浙江省杭州市金华卓越联盟2023-2024学年高一上学期12月阶段联考数学试题（Word版附解析）

2023学年第一学期金华卓越联盟12月阶段联考高一数学试题命题人：巍山高中楼永良；审题人：磐安中学曹桂菊考生须知：1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､学号和姓名；考场号､座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据集合并集的定义进行求解即可.【详解】因为，所以，故选：C2.在的范围内，与终边相同的角是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据终边相同角的性质进行求解即可.【详解】与终边相同角可以表示为，由题意可知，因为，所以，于是有， 故选：B3.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可判断出答案.【详解】命题“”为全称量词命题,它的否定为,故选：A4.设都是不等于1的正数，则“”是“”成立的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性将不等式化简，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果.【详解】因为都是不等于1的正数，由可得，由可得，则是的既不充分也不必要条件，即“”是“”成立的既不充分也不必要条件.故选：D5.直线与二次函数交点个数为（）A.0个B.1个C.2个D.以上都有可能【答案】B【解析】【分析】数形结合判断即可. 【详解】直线为的纵坐标为，图像为一条与轴平行的直线，设二次函数为，当时，；开口向上，图像与直线一定有一个交点，如图：当时，如如；开口向下，图像与直线一定有一个交点，如图： 故选：B6.设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，则方程的近似解落在区间（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，求得，得到，结合零点存在性定理，即可求解.【详解】由函数，且，可得，所以，根据零点的存在性定理，可得方程的近似解落在区间为.故选：A.7.2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，秉持“绿色､智能､节俭､文明”的办赛理念，其中“绿色低碳”被摆在首位，比如所有场馆实现100%绿色供电､ 所有亚运会官方指定用车均为新能源汽车.Peukert于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将时，代入公式，结合即可计算时的放电时间.【详解】由题意得：，则，由，故，故放电时间为.故选：A.8.已知定义在上的函数，其中函数满足且在上单调递减，函数满足且在上单调递减，设函数，则对任意，均有（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】判断函数以及的性质，化简的表达式，讨论恒成立以及恒成立和，均存在，结合函数性质，即可判断选项的正误，即得答案.【详解】因为，则为偶函数，在上单调递减，则在上单调递增，函数满足且在上单调递减， 则图象关于对称，在上单调递增，当时，，当时，；①当恒成立时，，图象关于对称，此时，；②当恒成立时，，图象关于y轴对称，当时，；当时，；即说明A，B错误；当，即时，，则，当，即时，，故若，则，则说明D错误；③若，均存在，则不妨作示意图如图：关于直线对称，且，则，综合上述，可知C正确，故选：C二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题是真命题的是（）A.B.C.D.【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式，求得的取值范围，可判定A不正确；根据当时，得到，可判定B正确；结合配方法，可判定C正确；结合对数函数的性质，可判定D不正确.【详解】对于A中，当时，则，当且仅当时，等号成立；当时，则，当且仅当时，等号成立，所以的取值范围为，所以A不正确；对于B中，当时，可得，所以命题为真命题，所以B正确；对于C中，由，所以命题为真命题，所以C正确；对于D中，当时，，所以命题为假命题，所以D不正确.故选：BC.10.已知幂函数的图象经过点，则（）A.函数为增函数B.函数为偶函数C.当时，D.当时，【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，求得幂函数为，利用奇偶性的定义，以及幂函数的图象与性质，结合指数幂的运算性质，逐项判定，即可求解.【详解】设幂函数的解析式为，因为幂函数的图象过点，可得，解得，即，所以函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，且在上单调递增，所以A正确，B不正确； 当时，可得，所以C正确；当时，，因为，所以，所以D正确.故选：ACD.11.已知在上有两实根，则的值可能为（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】根据给定条件，设出方程的两个实根，并表示及，再用基本不等式求出范围即可.【详解】设方程的两个实根为，则，显然，此时，即方程有两个实根，因此，当且仅当时取等号，显然，即，所以的值可能为，，即AB错误，CD正确.故选：CD12.一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”.下列结论正确的是（）A.若为的“完美区间”，则B.函数存在“完美区间”C.二次函数存在“2倍美好区间” D.函数存在“完美区间”，则实数m的取值范围为【答案】BCD【解析】【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误.