江苏省扬州中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

扬州中学高二数学阶段检测试卷2023.12.22一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）1.已知等差数列中，，则公差（）A.4B.3C.D.2.已知，则（）A.0B.1C.2D.3.设是等比数列，下列说法一定正确的是（）A.成等比数列B.成等比数列C成等比数列D.成等比数列4.已知等差数列的前n项和为，若，，则（）A.182B.128C.56D.425.已知双曲线的渐近线方程为，则E的焦距等于（）AB.2C.D.46.已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为()A.3B.2C.D.7.对于如图所示的数阵，它的第11行中所有数的和为（）A.B.C.D.638.若过点可作函数图象两条切线，则必有（）A.B.C.D. 二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知等比数列是单调数列，设是其前项和，若，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.10.下列函数在定义域上为增函数的有（）AB.C.D.11.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（）A.若，则B.以为直径的圆与准线相交C.设，则D.过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条12.已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，设，，，，已知成等差数列，公差为d，则（）A.成等差数列B.若，则C.D.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，则______. 14.已知三个互不相等的一组实数，，成等比数列，适当调整顺序后，这三个数又能成等差数列，满足条件的一组实数，，为______.15.设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为_______________________．16.在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆．若圆上存在两点A，B，且圆上恰好存在一点P，使得四边形OAPB为矩形，则实数a的取值集合是_________．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，，求数列的通项公式.18.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．19.已知是等差数列前项和，，公差且从“①为与的等比中项”，“②等比数列的公比”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列存在并作答.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求.20.已知圆，点，过轴下方一点作圆的切线与轴分别交于，两点.（1）过点直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； （2）当时，求点的坐标.21.设函数，其中为自然对数的底数.（1）若在定义域上是增函数，求的取值范围；（2）若直线是函数的切线，求实数的值；22.已知椭圆和抛物线，点F为的右焦点，点H为的焦点．（1）过点F作的切线，切点为P，求抛物线的方程；（2）过点H的直线l交于P，Q两点，点M满足，（O为坐标原点），且点M在线段上，记的面积为的面积为，求的取值范围． 扬州中学高二数学阶段检测试卷2023.12.22一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）1.已知等差数列中，，则公差（）A.4B.3C.D.【答案】B【解析】【分析】根据等差数列通项公式即可求解.【详解】在等差数列中，，所以有．故选：B2.已知，则（）A.0B.1C.2D.【答案】C【解析】【分析】先求出导数，再代入求值即可．【详解】由，则，所以．故选：C．3.设是等比数列，下列说法一定正确是（）A.成等比数列B.成等比数列C.成等比数列D.成等比数列【答案】D【解析】【详解】项中，故项说法错误；项中，故项说法错误；项中，故项说法错误；故项中，故项说法正确，故选D. 4.已知等差数列的前n项和为，若，，则（）A.182B.128C.56D.42【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的通项及求和公式，列出不等式组，求得的值，代入公式，即可求得；【详解】设等差数列的首项为，公差为d，由，，得，解得，所以；故选:D.5.已知双曲线的渐近线方程为，则E的焦距等于（）A.B.2C.D.4【答案】D【解析】【分析】利用双曲线的渐近线方程求出，然后利用求出c，即可求出焦距.【详解】双曲线的渐近线方程为，可得：，所以，所以焦距为.故选：D6.已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为()A.3B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】首先求出直线的方程和线段的长度，利用圆心到直线的距离再减去圆的半径得出 的高的最小值，即可求解.