浙江省杭州市萧山区第六高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

萧山六中2023级高一数学12月月考一、单选题（每题3分，共24分）1.学校开运动会，设是参加100米跑的同学}，是参加200米跑的同学}，是参加400米跑的同学}．学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛．请你用集合的运算说明这项规定（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据交集的含义求解即可.【详解】学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，故没有同学参加三项比赛，即.故选：D2.二次函数（a，b，c为常数且）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据二次函数开口方向、对称轴的位置、在纵轴的交点坐标的正负判断的正负性，再结合反比例函数、一次函数的图象特征逐一判断即可. 【详解】由二次函数的图象可知：开口向上，因此；对称轴为，当时，；因为，所以反比例函数的图象在二、四象限，排除BC；因为，，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，故排除D，故选：A3.函数的零点所在的区间为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.【详解】因为函数在上都是增函数，所以在上单调递增，因为，所以的零点所在的区间为.故选：C.4.当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q，该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合半衰期的定义，建立指数函数模型，从而得到函数关系式.【详解】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，将刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位，根据经过N年衰减为原来的一半，则，即， 生物体内碳14原有初始质量为Q，所以生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为，即．故选：D．5.已知函数，且，则（）A.7B.5C.3D.4【答案】A【解析】【分析】利用凑配法求函数的解析式，代入即可求解.【详解】,.,解得．故选：A.6.已知函数是偶函数，对于，当时，都有恒成立，设，，，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小.【详解】对于，当时，都有恒成立，则在上单调递增，有，又函数是偶函数，，，，所以.故选：A7.已知函数，且，那么等于（） A.－18B.－26C.－10D.10【答案】B【解析】【分析】构造奇函数，利用奇函数的性质计算．【详解】设，则，∴是奇函数，又，所以，，故选：B．8.已知函数，当且时，则最小值为（　　）A.3B.C.2D.【答案】C【解析】【分析】结合函数性质，假设后可代入函数中，结合基本不等式即可求得最小值.【详解】由得：在上单调递增，在也单调递增，由，不妨设，则有，故有，，令，即，即，，则，令， 则，当且仅当时等号成立，故的最小值为.故选：C.二、多选题（每题4分，共16分，错选多选不选得0分，少选得2分）9.下列函数中，值域为的有（　　）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】由已知结合基本初等函数的值域即可求解．【详解】对于A，函数的值域为，故A符合；对于B，因为分母上的，所以，即函数的值域为，故B符合；对于C，因为，所以，所以，即函数的值域为，故C符合；对于D，因为，所以，即函数的值域为，故D不符合.故选：ABC.10.若关于x的一元二次方程有实数根，且，则下列结论正确的是（）A.当时，，B.C.当时，D.二次函数的零点为2和3【答案】ABD 【解析】【分析】当时，，解方程即可判断选项A，有实数根，，且，根据即可判断选项B，数形结合由图像与图像交点横坐标可判断选项C，由展开得：，先利用韦达定理求出代入可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于A，易知当时，的根为2，3，故A正确；对于B,设，因为的图像与直线有两个交点，所以，故B正确；对于C,当时，的图像由的图像向下平移个单位长度得到，，故C错误；对于D，由展开得：，利用韦达定理求出代入可得，所以二次函数的零点为2和3，故D正确．故选:ABD．11.下列说法不正确的是（）A.命题“，都有”的否定是“，使得”B.集合，若，则实数a的取值集合为C.方程有一个根大于1，另一个根小于1的充要条件是D.若存在使等式上能成立，则实数m的取值范围．【答案】ABD【解析】【分析】由全称量词命题的否定，集合的运算，一元二次方程根的分布，一元二次不等式解的存在性问题对选项逐一判断.【详解】对于A，命题“，都有”的否定是“，使得”，故A错误， 对于B，当时，满足题意，故B错误，对于C，令，由题意得，即，所以，故C正确，对于D，令，二次函数开口向上，对称轴为，因为，所以时，y有最小值，则，解得，故D错误，故选：ABD12.设，则（　　）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】由题意首先由基本不等式确定，由此即可判断A，再根据对数函数、指数函数单调性、运算性质即可判断BCD三个选项.【详解】对于A，因，所以，且等号不成立，即，故A正确；而，所以，故C正确、D错误；令，再令，所以，从而，即，所以，所以，故B正确.