浙江省杭州市西湖高级中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附解析）

杭西高2023年10月高一数学试卷一、单选题1．（2022高一上·浙江月考）下列结论不正确的是（　　）A．0∈NB．13∈QC．-2∈ZD．π∉(∁RQ)【答案】D【知识点】元素与集合的关系【解析】【解答】由题可知0∈N，13∈Q，-2∈Z正确，π∉(∁RQ)错误.故答案为：D.【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，进而得出结论不正确的选项。2.已知或，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用集合的交、补运算求即可.【详解】由题设，，而，∴.故选：C3.函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】由偶次根式和分式的基本要求可构造方程组求得结果.【详解】由题意得：，解得：或，的定义域为.故选：D.4．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】根据同一函数的定义域、对应法则均要相同的原则，判断各选项中的函数是否为同一函数即可.【详解】A：，显然与的对应法则不同，不是同一函数；B：的定义域为，显然与的定义域不一致，不是同一函数；C：与对应法则、定义域均相同，是同一函数；D：的定义域，显然与的定义域不相同，不是同一函数.故选：C5.设，则“”是“方程无解”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程无解可得，解出的范围，由推出关系可得结论.【详解】当方程无解时，，解得：；则方程无解；方程无解；“”是“方程无解”的必要不充分条件.故选：B.6．（2022高一上·浙江月考）若函数y=f(2x)的定义域是[0，1011]，则函数g(x)=f(x+1)x-1的定义域是（　　）A．[-1，2021]B．[-1，1)∪(1，2021]C．[0，2022]D．[-1，1)∪(1，2022]【答案】B【知识点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】函数y=f(2x)的定义域是[0，1011]，即x∈[0，1011]，则2x∈[0，2022]，所以函数y=f(x)的定义域是[0，2022]，则函数g(x)=f(x+1)x-1的定义域满足：0≤x+1≤2022x-1≠0，解得：-1≤x≤2021且x≠1，故g(x)的定义域是[-1，1)∪(1，2021]。故答案为：B．【分析】利用已知条件结合换元法和分式函数求定义域的方法，再结合交集的运算法则，从而得出函数g(x)的定义域。7．（2022高一上·浙江月考）实数a，b，c满足a2=2a+c-b-1且a+b2+1=0，则下列关系成立的是（　　）A．b>a≥cB．c>a>bC．b>c≥aD．c>b>a 【答案】D【知识点】不等式比较大小【解析】【解答】由a+b2+1=0可得a=-b2-1，则a≤-1，由a2=2a+c-b-1可得(a-1)2=c-b>0，利用完全平方可得所以c>b，∴b-a=b2+b+1=(b+12)2+34>0，∴b>a，综上所述：c>b>a。故答案为：D【分析】利用已知条件结合完全平方差公式和作差比较大小的方法，再利用二次函数求值域的方法，从而判断出a，b，c的大小，进而找出关系成立的选项。8．（2022高一上·浙江月考）世界公认的三大著名数学家为阿基米德､牛顿､高斯，其中享有“数学王子"美誉的高斯提出了取整函数y=[x]，[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.1]=1，[-1.1]=-2.已知f(x)=[2x-1x+1]，x∈(-∞，-3)∪(2，+∞)，则函数f(x)的值域为（　　）A．{0，1，2}B．{1，2，3}C．{2，3，4}D．{2，3}【答案】B【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明【解析】【解答】根据题意，设g(x)=2x-1x+1，则g(x)=2x-1x+1=2(x+1)-3x+1=2-3x+1，在区间(-∞，-3)上，3x+1<0，且g(x)为增函数，则有2<g(x)<72，在区间(2，+∞)上，3x+1>0，且g(x)为增函数，则有1<g(x)<2，综合可得：g(x)的取值范围为1<g(x)<2或2<g(x)<72，又由f(x)=[2x-1x+1]=[g(x)]，则f(x)的值域为{1，2，3}。