四川省泸州市泸县第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

泸县一中2023年秋期高一第三学月考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用集合交集运算直接求解即可.【详解】集合，故.故选：B.2.全称量词命题“”的否定为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】含有量词命题的否定，全称命题的否定是特称,第一步修改量词，第二步否定结论.【详解】含有量词命题的否定，全称命题的否定是特称，第一步修改量词任意改存在，第二步否定结论大于等于改成小于等于即.故选：C.3.“”是“”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件【答案】A【解析】 【分析】根据题意，由对数函数的单调性，解对数不等式，结合对数函数定义域，判断充分性和必要性.【详解】因为对数函数是增函数，定义域为因为，所以，即，所以充分性成立；因为，所以，即，所以必要性不成立，所以是的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题.4.若函数在处取最小值，则等于（）A3B.C.D.4【答案】A【解析】【分析】将函数的解析式配凑为，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的值，可得出的值.【详解】当时，，则，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，，故选A.【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.5.已知，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的单调性，将问题转化为比较当时的大小，利用特值法即可求得结果. 【详解】因为，函数是单调增函数，所以比较a，b，c的大小，只需比较当时的大小即可.用特殊值法，取，容易知，再对其均平方得，显然，所以，所以故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数的单调性比较指数式的大小关系，属基础题.本题解题的关键在于将问题转化为比较当时的大小，再通过特殊值法即可得答案.6.20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M.其计算公式为M=lgA-lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，是标准地震的振幅.5级地震给人的震感已经比较明显，7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的（）A.20倍B.1g20倍C.100倍D.1000倍【答案】C【解析】【分析】根据里氏震级M的计算公式，设7级地震最大幅度为，5级地震最大幅度为，代入公式，作差化简，即可求得答案.【详解】设7级地震最大幅度为，则，5级地震最大幅度为，则，所以所以，即，所以7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的100倍 故选：C【点睛】解题的关键是理解并灵活应用所给定义，根据对数的计算法则，求解即可，考查分析理解的能力，属基础题.7.已知为上的奇函数，为偶函数，若当，，则（）A.B.C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根据为上的奇函数可求出，又为偶函数，可推出为周期函数，利用周期性即可求解.【详解】解：为上的奇函数，且当时，，即，，当时，，为偶函数，，，又为上的奇函数，，，，是周期为4的周期函数，，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是根据为上的奇函数和为偶函数，推出函数 为周期函数，利用周期性求解.8.已知，若互不相等，且，则的取值范围为()A.(1，15)B.(10，15)C.(15，20)D.(10，12)【答案】B【解析】【分析】画出函数的图象，根据(a)(b)(c)，不妨，求出的范围即可．【详解】解：作出函数的图象如图，不妨设，则，则．故选：B．【点睛】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力，是中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合作差法，即可判断.【详解】若，则，故A正确；，因为，所以，，，所以，即，故B正确；因为，根据不等式的性质可知，，故C正确；，因，所以，，所以，即，故D错误.故选：ABC10.已知关于x的不等式的解集为，则（）A.B.点在第二象限C.的最小值为2D.关于的不等式的解集为【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，由原不等式的解集可得，，即可判断ABD，然后再由基本不等式即可判断C.【详解】原不等式等价于，因为其解集为，所以且，，故A正确；因为，则点在第一象限，故B错误；由可得，，当且仅当时，即 时，等号成立，所以的最小值为2，故C正确；由可得，不等式即为，化简可得，则其解集为，故D正确；故选：ACD11.已知，都是定义在上的增函数，则（）A.函数一定是增函数B.函数有可能是减函数C.函数一定是增函数D.函数有可能是减函数【答案】ABD【解析】【分析】根据单调性的定义即可判断各选项.【详解】对于A，设，设，则又由都是定义在上的增函数，则且，所以，故函数一定是增函数，A正确；对于B，设，此时为减函数，B正确；对于C，设，此时，在上为减函数，C错误；对于D，当时，函数为减函数，D正确.故选：ABD.12.已知函数的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与y＝2相交．