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题的关键是首先判断出，其他选项就根据对数函数、指数函数单调性去估算即可.三、填空题（每题4分，共16分）13.已知幂函数在上单调递减，则__________． 【答案】【解析】【分析】直接由幂函数定义即可得解.【详解】因为幂函数在上单调递减，所以，解得满足题意.故答案为：.14.已知函数是定义在上的偶函数，则__________.【答案】1【解析】【分析】根据奇偶函数的定义域的对称性列式求解.【详解】由题意可得：，解得.故答案为：1.15.不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】转化为同底的指数不等式，利用函数的单调性可求答案.【详解】原不等式可化为：根据指数函数是增函数得：解得：，故答案为：16.已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，由函数最小值为1可得，再按结合 的取值情况求解即得.【详解】函数，当时，，当时，，而，即有，依题意，，即，又，则有，当时，函数在上的取值集合为，不符合题意，于是，函数在上单调递增，则，有，因此，所以实数的取值范围是.故答案为：【点睛】思路点睛：(1)分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．四、解答题（第17题8分，第18题，19题每题10分，第20、21、22题每题12分，共64分）17.计算：（1）；（2）.【答案】（1）11（2）4【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算规则化简求值；（2）利用对数式的运算规则化简求值.【小问1详解】；【小问2详解】. 18.已知函数．（1）若，，不等式对一切实数x都成立，求a取值范围；（2）若的解集为，求关于x的不等式的解集．【答案】18.19.【解析】【分析】（1）由题意一元二次不等式恒成立等价于，解不等式组即可.（2）由题意的解集为等价于，从而不等式等价于，解一元二次不等式即可.【小问1详解】由题意对一切实数x都成立恒成立，，解不等式组得，所以a的取值范围为.【小问2详解】由于即解集为，所以， 即，所以，所以不等式，即，所以，，解得或，所以不等式的解集为．19.为促进旅游事业的发展，我市某著名景点推出“一费全包，团体打折”的团体票方案：（1）只要一次购票即可游玩景点内所有项目且能当天无限次乘坐园内观光车；（2）当团体不超过40人时，人均收费100元；超过40人且不超过m人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准.设景点接待有x名游客的某团队时，收取总费用为y元.（i）当时，求y关于x的函数表达式；（ii）若m设置不合理，有可能出现团体人数增加而收取的总费用反而减少这一现象.要令收取的总费用总随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（i）对x分类讨论求解即可；（ii）结合一次函数和二次函数的单调性，根据分段函数的单调性即可求解.【小问1详解】当时，；当时，，当时，， 所以.【小问2详解】当时，，y随着x的增大而增大；当时，，则，y随着x的增大而增大；当时，，所以当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小；综上所述，当时，景点收取的总费用随着团队中人数增加而增加.20.已知函数.（1）求的值；（2）设函数，证明：在上有唯一零点.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先计算得出，再分组求和得出函数值即可；（2）先判断函数的单调性，再结合零点存在定理即可得证.【小问1详解】因为，所以.【小问2详解】因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以在上单调递增，又因为，，所以，所以，即在上有且仅有一个零点.21.设函数（且，），是定义域为的奇函数．（1）求的值，判断当时，函数在上的单调性并用定义法证明；（2）若，函数，求的值域．【答案】（1），在上单调递增，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据函数为上的奇函数，可求得的值，即可得函数的解析式，根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证得函数的单调性；（2）根据的值，可以求得，即可得的解析式，利用换元法，将函数转化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求得值域.【小问1详解】因为是定义域为的奇函数，则，所以，所以，当时，在上单调递增，，x2∈R，设由于，, 则，，得，在上单调递增.【小问2详解】，得，，令，由（1）知为增函数，，，设，所以的值域为．22.设函数且．（1）解关于的不等式；（2）若恒成立，则是否存在实数，令时，恒有？若存在，求实数的范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根据分析函数单调性，结合定义域写出不等式组，由此求解出解集；（2）根据已知条件分析函数单调性，然后结合单调性将问题转化为，借助对勾函数性质求解出结果.【小问1详解】的定义域为，当时，在上单调递增，因为，所以，解得；当时，在上单调递减，因为， 所以，解得；所以不等式解集为；【小问2详解】设存在实数满足条件，因为，当且仅当即时取等号，又恒成立，所以在上单调递增，又因为时，恒有，所以时，恒有，即恒成立，所以，令，由对勾函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，又时，，时，，所以，所以，综上所述，存在实数满足条件.