山西省2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题（Word版附解析）

2023～2024学年山西省高二期中联合考试数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版择性必修第一册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在空间直角坐标系中，点关于原点O的对称点的坐标为（）．A．B．C．D．2．直线的倾斜角为（）．A．B．C．D．3．已知点，，动点A满足，则A的轨迹方程为（）．A．B．C．D．4．在空间直角坐标系中，已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为（）．A．B．C．D．5．直线与圆交于A，B两点，则的面积为（）．A．B．C．D．6．开普勒定律揭示了行星环绕太阳运动的规律，其第一定律指出所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳中心在椭圆的一个焦点上．已知某行星在绕太阳运动的过程中，轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.47亿公里，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心1.52亿千里，则该行星运动轨迹的离心率为（）． A．B．C．D．7．圆与圆的位置关系不可能是（）．A．内含B．相交C．外切D．内切8．设A是抛物线上的动点，B是圆上的动点，则的最小值为（）．A．B．C．27D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在平行六面体中，E为的中点，则（）．A．B．C．D．10．已知椭圆的两个焦点为，，P是C上任意一点，则（）．A．B．C．D．11．若曲线与圆恰有4个公共点，则m的值可能是（）．A．B．C．D．212．已知双曲线的右焦点为F，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，该垂线与另一条渐近线的交点为B，若，则C的离心率可能为（）．A．B．C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线是等轴双曲线，则C的焦距为__________． 14．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线AB与CD所成角的余弦值为__________．15．已知P是抛物线上的一动点，点M的坐标为，PQ垂直于x轴，垂足为Q，则的最小值为__________．16．已知斜率为1的直线l与圆交于A，B两点，P为弦AB的中点，若P的横坐标为m，则m的取值范围为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知的顶点，BC边上的高所在直线的方程为．（1）求直线BC的一般式方程；（2）若AC边上的中线所在直线的方程为，求顶点A的坐标．18．（12分）如图，在棱长为3的正方体中，点E在线段BD上，点F在线段上，且，．（1）求到直线EF的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值．19．（12分）已知圆M的圆心在y轴上，且经过，两点．（1）求圆M的圆心坐标和半径；（2）若P是圆M上的一个动点，求P到直线的距离的最小值．20．（12分）如图，在底面为梯形的四棱锥中，，底面，，，． （1）证明：平面．（2）延长AB至点F，使得，求点F到平面的距离．21．（12分）已知椭圆过点，且短轴长为．（1）求C的长轴长；（2）若，分别是C的左、右焦点，过点的直线交C于M，N两点，过点的直线交C于A，B两点，且，A，B，M，N四点围成的四边形的面积为，求的斜率．22．（12分）已知抛物线的焦点为F，点Q在D上，且的最小值为1．（1）求D的方程．（2）过点的直线与D相交于A，B两点，过点的直线与D相交于B，C两点，且A，C不重合，判断直线AC是否过定点．若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 2023～2024学年山西省高二期中联合考试数学参考答案1．B点关于原点O的对称点的坐标为．2．B由题意得，所以该直线的倾斜角为．3．B因为，所以A的轨迹为双曲线．设该双曲线的方程为，则，，，所以A的轨迹方程为．4．A设直线l与平面所成的角为，则，则．5．A由题意得圆心M到直线的距离，则，所以的面积为．6．D由题意知，，则该行星运动轨迹的离心率．7．C圆C的标准方程为，因为，所以圆C的圆心在圆D的内部， 所以两圆的位置关系可能是内含、相交、内切，不可能是外切．8．D设，则，当时，取得最小值28，所以，所以．9．ABD由题意得，易得，，所以，．10．BCD因为，所以，，，所以，，，．11．AC因为曲线与圆恰有4个公共点，所以直线，均与圆相交，且两直线的交点不在该圆上，则有，解得．12．AB不妨设C的一条渐近线的方程为， 则直线AF的斜率为，则．设，联立直线AF的方程与，可得，．同理可得点A的纵坐标为，因为，所以．因为，所以或．13．由题意得C的焦距为．14．因为，，所以，所以直线AB与CD所成角的余弦值为．15．由题意得C的焦点为，准线为直线，所以等于P到直线的距离减2，所以．当F，P，M三点共线时，最小，最小值为，所以的最小值为．16．设，，AB的中点， 由，得，则，得．因为在圆M内，所以，得．17．解：（1）由题意得边BC上的高所在直线的斜率为1，（1分）则直线BC的斜率为，（3分）所以直线BC的方程为，即．（5分）（2）设，因为AC边上的中线所在直线的方程为，且，所以，则．（7分）因为BC边上高所在的直线经过点A，（8分）所以，则，故A的坐标为．（10分）18．解：（1）以D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，（2分）所以到直线EF的距离为．（5分）（2）由（1）得，，则．（6分）易得平面的一个法向量为．（7分）设平面的法向量为，则，得， 取，则，，得，（10分）所以平面与平面夹角的余弦值为．（12分）19．解：（1）因为圆M的圆心在y轴上，所以可设圆M的方程为．（2分）又圆M经过，两点，所以，得．（4分）故圆M的圆心坐标为，半径为．（2）由题意得圆心M到直线的距离为，（9分）所以P到直线的距离的最小值为．（12分）20．（1）证明：因为，所以．（1分）因为底面，所以，（2分）因为，（3分）所以平面．（4分）又，所以平面．（5分）（2）解：以B为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，（6分），．（7分）设平面的法向量为，则，即，（8分） 令，得．（9分）因为，（10分）所以点F到平面的距离．（12分）21．解：（1）由，得．（1分）将代入C的方程，得，得．（3分）故C的长轴长为．（4分）（2）由（1）可知椭圆C的方程为．（5分）易得的面积是四边形面积的，即，由题意得，的斜率不为0，，，设．（6分）由，得，则，（8分）所以，（10分）化简得，得，即．（11分）故的斜率为．（12分）22．解：（1）由题意得的最小值为，则，得．（2分）所以D的方程为．（3分）（2）因为A，C不重合，所以直线AB，BC，AC的斜率必然存在．（4分） 设，，．直线AB的斜率，（5分）得．（6分）直线BC的斜率，（7分）得．（8分）由，消去可得，（9分）直线AC的斜率，（10分）所以直线AC的方程为．（11分）