，且，，故符合题意的只有A.故选：A10.已知幂函数的图象过点，则的值为（）A.B.1C.2D.4【答案】C【解析】【分析】设出幂函数的解析式，利用给定点求出解析式即可计算作答.【详解】依题意，设，则有，解得，于是得，所以.故选：C11.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.12.已知是上的增函数，、、、则、、的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】利用幂函数和指数函数的性质比较大小，再由单调性比较a、b、c大小.【详解】因为函数在上单调递增，所以，因为在R上单调递减，所以，所以，是上的增函数，故故选：A二、填空题（共22分）13.若关于的不等式无解，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】由关于的不等式无解，可得，求出的最大值，进而可求出实数的取值范围.【详解】因为关于不等式无解，所以，令，二次函数开口向下，对称轴时，取得最大值，最大值，所以，解得或.所以实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，若恒成立，则；若存在解，则；若无解，则.14.已知集合，则的子集个数为____________．【答案】8【解析】【分析】首先求出，然后可得答案. 【详解】因为，所以，所以的子集个数为8．故答案为：815.已知函数的图象与直线有四个交点，则a的取信范围为_____________.【答案】【解析】【分析】根据指数函数的单调性，结合数形结合思想进行求解即可.【详解】，函数图象如下图所示：当时，，当时，。所以要想函数的图象与直线有四个交点，只需，故答案为：16.已知函数且在上恒成立，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据不等式在上恒成立，按照分段函数，分段处理，结合参变分离求最值即可得实数a 的取值范围.【详解】解：在上恒成立，则当时，恒成立，所以，又，即，故当时，，所以；当时，恒成立，所以，又当且仅当，即时，等号成立，所以，所以；综上，实数a的取值范围是.故答案为：.17.命题，否定为______.【答案】，【解析】【分析】含有量词的命题的否定，全称量词改为存在量词，否定结论.【详解】因为含有量词的命题的否定，全称量词改为存在量词，否定结论，所以命题，的否定为，，故答案为：，.三、解答题（本题共5小题，每题16分，共80分）18.已知集合，．（1）当时，求集合；（2）若，满足：①，②，从①②中任选一个作为条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）选①，；选②，【解析】 【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案.（2）选择条件后，根据集合是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.【小问1详解】当时，求集合，.【小问2详解】若选择条件①，，当时，，解得，当时，由可得或，解得或，综上取值范围是.若选择条件②，则集合是集合的子集，当时，，解得，当时，有，解得，综上的取值范围是.19.（1）已知函数是定义域上的函数，且，，求函数的解析式，判断函数在上的单调性并用定义证明在上的单调性；（2）已知，则称为的不动点，函数 有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值.【答案】（1）；函数在上单调递减，在上单调递增；证明见解析（2）6【解析】【分析】（1）先求出函数解析式，然后利用单调性的定义证明即可；（2）根据两个正数根得到，再根据根与系数的关系得到，换元，整理化简利用均值不等式计算得到最值.【小问1详解】因为，，所以，解得，所以，函数在上单调递减，在上单调递增；证明如下：设，且，，当时，所以，，，所以，即，所以函数上单调递减；当时，所以，，所以，即，所以函数在上单调递增.【小问2详解】因为函数有两个不相等的不动点、，所以有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根，所以，解得，所以，，所以.令，，当且仅当，即，即时等号成立，所以的最小值为6.20.已知不等式组的解集为，集合．（1）求；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式组，解集即为解集A；（2）由，得，列出不等式组，解得a的取值范围.【小问1详解】解：由，得，得，所以．【小问2详解】解：由，得，所以，得，故的取值范围为． 21.为响应国家“乡村振兴”号召，小李决定返乡创业，承包老家的土地发展生态农业．小李承包的土地需要投入固定成本万元，且后续的其他成本总额（单位：万元）与前年的关系式近似满足．已知小李第一年的其他成本为万元，前两年的其他成本总额为万元，每年的总收入均为万元．（1）小李承包的土地到第几年开始盈利？（2）求小李承包的土地的年平均利润的最大值．【答案】（1）第年（2）最大为万元【解析】【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，设小李承包的土地到第年的利润为万元，求出函数的解析式，然后解不等式，可得出结论；（2）设年平均利润为万元，可得出，利用基本不等式求出的最大值及其对应的值，即可得出结论.【小问1详解】由题意得，解得，所以．设小李承包的土地到第年的利润为万元，则，由，得，解得．故小李承包的土地到第年开始盈利．【小问2详解】设年平均利润为万元，则，当且仅当时，等号成立．故当小李承包的土地到第年时，年平均利润最大，最大为万元．22.已知函数. （1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；（2）求关于的不等式的解集.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）讨论和，结合二次函数性质解不等式即可得出答案；（2）不等式等价于，对分类讨论求不等式解集.【小问1详解】，恒成立，当时，成立，当时，则，即，即综上所述.【小问2详解】当时，，则当时，令，则，或，此时，∴或当时，即时，当，即时，当时，即时，综上所述:当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，；当时，解集为