四川省南充市阆中中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

阆中中学高2023级2023年秋12月月考数学试题（满分：150分时间：120分钟）第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式得出集合，再根据交集定义求解结果.【详解】因为，又所以.故选：B.2.函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】解不等式即可得出答案.【详解】要使得函数有意义，必须解得，则该函数的定义域为故选：A 3.如图，过原点的直线与单位圆交于两点，其中P点在角的终边上，则P点的横坐标是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据余弦函数的定义可求出.【详解】设，在单位圆上且P点在角的终边上，根据余弦函数的定义可得，.故选：B.4.已知，，，则a，b，c大小关系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用对数函数、指数函数的单调性及诱导公式、特殊三角函数值比较大小即可.【详解】函数在上单调递增，所以，，函数在上单调递减， 所以，所以.故选：D.5.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.详解】解：如图，连接，因为是的中点，所以，又，所以三点共线，即，又，所以，则，故，所以.故选：B. 6.关于x的函数在上为减函数，则实数a的取值范围是　　A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得，t＝x2﹣ax+2a在[1，+∞）上为增函数，且在[1，+∞）上大于0恒成立，得到关于a不等式组求解．【详解】函数在上为减函数，则在上为增函数，且在上大于0恒成立．则，解得．实数a的取值范围是．故选C．【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．7.今年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，. 则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（    ）（参考数据:）A.年B.年C.年D.年【答案】B【解析】【分析】根据已知条件得，解方程组求出的值，当时，在等式两边取对数即可求解.【详解】由题意得:，解得，所以，当时，得，即，两边取对数得，所以，即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要年.故选：B.8.已知函数若，，且，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据所给分段函数画出函数图象，得到的取值范围，由将转化为 的式子，即可用关于的式子表示，然后对讨论，求出函数的值域即可．【详解】函数的图象如下图：据题意，得，，.讨论：当时，；当时，.分析知，的取值范围是.故选D.【点睛】本题考查函数与方程思想，分段函数的应用问题，属于难题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合，，则（）A.，B.，C.，D.，【答案】AD【解析】【分析】利用集合间的基本关系判定即可.【详解】因为集合，，所以B是A的真子集，所以，或，. 故选：AD.10.某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：f(2)≈−1.307f(3)≈1.099f(2.5)≈−0.084f(2.75)≈0.512f(2.625)≈0.215f(2.5625)≈0.066则方程的近似解（精确度0.1）可取为（）A.2.52B.2.56C.2.66D.2.75【答案】AB【解析】【分析】利用函数的性质及零点存在定理即得【详解】因为函数在其定义域上单调递增，结合表格可知，方程的近似解在（2.5，3），（2.5，2.75），（2.5，2.625）内，又精确度0.1，∴方程的近似解（精确度0.1）可取为2.52，2.56.故选：AB．11.已知函数，.记，则下列关于函数的说法正确的是（）A.当时，B.函数的最小值为C.函数在上单调递减D.若关于x的方程恰有两个不相等的实数根，则或【答案】BD【解析】【分析】根据定义写出的分段函数性质，进而画出函数草图，数形结合判断各项正误即可.【详解】令，则或，所以或， 令，则或，所以或，综上，，函数图象如下，由图知：的最小值为，在上单调递增，或时，恰有两个不相等的实数根.所以A、C错，B、D对.故选：BD12.若x，y满足，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．第II卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则的值为______．【答案】【解析】【分析】根据函数解析式由内到外计算可得的值.【详解】因为，则，故.故答案为：.14.不等式与不等式是同解不等式，则__________【答案】 【解析】【分析】根据指数函数单调性解不等式，结合一元二次不等式解法进而得到答案.【详解】因为在上单调递增，则，即，即，解得，因为也是的解，所以，解得，此时，即，解得，满足题意，故故答案为：.15.若，则__________．【答案】【解析】【分析】根据，利用商数关系，化简为，再利用平方关系求解.【详解】由得，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.函数，在区间[-2021，2021]上的最大值为P，最小值为Q.则P+Q=___________. 【答案】2【解析】【分析】把已知的函数式变形，得到．令，可知该函数为奇函数，然后由奇函数的图象的对称性求得函数的最值，由此求得的值．【详解】，设，则，则为奇函数，若函数的最大值为，则最小值为，即，．．故答案为：2．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.若集合．（1）求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解不等式求出集合，，再进行交集运算即可求解；（2）解不等式求集合，根据并集的结果，列不等式即可求解.【小问1详解】解：，，.【小问2详解】解：， 或，，，解得：，即实数的取值范围为.18.（1）已知角终边上一点，求的值；（2）计算：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数定义求出，再结合诱导公式化简求得结果；（2）根据分数指数幂、零指数幂，以及对数的运算法则、换底公式求得结果.【详解】（1）由角终边上一点，得，故.（2）解：.19.(1)已知是关于x的方程的一个实根，且α是第三象限角，求的值；(2)已知，且，求的值. 【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由已知方程求，利用同角关系将转化为由表示的式子，由此可求其值，(2)由条件结合平方关系求，，由此求结果.【详解】(1)∵是关于x的方程的一个实根，且α是第三象限角，∴或（舍去），∴.(2)由题设，，解得，∴.20.已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．（1）补全函数的图象并写出函数的解析式；（2）若函数，求函数的最小值．【答案】（1）图象见解析，（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据偶函数关于轴对称画出图象，根据偶函数性质求出解析式； （2）根据二次函数的对称轴与区间的关系进行讨论求得的最小值．【小问1详解】图象见下：令，则，，函数是定义在R上的偶函数，，解析式为.【小问2详解】，对称轴为，当时，即，最小值为；当时，即，最小值为；当时，即，最小值为.．21.党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）. （1）分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1），（2）A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元【解析】【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解；（2）列出企业利润的函数解析式换元法求得函数最值得解.【小问1详解】设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元由题设，，由图知，故，又，所以．从而，．【小问2详解】设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元则，令，则，当时，，此时.故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元.22.已知函数．判断并证明函数的奇偶性； 判断函数在定义域上的单调性，并用单调性的定义证明；若对一切恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】先求出函数的定义域，再根据定义判断并证明即可，根据定义证明单调性的步骤证明即可，若对一切恒成立，转化为，即可求出a的范围【详解】（1）由题意，要使函数有意义，得，即函数的定义域为，，，为奇函数；在上单调递减，证明如下：设，则，因为，，，，即，在上单调递减．对一切恒成立，，，，，当时，取最大值，即，，解得，故a的取值范围为．【点睛】 本题主要考查了函数性质的综合应用问题，其中解答中涉及到函数的单调性和奇偶性的证明，以及函数的恒成立问题的求解，以及换元法和函数的最值的计算等知识点的综合应用，试题有一定的综合性，着重考查了中档试题．