四川省南充市仪陇县仪陇中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

仪陇中学2023—2024学年度上期第一次月考高二数学试卷满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（每小题5分，共40分）1.若，则z的虚部为（）A.B.C.1D.3【答案】B【解析】【分析】复数乘法运算化简，即可得虚部.【详解】，虚部为.故选：B2.下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周，能形成圆台的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由旋转体的结构特征逐一分析四个选项得答案．【详解】由图可知，A选项中的直角梯形绕给出的轴旋转一周，能形成圆台，B选项中的半圆绕给出的轴旋转一周，能形成球体，C选项中的矩形绕给出的轴旋转一周，能形成圆柱，D选项中直角三角形绕给出的轴旋转一周，能形成圆锥．故选：A 3.已知角终边上有一点，则为（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】D【解析】【分析】根据角终边上的点所在象限判断即可.【详解】因为点在第四象限，所以角为第四象限角.故选：D.4.一个水平放置的平面四边形采用斜二侧画法得到的直观图是菱形，如图所示，则平面四边形的形状为（）A.正方形B.长方形C.菱形D.梯形【答案】B【解析】【分析】直接将直观图进行还原即可得结果.【详解】将直观图还原得如图：所以平面四边形的形状为长方形，故选：B. 5.已知，若，则的最小值为（）A.5B.6C.7D.9【答案】D【解析】【分析】由乘“1”法将变形为，结合基本不等式即可求解.【详解】由题意，且，所以由基本不等式可得，当且仅当即时，等号成立，综上所述：的最小值为9.故选：D.6.已知正方体的棱长为1，则点到平面的距离是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由，结合题中数据，即可求解.【详解】设点到平面的距离为， 因为正方体的棱长为1，所以由题意可知，即，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查空间中点到面的距离，等体积法求点到面的距离是最常用的一种做法，属于基础题型.7.计算等函数值时，计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算该多项式的值求出原函数近似值，如，其中.英国数学家泰勒（B.Taylor，1685-1731）发现了这些公式，从中可以看出，右边的项用得越多，计算得出和的值也就越精确.运用上述思想，可得到的近似值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】运用诱导公式，结合题中所给公式进行求解即可.【详解】.故选：C8.在直三棱柱中分别为 的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】考虑将直棱柱的侧面按不同方式展开，使得点在一个平面内，再利用勾股定理求得EF的长度，比较大小，即得答案.【详解】由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形．①若把面和面展开在同一个平面内，则线段在直角三角形中，由勾股定理得；②若把面和面展开在同一个平面内，则线段在直角三角形中，此时. ③若把面和面展开在同一个平面内，设的中点为，在直角三角形中，由勾股定理得．④若把面和面展开在同一个面内，过作与行的直线，过作与平行的直线，所作两直线交于点，则在直角三角形中，由勾股定理得．由于，可得从到两点的最短路径的长度为,故选：B【点睛】关键点睛：解答本题的关键时考虑到将棱柱侧面展开时有几种展开方式，使得在一个平面内，从而将立体问题转化平面问题解决.二、多选题（每小题5分，选错不得分，部分选对得2分，共20分） 9.在中，三个内角分别为A，B，C，下列结论错误的是（）A.B.若，则是锐角三角形C.D.若，则【答案】BC【解析】【分析】利用诱导公式可判定A，C；注意考察角B,C可能为钝角，判定B；由，根据三角形内角的范围，利用三角函数线可得或，利用三角形内角和定理否定后者，即可判定D正确.【详解】对A：，故A正确；对B：若，则A为锐角，但B或C可能是钝角，故B错误；对C：，故C错误；对D：，由于或，但在三角形中不可能有，故,故D正确.故选：BC.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式，三角函数线，和三角函数值的符号的综合应用，属基础题..10.已知向量，则（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】根据空间向量的模长、数量积的坐标运算，以及平行、垂直的坐标表示即可求解.【详解】对于A,，，故A错误；对于B，， 则，故B错误；对于C,，则，则，故C正确；对于D，，故D正确.故选:CD.11.下列命题中，真命题的是（）A.，都有B.，使得C.若，则D.式子的最小值为2【答案】ABC【解析】【分析】AC选项，作差法比较出大小；B选项，解方程，得到或5，B正确；D选项，利用基本不等式进行求解.【详解】A选项，，故，都有，A正确；B选项，变形得到，解得或5，故，使得，B正确；C选项，，因为，所以，故，故，C正确；D选项，， 当且仅当时，等号成立，但无实数解，故式子的最小值不是2，D错误.故选：ABC12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动时，下列命题正确的是（）A.三棱锥A−D1PC的体积不变B.直线CP与直线AD1的所成角的取值范围为C.直线AP与平面ACD1所成角的大小不变D.二面角P−AD1−C的大小不变【答案】ABD【解析】【分析】对于选项A，由已知可得平面，可得BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，由此可判断；对于选项B，由，可得直线CP与直线AD1的所成角即为直线CP与直线BC1的所成角，由此可判断；对于选项C，点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与平面AD1C所成的角不相等，可判断；对于选项D，当点P在直线BC1上运动时，平面BAD1C1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，故D正确.