四川省南充市第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

2023年秋季南充市第一中学高2022级三校区联考数学试题总分：150分考试时间:120分钟第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．直线的倾斜角为（　）A．B．C．D．不存在2．已知圆，则圆心与半径分别为（    ）A．，B．，C．，D．，3．如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（    ）A．B．C．D．4．已知点，是圆上的动点，则线段长的最小值为（    ）A．B．C．D．5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ）A．若，则B．若，则C．若且，则D．若，则6．如图，二面角等于135°，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则（    ）A．B．C．D．47．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早系外包皮革､内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点P､A､B､C，其中平面，，则该球的体积为（    ）A．B．C．D． 8．已知点P是直线上的动点，过点P作圆的切线，切点为C，D，则四边形的面积的最小值是（    ）A．B．4C．D．8二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，选漏得2分，多选不得分。9．已知直线的方程为，则（    ）A．直线在轴上的截距为2B．直线在轴上的截距为3C．直线的倾斜角为锐角D．过原点且与垂直的直线方程为10．已知实数满足方程，则下列说法正确的是（   ）A．的最大值为B．的最大值为C．的最大值为D．的最大值为11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C围成的图形的周长是；②曲线C围成的图形的面积是2π；③曲线C上的任意两点间的距离不超过2；④若P（m，n）是曲线C上任意一点，的最小值是其中正确的结论为（    ）A．①B．②C．③D．④12．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，过的截面与棱，分别交于点F，G（G，E，F可能共线），则下列说法中正确的是（    ）A．存在点F，使得B．线段长度的取值范围是C．四棱锥的体积为2时，点F只能与点B重合D．设截面，，的面积分别为，，，则的最小值为 4第II卷（非选择题)一、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．平行直线与之间的距离为．14．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，那么15．圆关于直线的对称圆的方程为.16.已知点，点，点在直线上，若满足等式的点有两个，则实数的取值范围是________．三、解答题：本题共6小题，其中17题10分，18、19、20、21、22题12分,共70分.17.（本小题满分10分）已知三角形的三个顶点是(1)求直线AC方程（用斜截式表示）；(2)求AB边上高所在直线方程（用一般式表示）.18．①圆心在直线：上，圆过点；②圆过直线：和圆的交点：在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．已知圆经过点，且________．(1)求圆的标准方程；(2)已知点，求过点的圆的切线方程． 19．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．(1)证明：EF∥平面ABP；(2)求直线与平面所成角的正弦值．20．直线，圆.(1)证明：直线恒过定点，并求出定点的坐标；(2)求直线被圆截得的最短弦长；(3)设直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线方程.21．如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，BD⊥CD，点E，F分别是BC，DC的中点.(1)证明：平面ACD⊥平面AEF；(2)若∠BCD＝60°，点G是线段BD上的动点，问：点G运动到何处时，平面AEG与平面ACD所成的角最小.22．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍． (1)求点P的轨迹方程；(2)若点P与点Q关于点B对称，点，求的最大值；(3)若过B的直线与第二问中Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．南充一中高2022届第二学期半期考试数学试题参考答案1--8CDDDDCCD9BCD10AC11AD12BCD5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ）A．若，则B．若，则C．若且，则D．若，则【详解】对于A，若，，则或者或者相交，故A错误，对于B，若，则或者或者相交，故B错误，对于C，若且，则m与n可能平行、相交或异面，故C错误.对于D，若，则，又，所以，故D正确，故选：D.6．【详解】由二面角的平面角的定义知，所以，由，，得，，又因为，所以，所以，即．7．【详解】因为平面，平面，所以， 又，所以两两垂直，所以三棱锥的外接球即为以为长，宽，高的长方体的外接球，即该球的直径为长方体体对角线的长，因为，所以，所以该球的半径为2，体积为.故选：C8．由题意要使得四边形的面积最小，则需要切线长最小，由切线长公式知，只要使得圆心到直线上的点的距离最小，最小值为圆心到直线的距离，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以最小的切线长为，最小值．故选：D．9．【答案】BCD【详解】在中，令，得，所以A不正确；令，得，所以B正确；因为直线l的斜率为，所以直线l的倾斜角为锐角，故C正确；因为与l垂直的直线方程可设为，又直线过原点，所以，故D正确.故选：BCD10．【详解】由圆的方程，可化为，设圆的圆心为，可得圆心坐标为，半径为，对于A中，设，即，由，解得，即的最大值为，所以A正确；对于B中，由，表示原点到圆上点的距离，又由，则的最大值为，所以的最大值为，所以B不正确；对于C中，设，即，由，解得，即的最大值为，所以C正确；对于D中，设，即，由，解得或，所以D错误.