【详解】由题意，易知直线的方程为，且,∵圆可化为，∴圆心为，半径为1，又∵圆心到直线的距离，∵的面积最小时，点C到直线的距离最短，该最短距离即圆心到直线的距离减去圆的半径，故面积的最小值为.故选：D.7.对于如图所示的数阵，它的第11行中所有数的和为（）A.B.C.D.63【答案】C【解析】【分析】求出第11行第一个数为-56，最后一个数为-66，即得解.【详解】解：前10行的数共有（个），所以第11行第一个数为-56，最后一个数为-66，则第11行所有数的和为.故选：C8.若过点可作函数图象的两条切线，则必有（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】设切点为，，求导，根据导数的几何意义可得有两个正根，利用判别式及根与系数关系列不等式可得解.【详解】设切点为，，又，所以切线斜率，所以切线方程为，又切线过点，则，，即，由过点可作两条切线，所以有两个正根，即，整理可得，故选：C.二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知等比数列是单调数列，设是其前项和，若，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D. 【答案】BD【解析】【分析】利用等比数列的通项公式和前项和求解即可.【详解】设等比数列的公比为，则有，解得或，当时数列不是单调数列，所以，所以，故A错误；，故B正确；，故C错误；，，所以成立，故D正确.故选:BD10.下列函数在定义域上为增函数的有（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性一一判定选项即可.【详解】由在上是增函数，故A正确；对于函数，当时，，当时，，所以在定义域上不是增函数，故B错误； 函数的定义域为，所以在定义域上是增函数，故C正确；，定义域为，在定义域内不是增函数，故D错误；故选：AC.11.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（）A.若，则B.以为直径的圆与准线相交C.设，则D.过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条【答案】ACD【解析】【分析】根据焦点弦公式即可判断A；求出线段的中点坐标及圆的半径，从而可判断B；根据抛物线的定义可得，即可判断C；分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合根的判别式即可判断D.【详解】抛物线焦点，准线，由题意，故A正确；因为，则以为直径的圆的半径， 线段的中点坐标为，则线段的中点到准线的距离为，所以以为直径的圆与准线相切，故B错误；抛物线的焦点为，，当且仅当三点共线时，取等号，所以，故C正确；对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个公共点，当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，消得，当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，当时，则，解得，综上所述，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条，故D正确．故选：ACD．12.已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，设，，，，已知成等差数列，公差为d，则（）A成等差数列B.若，则C.D.【答案】ABC【解析】 【分析】A选项，由椭圆定义及成等差数列，得到，，，，故，A正确；B选项，在A选项基础上得到，，，设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，由得到，由弦长公式得到，联立得到；C选项，由焦半径公式推导出，C正确；D选项，在的基础上，得到，D错误.【详解】A选项，由椭圆定义可知：，又成等差数列，故，则，则，则，，又，故，故A正确；B选项，若，此时，，故，且，设，因为直线斜率一定不为0，设直线为，与联立得：，即则，因为，所以，联立解得，故由弦长公式可得：，所以，平方得：，其中， 故，解得：，即，由可得：，整理得：，即，故，解得：或，因为，所以舍去，故，B正确；C选项，设椭圆上一点，其中椭圆左右焦点分别为，下面证明，，过点M作MA⊥椭圆的左准线于点A，作MB⊥椭圆右准线于点B，则有椭圆的第二定义可知：，其中，则，，故，故，，故，所以，C正确；D选项，设直线为，由得：，故，D错误.故选：ABC【点睛】椭圆焦半径公式： （1）椭圆上一点，其中椭圆左右焦点分别为，则，，（2）椭圆上一点，其中椭圆下上焦点分别为，则，，记忆口诀：左加右减，下加上减.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，则______.【答案】【解析】【分析】利用函数的导数公式求解.【详解】解：因为，所以，故答案为：14.已知三个互不相等的一组实数，，成等比数列，适当调整顺序后，这三个数又能成等差数列，满足条件的一组实数，，为______.【答案】，2，（答案不唯一）【解析】【分析】根据等差数列、等比数列的定义求解.【详解】，2，成等比数列，而，，2成等差数列，∴，，可取，2，.故答案为:，2，.（答案不唯一）15.设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为_______________________．【答案】【解析】 【分析】由与互补，得到两角的余弦值互为相反数，两次利用余弦定理得到关于的方程.