四川省南充市南部中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷（Word版附解析）

四川省南充市南部中学高2022级高二第一学期第二次月考数学时间：120分钟总分：150分一、单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1直线恒过定点（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由时，可得到定点坐标.【详解】当，即时，，直线恒过定点.故选：B.2.空间四边形中，（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的加减运算求解即可.【详解】根据向量的加法、减法法则，得.故选：A.3.若圆C与圆关于原点对称，则圆C的方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据对称求出圆C的圆心和半径可得答案. 【详解】由于圆的圆心，半径为1，圆与圆关于原点对称，故、半径为1，故圆的方程为：，故选：A．4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线DE与AC所成的角的余弦值.【详解】设正方体棱长为1，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，则D(0,0,0)，E(0，，1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，所以＝(0，，1)，＝(－1,1,0)，则,则异面直线DE与AC所成角的余弦值为.故选：B.【点睛】本题考查关键是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量计算求解，属基础题. 5.设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为分别是双曲线的左、右焦点，若，则（）A.1或5B.6C.7D.8【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的渐近线方程求出，再利用双曲线的定义，即可求解.【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，可得，解得，又是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右焦点,，，可得点在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，则.故答案为：C.6.已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.7.阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意得，然后列出方程组，从而求解.【详解】由题意得：，离心率：，从而可得方程组：，解得：.故椭圆的标准方程为：，故A项正确.故选：A.8.过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由与x轴交点横坐标可得半焦距c，设出点A，B坐标，利用点差法求出 的关系即可计算作答.【详解】依题意，焦点，即椭圆C的半焦距，设，，则有，两式相减得：，而，且，即有，又直线的斜率，因此有，而，解得，经验证符合题意，所以椭圆的方程为.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设m，n为不同的直线，为不同的平面，则下列结论中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BD【解析】【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案．【详解】对A：，则或与相交或与异面，故选项A错误；对B：若，，则，故选项B正确；对C：若，则或与相交，故选项C正确；对D：若，则，故选项D正确．故选：BD．10.椭圆的离心率为，短轴长为，则（）A.椭圆的方程为 B.椭圆与双曲线的焦点相同C.椭圆过点D.直线与椭圆恒有两个交点【答案】ACD【解析】【分析】根据椭圆离心率公式、短轴长定义，结合双曲线焦点公式、代入法、直线点斜式方程的性质逐一判断即可.【详解】因为椭圆的短轴长为，所以有，而椭圆的离心率为，所以，所以可得：..A：因为，所以该椭圆的标准方程为：，因此本选项正确；B：由，该双曲线的焦点在纵轴上，而椭圆的焦点在横轴，所以本选项说法不正确；C：因为，所以点在该椭圆上，因此本选项说法正确；D：直线恒过点，而，所以点在椭圆内部，因此直线与椭圆恒有两个交点，所以本选项说法正确，故选：ACD11.已知直线，圆，则下列结论正确的是（）A.直线l恒过定点B.直线l与圆C恒有两个公共点C.直线l与圆C的相交弦长的最大值为 D.当时，圆C与圆关于直线l对称【答案】ABD【解析】【分析】将直线方程变形为即可判断直线过定点，进而判断A；再根据定点在圆内判断B；根据直线与圆相交时，最大弦为直径判断C；根据点关于直线的对称性求解关于对称的点坐标，进而求解对称圆的方程判断D.【详解】解：对于A选项，因为直线可变形为，所以直线恒过定点，故A选项正确；对于B选项，因为，所以点在圆内，故直线与圆相交，由两个公共点，故B选项正确；对于C选项，对于圆，圆心为，半径为，当直线线与圆相交，故相交弦长的最大值为圆的直径，即为，故C选项错误；对于D选项，当时，直线，故圆圆心关于对称的点的坐标为，所以圆关于对称的圆的方程为，故D选项正确.故选：ABD12.已知曲线分别为曲线的左右焦点，则下列说法正确的是（）A.若，则曲线的两条渐近线所成的锐角为B.若曲线的离心率，则C.若，则曲线上不存在点，使得D.若为上一个动点，则面积的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的性质，依次分析各选项即可得答案. 【详解】对于A选项，当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，渐近线方程为，故渐近线的倾斜角分别为，所以曲线的两条渐近线所成的锐角为，故A选项正确；对于B选项，离心率，则曲线为焦点在轴上的双曲线，，故，所以，所以，故B选项正确；对于C选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时，设椭圆的短轴的一个顶点坐标为，则，故为钝角，所以线上存在点，使得，故C选项错误；对于D选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时，为上一个动点，则面积的最大值为，故D选项正确.