四川省南充市仪陇中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

仪陇中学2023-2024学年度上期第二次月考高二数学试卷命题人：邓兵审题人：蔡德高满分：150分考试时间：120分钟一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】应用直线斜率公式，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.【详解】因为一条直线经过两点，，所以该直线的斜率为，则有该直线的倾斜角满足，因为，所以，故选：B2.双曲线上点到左焦点的距离是，则到右焦点的距离是（）A.12B.14C.16D.18【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的定义可求到右焦点的距离.【详解】设双曲线的左焦点为，右焦点为，则，故，故或（舍）.故选B.【点睛】本题考查双曲线的定义，注意可根据（左焦点为）的大小判断在双曲线的左支上还是在右支上，一般地，如果，则在左支上，解题中注意这个结论的应用. 3.方程表示圆，则的范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据方程表示圆，应当满足求解即可.【详解】因为方程表示圆，所以，解得：.故选：B.4.已知棱长为2的正方体的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用正方体外接球的直径为正方体的体对角线，容易求解．【详解】棱长为2的正方体，其体对角线长为2，而正方体的外接球直径即为正方体的体对角线，故外接球半径为，∴故选A．【点睛】此题考查了正方体的外接球问题，属容易题．球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.5.高二（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，180，求这7人的第60百分位数为A.168B.175C.172D.176【答案】B【解析】【分析】将7人的身高从低到高排列，最后由百分位数的求法求解即可.【详解】将7人的身高从低到高排列： 第5个数据为所求的第60百分位数，即这7人的第60百分位数为故选：B【点睛】本题主要考查了求百分位数，属于基础题.6.我们把离心率为的椭圆称为“最美椭圆”.已知椭圆C为“最美椭圆”，焦点在轴上，且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点和为顶点的三角形的面积最大值为4，则椭圆C的方程为（）A.B.CD.【答案】D【解析】【分析】先由得到与，再由的最大值得，进而求得，，故可得到椭圆C的方程.【详解】由已知，得，故，∵，即，∴，得，故，所以椭圆C的方程为.故选：D.7.若过椭圆内一点的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设出端点，代入椭圆，两式作差，变形，即可得到直线的斜率，再由点斜式写出直线即可． 【详解】设弦两端点为，则①-②得即直线为化简得故选C【点睛】本题考查根据椭圆中弦的中点求弦所在的直线，解决本类题的思路是点差法：设点-作差-变形，根据中点坐标，即可求出所在直线的的斜率，即可写出直线，属于基础题．8.已知球的半径为，、是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出图形，取线段的中点，利用向量的加法法则可得，，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围.【详解】作出图形，取线段的中点，连接、、、、，可知，由勾股定理可得，且有，由向量的加法法则可得，，.，由向量的三角不等式可得， ，所以，.因此，的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查向量数量积取值范围的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查数形结合思想以及计算能力，属于中等题.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9.直线l的方向向量，平面的法向量，则下列结论不正确的有（）A.B.C.与斜交D.【答案】ABC【解析】【分析】判断直线l的方向向量与平面的法向量的位置关系，从而可得直线l与平面的位置关系.【详解】解：因为，，则，所以，所以，故不正确的结论有ABC.故选：ABC.10.过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】分两种情况求解，过原点时和不过原点时，结合所过点的坐标，即可求解.【详解】当直线过坐标原点时，此时直线方程为，符合题意；当直线不过坐标原点时，设所求直线方程为，代入点，可得，即.综上可得，所求直线方程为和 故选：AC.11.已知是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若且，则B.若是平面内不共线三点，，则C.若直线，直线，则与为异面直线D.若直线是异面直线，直线是异面直线，则直线异面【答案】AB【解析】【分析】确定，A正确，若推出和重合，得到B正确，CD选项都有多种情况，错误，得到答案.【详解】对选项A：若且，则，正确；对选项B：若，又，则和重合，不成立，正确；对选项C：直线，直线，则与为异面直线或或相交，错误；对选项D：若直线是异面直线，直线是异面直线，则直线异面或相交或平行，错误；故选：AB12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于，则下列说法正确的是（）A.双曲线的渐近线方程为B.若，且，则C.分别以线段、为直径的两个圆内切D.【答案】ACD【解析】 【分析】通过求得，从而求得双曲线的渐近线方程，由此判断A选项的正确性；结合三角形的面积以及双曲线的定义求得，由此判断B选项的正确性；通过圆心距和两个圆半径间的关系判断C选项的正确性；结合二倍角的正切公式来判断D选项的正确性.【详解】对于A选项，设点，则，因为、，所以，由，得，故双曲线的渐近线方程为，A对；对于B选项，因为，所以，根据双曲线的定义可得，又因为，所以，整理得.由，可得，即，解得，B错；对于C，设的中点为，为原点.因为、分别为、的中点，所以，则可知以线段、为直径的两个圆内切，C对；对于D，当点在第一象限时，设点，则，.因为渐近线方程为， 所以，.当时，即当轴时，则，所以，，可得，所以，，此时，为等腰直角三角形，则，满足；当时，，，所以，因为，所以；当点在第四象限时，同理可得，综上可知，D对.故选：ACD.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，，若，则实数m的值为________．【答案】7【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式，结合空间向量垂直的性质进行求解即可.【详解】因为，所以，解得．故答案为：7． 【点睛】本题考查了空间向量垂直的性质，考查了空间向量数量积的坐标表示公式，考查了数学运算能力.14.