【详解】对于选项A，因为，面，面，所以平面，所以BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，又，所以三棱锥A﹣D1PC 的体积不变，故A正确；对于选项B，因为，点P在直线BC1上运动，所以直线CP与直线AD1的所成角即为直线CP与直线BC1的所成角，因为为等腰直角三角形，故B项正确；对于选项C，点P在直线BC1上运动时，直线AB与平面AD1C所成的角和直线AC1与平面AD1C所成的角不相等，故C错误；对于选项D，当点P在直线BC1上运动时，平面BAD1C1,即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，故D正确.故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（每小题5分，共20分）13.从某小学所有学生中随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：）数据绘制成频率分布直方图（如图），其中样本数据分组，则=______．【答案】【解析】【分析】根据频率和为，结合图表中数据，列式计算即可.【详解】根据图表数据可得：，即，. 故答案为：.14.已知，，若，则______．【答案】【解析】【分析】根据空间向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解.【详解】由向量，，因为，可得，解得.故答案为：.15.电流随时间变化的函数的图象如图所示，则时的电流为______．【答案】【解析】【分析】根据图象可求函数的解析式，从而可求对应的函数值.【详解】由函数的图象可得，且，故，而，故，解得，故，故，故答案为：.16.如图，正方体的棱长为2，点是线段的中点，过点做平面，使得平面平面，则平面与正方形的交线的长度为______． 【答案】【解析】【分析】根据题意，取的中点，利用面面平行的判定定理即可证明平面平面，所以平面与正方形的交线即为，可得.【详解】取的中点，连接，如下图所示：因为平面平面，所以平面；因为平面平面，所以平面；又因为平面，，所以平面平面．因此平面即为平面，即平面与正方形交线即为．所以．故答案为：四、解答题（第17题10分，其余各题每题12分，共70分）17.已知，，，（1）求的坐标；（2）若、、、四点构成平行四边形，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面向量加减法和数乘的坐标运算求解即可；（2）由已知可得，利用坐标列出方程组求解即可．【详解】（1），，（2）四边形为平行四边形，，又，，，，即．18.习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级：调查评分心理等级有隐患一般良好优秀并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人. （1）求的值及频率分布直方图中的值；（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?【答案】（1）2000，（2）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图数据列式求解，（2）由分层抽样与对立事件的概率公式求解．【小问1详解】由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，所以，解得.小问2详解】由（1）知，所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，若按分层抽样抽取人，则调查评分在有人，有人，因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，所以选出的人经过心理疏导后， 心理等级均达不到良好的概率为，所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为.19.如图，矩形所在平面与直角梯形所在的平面垂直，，.（1）求证：平面；（2）若，求证：平面平面．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由可得平面；（2）先由面面垂直的性质得，再由可得平面，进而可得平面ABC⊥平面.【小问1详解】因为是矩形，所以，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为是矩形，所以，．因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，而平面，所以，因，平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面 20.已知函数．（1）求的值．（2）求函数的最小正周期和单调递增区间．（3）求在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最小正周期为，单调递增区间为；（3）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换可得，代入可求；（2）根据周期公式可求得最小正周期，利用正弦函数的性质即得；（3）根据正弦函数的图象及性质即得．【小问1详解】∵，∴；【小问2详解】最小正周期，由，，得，， ∴单调递增区间为；【小问3详解】∵，∴，∴，∴，∴在上最大值为，最小值为．21.在四棱锥中，平面平面．底面为梯形，，，且，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的定义可证得命题成立；（Ⅱ）利用三垂线法得到二面角平面角，计算出其余弦值可得答案．【详解】（Ⅰ）证明：因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以.（2），，，又平面平面，平面平面 ，平面，所以平面，延长交于，过作，连接，则为二面角的平面角中，，则，中，，，则，即，故二面角的余弦值为．22.已知．（1）求函数在的最小值．（2）对于任意，都有成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用换元法将表达式写成，再由对勾函数性质即可求得函数在的最小值为2；（2）根据题意可得对于任意成立，，根据对数函数意义可限定；将不等式化简变形可得对于任意成立，即任意成立，解得. 【小问1详解】令，则，故．由对勾函数性质可知：在上单调递增。又由复合函数性质可知：在上单调递增。故．即函数在的最小值为2；【小问2详解】由（1）知，函数在上为增函数，当时，，由于对于，使得成立，所以对于任意成立，即对于任意成立，易知，对于任意成立，则，由，可得，所以．式可化为，即对于任意成立，即成立，即对于任意成立，因为，所以对于任意成立，即任意成立，所以，又可得，所以取值范围为．