故选：ABD【点睛】本题考查椭圆与双曲线的性质，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于掌握双曲线与椭圆方程的性质，并结合椭圆焦点三角形的相关知识求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知空间向量，则___________.【答案】【解析】【分析】由空间向量的减法法则求得向量的坐标，然后由模的定义计算．【详解】因为，所以.故答案为：．14.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则________________ 【答案】6【解析】【分析】由平面法向量与平面的垂线的方向向量平行可得．【详解】∵，∴，∴，∴．故答案为：6．15.已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据题意由四边形的面积与的面积关系，设可得，利用单调性即可求出的最小值为.【详解】易知圆的圆心为，半径为，如图所示：易知，设，则由图可得，又，可得，因，所以当时，的最小值为.故答案为： 16.若坐标原点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】先根据双曲线的焦点和双曲线方程解得，设出点，代入曲线方程，求得横纵坐标关系，再根据题意坐标表示，，代入后利用二次函数的性质求其最小值，则可求得的取值范围.【详解】解：由题意得：是已知双曲线的左焦点，即双曲线方程为设点，则有，解得，，根据二次函数的单调性分析可知函数在上单调递增当时，取得最小值，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线，.(1)若，求的值； (2)若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用两条直线垂直的条件，结合两条直线的方程可得1×（m﹣2）+m×3＝0，由此求得m的值．（2）利用两直线平行的条件，结合两条直线的方程可得，由此求得得m的值．【详解】（1）∵直线l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，由l1⊥l2，可得1×（m﹣2）+m×3＝0，解得．（2）由题意可知m不等于0,由l1∥l2可得，解得m＝﹣1．【点睛】本题主要考查两直线平行、垂直的条件，属于基础题．18.解答下列两个小题：（1）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程；（2）已知双曲线：与双曲线有相同的渐近线，且经过点，求双曲线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的标准方程求出其焦点坐标，确定的值，再根据双曲线的实轴长确定的值，然后求出，可写出双曲线标准方程；（2）根据双曲线有相同的渐近线设方程，代入已知点的坐标，可求双曲线的标准方程.【详解】（1）对椭圆，因为，所以，所以焦点为，在轴上，设双曲线的方程为，所以，且，所以， 所以，双曲线的标准方程为；（2）双曲线与双曲线有相同的渐近线，所以所求双曲线方程可设为：又双曲线经过点，代入方程，，即,双曲线的标准方程为即.19.如图，棱长为2的正方体中，是的中点.（1）证明:平面;（2）求三棱锥体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接交于，连接，证明后得线面平行；（2）由计算体积．【小问1详解】连接交于，连接，则为的中位线，所以，又平面，平面，平面； 【小问2详解】为中点，则，又正方体中，到平面的距离为，20.已知点，，，动点满足.（1）求动点的轨迹方程；（2）若动点满足，求动点的轨迹方程；（3）过点的直线交动点的轨迹于，且，求直线的方程.【答案】20.21.22.或.【解析】【分析】（1）设出点坐标，利用两点距离公式列式化简即可求解；（2）设出点坐标，通过向量坐标运算表示出点的坐标，代入点的轨迹方程并化简即可求解；（3）分直线的斜率不存在和存在两种情况，根据弦长列式分别求解直线的方程.【小问1详解】设点，由题意可得，即，化简可得，所以动点的轨迹方程为；【小问2详解】设，由（1）知①， 又，所以，即代入①得，整理得动点的轨迹方程为；【小问3详解】设圆心到直线的距离为，则，当斜率不存在时，直线与圆交点坐标为，满足，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，由题意，解得，所以直线方程为，故所求直线方程为或.21.如图甲所示，四边形为正方形，，为的中点.将沿直线翻折使得平面，如图乙所示.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质得到，再由，即可得到平面，即可得证； （2）取的中点为，的中点为，根据面面垂直的性质得到平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】证明：因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小问2详解】解：取的中点为，的中点为，为等边三角形，则，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，如图建立空间直角坐标系，设，则，，，则，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，显然平面的法向量为，设平面与平面所成二面角为，则，所以，即平面与平面所成二面角的正弦值为. 22.已知椭圆的长轴长为4，且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆的右顶点为，若点在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，求的面积最大值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用给定条件，求出长短半轴长即得椭圆的标准方程.（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立求出直线过的定点，再求出面积关系，并借助函数求出最大值.【小问1详解】由椭圆长轴长为4，得，由离心率为，得半焦距，则所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】依题意，，直线与的斜率同号，则直线不垂直于轴，设直线的方程为，，由消去y得，，，即，则，由直线与的斜率之积为，得，化简得，即， 于是，化简得，解得或，即直线或，而直线不经过点，因此直线经过定点，由，得，此时，的面积设，于是，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为.【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积；