若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是________．【答案】且【解析】【分析】根据直线方程写出其所过定点，结合其与椭圆的位置关系，可得答案.【详解】由直线，则可知其过定点，易知当该点在椭圆内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，则，解得且.故答案为：且.15.已知双曲线两个焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为_______．【答案】【解析】【分析】根据双曲线定义以及余弦定理得,再根据面积公式得结果.【详解】因为,所以，【点睛】本题考查双曲线定义以及焦点三角形，考查基本分析求解能力，属中档题.16.已知A，B为椭圆上两个不同的点，F为右焦点，，若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，则__________． 【答案】【解析】【分析】设,利用焦半径公式得到,设，写出垂直平分线方程，代入，化简得到值，最终求出的值.【详解】取椭圆方程为，，直线方程为（椭圆右准线），椭圆上点，右焦点，设点到直线的距离为d，则，所以，因为本题椭圆离心率:，设由焦半径公式:得:,即中点，，则垂直平分线斜率为根据点在椭圆上，则有，，作差化简得， 则线段的垂直平分线方程为,代入得:,即,则.故答案为：.【点睛】椭圆中常见的二级结论对解决椭圆相关难题，尤其是选择填空题具有很好的作用，例如本题中的焦半径公式，，，点在椭圆上适合椭圆方程这一条件做题时容易忽略，但是却是设点法做题必要的步骤.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.的三个顶点是，，，求：（1）边BC上的中线所在直线的方程；（2）边BC上的高所在直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由中点坐标公式求出BC边中点的坐标，再根据两点式写出直线的方程；（2）根据垂直关系求出斜率，再写出点斜式直线方程得出结果.【小问1详解】因为，，则BC边中点E的坐标为，，则直线AE的方程为，即；【小问2详解】因为，，则，∵BC边上的高与BC垂直，∴BC边上的高所在直线的斜率为，∴BC边上的高所在的直线方程为，即．18.已知圆C过两点，且圆心C在直线上．（1）求圆C的方程； （2）若直线与圆C相交于M，N两点，求弦的长度．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设圆的圆心为，半径为，由题意，列出关于、、的方程组即可求解；（2）结合（1）求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理即可求出弦的长．详解】解：（1）根据题意，设圆的圆心为，半径为，则圆方程为，又由圆过，两点，且圆心在直线上，则有，解可得，，，所以圆的方程为；（2）由（1）知圆的圆心，半径为4，所以点到直线的距离，所以．19.已知函数.（1）求求函数的最小正周期及对称中心.（2）求函数在值域.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由三角恒等变换可得正弦型三角函数，据此求周期、对称中心即可；（2）利用整体代换法求正弦函数的值域即可.【小问1详解】 所以函数的最小正周期为，令，解得∴对称中心是【小问2详解】令由，则，则，所以的值域是.20.某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示.（1）求实数的值；（2）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的中位数；（精确到0.01）（3）现在要从补贴金额的心理预期值在的已购车消费者中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中补贴金额的心理预期值都在间的概率.【答案】（1）（2）中位数的估计值为万元（3）【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可；（2）首先判断中位数位于内，设中位数为，再根据中位数计算规则得到方程，计算可得；（3）根据分层抽样求出、中抽取的人数，再用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得.【小问1详解】解：由题意知，，解得.【小问2详解】解：因为，则中位数在区间内，设中位数为，则，得，所以中位数的估计值为万元【小问3详解】解：从补贴金额的心理预期值在的已购车消费者中用分层抽样的方法抽取6人，则补贴金额的心理预期值在间的有人，记为，，，，补贴金额的心理预期值在间的有人，记为，，则基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况.其中补贴金额的心理预期值都在间有，，，，，，共种情况，所以抽到人中补贴金额的心理预期值都在间的概率.21.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点，为上一点. （1）求证：平面；（2）若面，求平面与平面的夹角.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）连接交于点O，连接，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面.（2）连接，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，设，分别求得平面和一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：连接交于点O，连接，由是正方形可得，O是的中点，又由F为的中点，在中，为中位线，所以，因为平面，且平面，所以平面.【小问2详解】解：连接，由面，因为面，所以，又由平面，且面，所以，所以，所以点G为的中点，以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，所以，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面的夹角.22.已知椭圆C：过点．右焦点为F，纵坐标为的点M在C上，且AF⊥MF．（1）求C的方程；（2）设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点．【答案】（1）（2）过定点；证明过程见详解【解析】【分析】（1）由题可得，结合条件可知，将点的坐标代入椭圆的方程，即可得解；（2）设点，求出点的坐标，写出直线的方程，结合条件变形即得.【小问1详解】设点，其中，则，因为椭圆过点，则，将点的坐标代入椭圆的方程得， 所以，解得，因此椭圆的标准方程为；【小问2详解】设点，则，所以直线的垂线的斜率为，由题可知，故直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，所以直线的方程为，即，因为，所以，所以，所以，所以直线过定点．【点睛】求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．