故答案为：B． 【分析】利用取整函数y=[x]，[x]表示不超过x的最大整数，再结合分类讨论的方法和单调函数的定义，从而判断函数的单调性，从而求出函数的值域。二、多选题9.ABD10．ABD11．B,C12.ABC三、填空题13．若-2≤a+b≤5，-1≤a-b≤3，，则3a+2b的取值范围为　　.【答案】14．已知集合，集合，则______.【答案】【解析】【分析】化简集合A,B，根据交集运算即可.【详解】因为，，所以，故答案为：15．某口罩批发商在疫情期间销售口罩，口罩规格为每包100只，每包成本价10元.经过一段时间，批发商发现当以每包12元出售，每天销量800包，若每包口罩的批发价每涨1元，销售量就减少40包.当定价每包______元时，批发商可获得利润最大.【答案】21【解析】【分析】根据题意得出获利的与涨价x元的函数关系，利用二次函数求最值.【详解】设涨价为元，则获利，所以当时，， 所以定价为元时，批发商可获得利润最大.16．已知，若命题“，都有成立”为假命题，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据题设命题为假命题，将问题转化为时有解，结合对应二次函数的性质求参数范围即可.【详解】由题设，使，则时，有解，令，开口向上且对称轴为，∴要使时，有解，则，解得.故答案为：四、解答题17.[5,9][-2,1)18．（2022高一上·浙江月考）设集合A={x∣-1≤x≤2}，B={x∣2m<x<3}，（1）若m=1，求A∪B，(∁RA)∩B；（2）若∅是A∩B的真子集，求实数m的取值范围；（3）若B∩(∁RA)中只有一个整数，求实数m的取值范围.【答案】（1）解：当m=1时，B={x∣2<x<3}，因为A={x∣-1≤x≤2}，所以∁RA={x∣x<-1或x>2}，所以A∪B={x∣-1≤x<3}，(∁RA)∩B={x∣2<x<3}（2）解：因为∅是A∩B的真子集，所以A∩B≠∅， 因为A={x∣-1≤x≤2}，B={x∣2m<x<3}所以2m<32m<2，解得m<1，即实数m的取值范围为(-∞，1)，（3）解：因为B∩(∁RA)中只有一个整数，∁RA={x∣x<-1或x>2}，B={x∣2m<x<3}，所以B≠∅，且-3≤2m<-2，解得-32≤m<-1，所以实数m的取值范围是{m∣-32≤m<-1}.【知识点】子集与真子集；并集及其运算；交集及其运算；交、并、补集的混合运算【解析】【分析】（1）利用m的值求出集合B，再利用并集、交集和补集的运算法则，进而得出A∪B，(∁RA)∩B。（2）利用∅是A∩B的真子集，所以A∩B≠∅，再利用交集的运算法则和空集的定义，进而得出实数m的取值范围。（3）利用B∩(∁RA)中只有一个整数，得出∁RA={x∣x<-1或x>2}，B={x∣2m<x<3}，所以B≠∅，再利用空集的定义，进而得出实数m的取值范围。19.20．（2022高一上·浙江月考）已知a>1，b>2（1）若(a-1)(b-2)=4，求1a-1+1b-2的最小值及此时a，b的值；（2）若2a+b=6，求1a-1+1b-2的最小值及此时a，b的值；（3）若1a+1b=1，求1a-1+1b-2的最小值及此时a，b的值.【答案】（1）解：∵a>1，b>2，∴a-1>0，b-2>0，∴1a-1+1b-2=14(1a-1+1b-2)(a-1)(b-2)=14[(b-2)+(a-1)]≥14×2(b-2)(a-1)=1当且仅当b-2=a-1(a-1)(b-2)=4时，等号成立，解得a=3，b=4；∴1a-1+1b-2的最小值为1，此时a=3，b=4（2）解：2a+b=6，即2(a-1)+(b-2)=2，∴(a-1)+(b-2)2=1，∴1a-1+1b-2 =(1a-1+1b-2)×1=(1a-1+1b-2)×[(a-1)+(b-2)2]=32+a-1b-2+b-22(a-1)≥3+222当且仅当b-2=2(a-1)2(a-1)+(b-2)=2时，等号成立，解得a=3-2，b=22；∴1a-1+1b-2的最小值为3+222，此时a=3-2，b=22（3）解：∵b>2，由1a+1b=1，可得a=bb-1，∴a-1=1b-1，∴1a-1+1b-2=b-2+1b-2+1≥3当且仅当a=32，b=3时，取=号∴1a-1+1b-2的最小值为3，此时a=32，b=3【知识点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【分析】（1）利用已知条件结合基本不等式变形求最值的方法，再利用基本不等式满足的条件，进而得出1a-1+1b-2的最小值及此时a，b的值。