【详解】对于A，因为函数的对称轴为，故函数在上单增，所以其值域为，又因为为的完美区间，所以，解得或，因为，所以，A错误；对于B，函数在和都单调递减，假设函数存在完美区间，则，即a，b互为倒数且，故函数存在完美区间，B正确；对于C，若存在“2倍美好区间”，则设定义域为，值域为当时，易得在区间上单调递减，，两式相减，得，代入方程组解得，，C正确.对于D，的定义域为，假设函数存在“完美区间”，若，由函数在内单调递减，则，解得；若，由函数在内单调递增，则，即在有两解a，b，得 ，故实数m的取值范围为，D正确.故选：BCD.【点睛】抓住“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，在已知单调性的前提下，即可通过分析函数在区间端点处a，b的取值，列出方程组.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，且，则__________.【答案】【解析】【分析】利用代入法，整体法进行求解即可.【详解】因为，所以即，所以，故答案为：14.如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为.若一个半径为1的扇形的圆心角为，则该扇形的面积为______.【答案】【解析】【分析】先求出圆心角为，再根据扇形的面积公式即可求解.【详解】解：由题意，所以该扇形的面积.故答案为：.15.秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒. 如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量与时间成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前__________小时进行消毒工作.【答案】【解析】【分析】根据题意，求得参数的值，得到含药量与时间的函数关系式，令，结合指数幂的运算性质，即可求解.【详解】由图中的一次函数的图象得，图象中线段所在的直线方程为，又由点在曲线上，可得，解得，所以含药量与时间的函数关系式为，当时，令，即，可得，解得，所以学校应安排工作人员至少提前1小时进行消毒工作.故答案为：.16.设函数，当时，恒有成立，则的最小值为__________.【答案】【解析】 【分析】将化为，和比较系数，求得x的值，结合恒成立，即可求得答案.【详解】由题意得，令，解得或，当时，，即，当时，，则，验证：时，，，即时，取到最小值，故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（1）（2）【答案】（1）；（2）0【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则，即可求得答案；（2）根据指数幂的运算性质以及对数的运算法则，即可求得答案.【详解】（1）；（2） .18.已知集合.（1）若集合是集合的充分条件，求的取值范围；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将原问题等价转换为由包含关系求参数，根据包含关系列出不等式组求解即可.（2）由题意分集合是否为空集进行讨论即可，讨论时，根据题意列出相应的不等式组求解即可.【小问1详解】由题意若集合是集合的充分条件，则当且仅当，即当且仅当，解得，即的取值范围为.【小问2详解】当时，满足题意，即满足，此时，解得；当且时，当且仅当或，解得或；综上所述，若，则的取值范围为.19.已知函数.（1）求；（2）探究单调性，并证明你的结论；（3）若为奇函数，求满足的的取值范围.【答案】（1）（2）单调递增，证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据函数解析式，将代入，即得答案；（2）判断函数单调递增，根据函数单调性的定义即可证明该结论；（3）根据函数为奇函数求出a，则根据函数的单调性解不等式，即可求得答案.【小问1详解】由于，故；【小问2详解】探究：在R上单调递增，证明如下：的定义域为R，任取，则，因为，，故，即，所以在R上单调递增；【小问3详解】因为为奇函数，故，即，即，所以，则，即，而在R上单调递增，故，即的取值范围为.20.已知函数当时，（1）若，求值；（2）求函数的值域.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用辅助角公式及特殊角的三角函数值即可求解.（2）先利用换元法由（1）可得；再利用二次函数的单调性求出最值即可得出答案.【小问1详解】，.，解得：..【小问2详解】，.，.则，.函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.当时，.又当时，；当时，.当时，故函数的值域为.21.若正数满足.（1）求的最大值； （2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接运用基本不等式进行求解即可；（2）根据已知等式，进行常值代换、结合基本不等式进行求解即可.【小问1详解】因为正数满足，所以有，当且仅当时取等号，即当时，有最大值【小问2详解】因为正数满足，所以有，于是有，当且仅当时取等号，即当且仅当时，有最小值.22.已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若关于x的方程有4个不同的解，记为，且恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）． 【解析】【分析】（1）将函数化为分段函数，根据对数函数的单调性及复合函数的单调性直接得解；（2）根据题意可得出，分离参数可得，令，换元后利用均值不等式求解.【小问1详解】（1）.根据复合函数单调性的知识得的单调递增区间有．【小问2详解】由（1）可知化简可得：∵∴∴∴∵恒成立∴∴对任意恒成立 即：令，则∴（当且仅当时，等号成立）∴．【点睛】关键点点睛：根据题意中方程有四个解可转化出三者与的关系，进而将不等式转化为关于的不等式，为分离参数创造条件，分离参数后，整体换元是第二个关键点，由换元，化简变形成为能够使用均值不等式的结构，求出函数最值，得到参数的取值范围，对能力要求较高，属于难题.