故选：AC. 11【详解】当时，曲线C的方程可化为；当时，曲线C的方程可化为；当时，曲线C的方程可化为；当时，曲线C的方程可化为；由图可知，曲线C是四个半径为的半圆围成的图形，即曲线C围成的图形的周长是，故①正确；曲线C所围成的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，从而曲线C所围成图形的面积为，故②错误；由曲线C的图象可知，曲线C上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即，故③错误；因为到直线的距离为，所以，当d最小时，易知在曲线C的第一象限内的图象上，因为曲线C的第一象限内的图象是圆心为，半径为的半圆，所以圆心到的距离，从而，即，故④正确.故选：AD.12．【详解】因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、，设点、 ，其中，.对于A选项，若存在点，使得，且，，，解得，不合乎题意，A错；对于B选项，设，其中、，即，即，可得，，则，所以，，B对；对于C选项，，其中，故，又，故即，故点F只能与点B重合，C对；对于D选项，，，则点到直线的距离为，，则点到直线的距离为，所以，，故，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D对.故选：BCD.14．【详解】由于，所以直线的方向向量与平面法向量互相垂直，故， 15．【详解】的圆心为，关于对称点设为，则有:，解得，所以对称后的圆心为，故所求圆的方程为.故答案为：16.解：设，则，，代入得，化简得，所以，．由题意，圆与直线相交，圆心到直线的距离，所以，解得．三、解答题（共70分）17.（1）因为，所以................................2分由点斜式可得直线AC方程为，即.................................5分（2）因为，所以所求直线斜率为，................................7分又因为所求直线过点，所以由点斜式可得，整理得.........................10分18．（1）解：选①：设圆心，则由题意：∵圆心在直线：上，∴………………………（ⅰ）∵圆过点和，∴，即，................................3分化简得：…………………（ⅱ）联立（ⅰ）（ⅱ）解得：， ∴圆心，半径为，∴圆的标准方程为.................................6分选②：如下图：设直线：和圆的交点为，连接，则由直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系知直线，垂足为，连接、.    由题意，圆的圆心为，半径.∵直线方程为，，∴直线方程为，故设圆心，由图知，则，由解得直线和直线交点，则，圆半径，，，由得：，解得：.∴圆心，半径.∴圆的标准方程为.................................6分（2）解：由（1）知，选①或选②，圆的标准方程均为， 如下图，点在圆外，则因为圆的圆心到轴距离，所以，是圆过点的一条切线.................................8分  设圆过点的另一条切线斜率为，则其方程为：，即.由直线与圆相切知圆心到直线距离为半径，则有，解得：，................................10分∴切线方程为，即.................................11分综上知，过点的圆的切线方程为和...............................12分19．（1）由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，．底面，底面，又，，且平面,平面，所以是平面的一个法向量． 因为，所以．又平面，所以平面．注：也可用证线线平行，取PB的三等分点...............................6分（2）因为，，，，，所以，，，...............................7分设平面的法向量为，则由，解得，令，得平面的一个法向量为．...............................9分设直线与平面所成的角为，则．...............................12分20．（1）证明：由题意知可化为，故解得直线恒过定点................................4分（2）因为所以圆的圆心为，半径，如图所示：    由两点距离公式PC=5...............................5分、根据勾股定理AP=11∴AB=211..............................8分 （3）方法1（几何法），且为钝角，当时有最大值，即面积有最大值，此时同（2），即.方法2设圆心到直线的距离为，则，，当时有最大值，此时同（2），，当直线被圆截得的弦长最短时，与垂直，，，即.或者由，，解得，...............................12分21．（1）因为△ABC是正三角形，点E是BC中点，所以AE⊥BC，又因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AE⊂平面ABC，所以AE⊥平面BCD，又因为CD⊂平面BCD，所以CD⊥AE；因为点E，F分别是BC，CD的中点，所以EF∥BD，又因为BD⊥CD，所以CD⊥EF，又因为CD⊥AE，AE∩EF＝E，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，所以CD⊥平面AEF，又因为CD⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面AEF...............................6分（2）在平面BCD中，过点E作EH⊥BD，垂足为H，设BC＝4，则，DF＝FC＝1，.以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示： 则设，则，，设平面AEG的法向量为，由，令，故，设平面ACD的法向量为，由，令，则，设平面AEG与平面ACD所成的角为，则，当最大，此时最小，故当点G为BD的中点时，平面AEG与平面ACD所成的角最小...............................12分22．【详解】（1）设点，由题意可得，即，化简可得，所以点P的轨迹方程为；..............................3分（2）设，由(1)得点满足的方程，又点是点与点的中点，则，代入可得，即的轨迹为 ，设，所以，令，则，可视为直线即在y轴上的截距，的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距，所以，所以，因此的最大值为；..............................7分（3）存在点，使得为定值.当直线的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为，由，消去，得，设，，则，，又，，则要使上式恒为定值，需满足，解得，此时，为定值；当直线的斜率不存在时，，，由可得，所以，综上所述，存在点，使得为定值...............................12分