（2）利用已知条件结合基本不等式变形求最值的方法，再利用基本不等式满足的条件，进而得出1a-1+1b-2的最小值及此时a，b的值。（3）利用已知条件结合基本不等式变形求最值的方法，再利用基本不等式满足的条件，进而得出1a-1+1b-2的最小值及此时a，b的值。21．（2022高一上·浙江月考）已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(1，t)，记函数f(x)=ax2+(a-b)x-c.（1）求证：方程f(x)=0必有两个不同的根；（2）若方程f(x)=0的两个根分别为x1、x2，求|x2-x1|的取值范围；（3）是否存在这样实数的a、b、c及t，使得函数y=f(x)在[-2，1]上的值域为[-6，12].若存在，求出t的值及函数y=f(x)的解析式；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明：由题意知：ca=1⋅t>0，所以ac>0对于方程f(x)=ax2+(a-b)x-c=0，Δ=(a-b)2+4ac>0恒成立，所以方程f(x)=ax2+(a-b)x-c=0有两个不相同的根（2）解：因为ax2+bx+c>0的解集为(1，t)， 所以1和t为方程ax2+bx+c=0的两根，且a<0，所以a<0a+b+c=0ca=t，即a<0b=-a-cc=at，所以|x2-x1|2=(x2+x1)2-4x2x1=(a-ba)2+4ca=(2a+ca)2+4ca=(ca)2+8⋅ca+4=t2+8t+4=(t+4)2-12，因为t>1，所以(t+4)2-12>13，所以|x2-x1|∈(13，+∞)（3）解：假设存在满足题意的实数a、b、c及t，所以f(x)=ax2+(a-b)x-c=a[x2+(1-ba)x-ca]=a[x2+(1+a+ca)x-ca]=a[x2+(2+ca)x-ca]=a[x2+(2+t)x-t]，t>1，所以函数y=f(x)图像的对称轴为x=-1-t2<-32，且a<0，所以f(x)min=f(1)=3a=-6，解得a=-2，要使函数y=f(x)在[-2，1]上的值域为[-6，12]，只要f(x)max=12即可，①当-1-t2≤-2，即t≥2时，f(x)max=f(-2)=6t=12，解得t=2，符合题意，②当-1-t2>-2，即1<t<2时，f(x)max=f(-1-t2)=t2+8t+42=12，解得t=2（舍去）或t=-10（舍去），综上所述，t=2时符合题意，此时a=-2a+b+c=0ca=2，解得b=6c=-4，所以函数的表达式为f(x)=-2x2-8x+4.【知识点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数的图象；二次函数在闭区间上的最值；一元二次不等式的解法；一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】【分析】（1）利用已知条件结合判别式法证出方程f(x)=ax2+(a-b)x-c=0有两个不相同的根。（2）利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法得出1和t为方程ax2+bx+c=0的两根，再利用根与系数的关系，进而结合韦达定理和转化的方法，从而利用t的取值范围和二次函数求值域的方法，进而得出|x2-x1|的取值范围。（3）假设存在满足题意的实数a、b、c及t，所以f(x)=ax2+(a-b)x-c=a[x2+(2+t)x-t]，t>1，再利用二次函数的图象的对称性和开口方向，进而得出二次函数的最小值，从而得出a的值，要使函数y=f(x)在 [-2，1]上的值域为[-6，12]，只要f(x)max=12即可，再利用分类讨论的方法结合二次函数的图象求最值的方法，进而求出满足要求的t的值，进而解方程组求出此时的b，c的值，从而得出函数的解析式。