函数．下列关于函数的判断正确的有（）A.函数是偶函数B.函数在单调递减C.函数的最大值为2 D.方程恰有两根【答案】ABC【解析】【分析】首先根据函数性质确定函数的解析式，再画出函数的解析式，结合选项，即可判断.【详解】由条件可知，，当趋向正无穷时，趋向b，所以，则，即，令，即，得，如图，画出函数的图象，函数是偶函数，在区间单调递减，当时，函数取得最大值2，，无实数根，故ABC正确，D错误.故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数的零点在区间，内，则________________．【答案】【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理计算可得；【详解】解：因为，所以在上单调递增，又，，，所以函数在上有唯一零点，所以；故答案为：14.已知在上有解，则实数的取值范围是________. 【答案】【解析】【分析】令，依题意，，使成立，转化为求，从而利用一元二次函数的性质即可求得结果.【详解】令，依题意，，使成立，即，又，则在上单调递增，所以，所以.故答案为.【点睛】本题考查存在性问题和一元二次函数的性质，也考查了学生转化与化归的能力，存在性问题通常转化为求函数最值问题，属中档题.15.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到，代入不等式得到，根据函数的单调性解得答案.【详解】幂函数在上单调递减，故，解得.，故，，.当时，不关于轴对称，舍去；当时，关于轴对称，满足；当时，不关于轴对称，舍去；故，，函数在和上单调递减，故或或，解得或. 故答案为：16.已知（且），则_______.【答案】【解析】【分析】根据对数的运算法则，将，转化为，再构造转化为求解.【详解】因为，所以，所以，所以，即，所以，解得..故答案为：【点睛】本题主要考查对数运算法则的简单应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求下列各式的值：（1）（2）【答案】（1）2；（2）．【解析】【分析】（1）利用对数的运算性质和换底公式求解即可； （2）利用分数指数幂的运算性质求解【详解】（1）原式（2）原式18.设集合，．（1）若，求集合在中的补集；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据补集定义，可求得补集．（2）根据集合的关系，可知集合A为集合B的子集，因而可得m的取值范围．【详解】（1）集合在中补集为（2）又，实数的取值范围是【点睛】本题考查了补集的定义，集合与集合的基本关系，属于基础题．19.已知函数在区间上的最小值为1.（1）求的值；（2）若存在使得不等式在成立，求实数的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】 【分析】（1）二次函数写出对称轴，分，，三种情况讨论即可求出最小值，根据最小值为1，写出（2）分离参数可得，令，换元后求最小值，只需k大于最小值即可.【详解】（1）.当时，，解得；当时，，解得不符合题意；当时，，解得，不符合题意.综上所述，.（2）因为，可化为，令，则.因，故.故不等式在上有解.记，，故，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，分类讨论，分离参数，不等式有解问题，属于中档题.20.某厂生产某种零件，每个零件的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不能低于元.（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？（2）设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；（3）当销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）【答案】（1） （2）（3）元【解析】【分析】（1）根据实际出厂单价恰好为元列出求解；（2）根据题意求分段函数解析式；（3）根据利润公式及分段函数入代求解即可.【小问1详解】解：设每个零件的实际出厂价恰好降为元时，一次订购量为个，则.【小问2详解】当时，；当时，；当时，.【小问3详解】设工厂获得的利润为元，则，即销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是元.21.已知函数对一切实数都满足且.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）当时恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】 【分析】（1）结合已知的条件，令即可求出的值；（2）根据已知等式令即可求出的解析式；（3）常变量分离，求出二次函数在闭区间上的最大值，即可求出的取值范围.【详解】（1）令则；（2）令，即；（3）因为，即所以在上恒成立，设，即又在上递减，当，，所以，故.22.设，函数．（1）若，判断并证明函数的单调性；（2）若，函数在区间（）上的取值范围是（），求的范围．【答案】（1）在上递增，证明见解析.（2）【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义计算的符号，从而判断出的单调性.（2）对进行分类讨论，结合一元二次方程根的分布来求得的范围.【小问1详解】，当时，的定义域为，上递增，证明如下： 任取，由于，所以，所以在上递增.【小问2详解】由于，所以，，由知，所以.由于，所以或.当时，由（1）可知在上递增.所以，从而①有两个不同的实数根，令，①可化为，其中，所以，，，解得.当时，函数的定义域为，函数在上递减.若，则，于，这与矛盾，故舍去.所以，则， 于是，两式相减并化简得，由于，所以，所以.综上所述，的取值范围是.