【详解】如图所示：因为焦点到渐近线的距离为，所以，则，所以，因为，所以，解得：.【点睛】求圆锥曲线的离心率主要有几何法和代数法，本题主要通过两次利用余弦定理进行代数运算，找到关系求得离心率.16.在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆．若圆上存在两点A，B，且圆上恰好存在一点P，使得四边形OAPB为矩形，则实数a的取值集合是_________．【答案】【解析】【分析】设，OP中点，求出P点的轨迹方程，因P又在圆上，所以两圆有且仅有一个公共点，所以或，求解即可得出答案.【详解】设，OP中点，D也是AB中点，，因为D也是AB中点，所以，， 因为在圆内，所以，∴，又因为，，所以，∴，∴P在上，P又在圆上，满足条件的P恰好有一个点，∴两圆有且仅有一个公共点，∴或，或或0或2，所以a的取值集合．故答案为：.四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，，求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）因为，所以，两式相减整理得数列为等比数列，进而得通项；（2）由得，直接利用“累加法”可得数列的通项公式.【详解】（1）因为，所以，所以当时，，整理得，由，令，得，解得，所以是首项为1，公比为2的等比数列.所以. （2）由得.累加得，当时也满足上式，所以.18.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【答案】（1）（2）切线方程为，切点为.【解析】【分析】（1）求导得到导函数，计算，得到切线方程.（2）设切点，求导计算得到斜率，确定函数切线，根据切线过原点得到，计算得到答案.【小问1详解】，，.故曲线在点处的切线方程为，即；【小问2详解】设切点为，，切线方程为，.切线经过原点，故，所以，，故，切点为，切线方程为，即过原点的切线方程为，切点为.19.已知是等差数列前项和，，公差且从“①为 与的等比中项”，“②等比数列的公比”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列存在并作答.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）分别选择①和②列方程计算，解得基本量，利用公差判断得①符合条件，即得通项公式；（2）利用裂项相消法求和即可.【详解】解：（1）若选①，为与的等比中项，则，由为等差数列，，得把代入上式，可得，即解得或，又因为公差，故，，故；若选②，等比数列的公比，可得，即，即有即，又，可得，即，解方程得，不符合题意，故选①，此时；（2）因为，所以. 【点睛】结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型，其中是公差为的等差数列；（2）无理型；（3）指数型；（4）对数型.20.已知圆，点，过轴下方一点作圆的切线与轴分别交于，两点.（1）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）当时，求点的坐标.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）设直线的方程为，根据点到直线的距离等于半径列方程求解即可；（2）设直线的方程为，根据点到直线的距离等于半径列方程求出，进而根据点横坐标为即可求解.【小问1详解】由题知，直线的斜率一定存在，所以设直线的方程为，整理得，因为直线被圆C截得的弦长为，所以圆心C到直线的距离， 又因为，解得或，所以直线的方程为或；【小问2详解】当时，，，因为直线，都是圆C的切线，所以直线的方程为；此时直线的斜率一定存在，设其方程为，即，圆心C到直线的距离，解得或（舍去），则直线，把代入，解得，所以点Q坐标为.21.设函数，其中为自然对数的底数.（1）若在定义域上是增函数，求的取值范围；（2）若直线是函数的切线，求实数的值；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得在上恒成立；即在上恒成立，令，利用导数求出其最小值即可； （2）设切点为，则，由题意得，得，，令，利用导数求出其单调区间和最值即可【详解】（1）函数的定义域为，，∵在上是增函数∴在上恒成立；即在上恒成立设，则由得∴在上为增函数；即∴.（2）设切点为，则，因为，所以，得，所以.设，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以.因为方程仅有一解，所以.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，解题的关键是由题意得，，得到，然后构造函数，利用导数求得，从而得，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题22.已知椭圆和抛物线，点F为的右焦点，点H为的焦点． （1）过点F作的切线，切点为P，求抛物线的方程；（2）过点H的直线l交于P，Q两点，点M满足，（O为坐标原点），且点M在线段上，记的面积为的面积为，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】设直线的方程为：，联立可得：．求出的坐标，然后求解，推出抛物线方程；设点，直线方程为：，联立可得：．利用韦达定理，结合又，求出的纵坐标的范围然后求解三角形的面积的比值，推出结果即可．【小问1详解】由题可知：设直线的方程为：，联立可得：．则△，故且，即点,故，所以，抛物线的方程：；【小问2详解】设点，直线方程为：， 联立可得：．故，从而，又，则，从而，且，则，从而，，由此可得．