四川省泸州市泸县第五中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

泸县五中2023-2024学年高一上期期中考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得正确答案.【详解】命题“，”的否定是，，故选：C2.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先确定阴影部分表示的集合为,再根据补集与交集定义求解.【详解】由题意得阴影部分表示的集合为,因为故选：A【点睛】本题考查补集与交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 3.若实数满足，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】对于选项ACD可以举反例判断，选项B可以利用函数单调性判断.【详解】选项A，可以举反例，如，满足，但是，错误；选项B：对于函数是上单调增函数，所以当时，，正确；选项C：可以举反例，如，满足，但是，错误；选项D：可以举反例，如，，满足，但是，错误；故选：B4.已知，，则“，”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据已知条件分别判断充分性和必要性，即可得到答案.【详解】当，时，根据不等式的性质可得，故充分性成立；当时，若，，此时不能推出，，故必要性不成立.所以“，”是“”的充分不必要条件.故选：A5.“高铁、扫码支付、共享单车和网购”称为中国的“新四大发明”．某中学为了解本校学生对“新四大发明”的使用情况，随机调查了100位学生，其中使用过共享单车或扫码支付的学生共有80位，使用过扫码支付的学生共有65位，使用过共享单车且使用过扫码支付的学生共有30位，则使用过共享单车的学生人数为（）A.65B.55C.45D.35【答案】C 【解析】【分析】用集合表示使用过共享单车的人，集合表示使用过扫码支付的人，根据集合运算确定结果．【详解】参数调查的所有人组成全集，使用过共享单车的人组成集合，使用过扫码支付的人组成集合，表示集合中的元素，由题意，，，∴，∴．故选：C．6.已知为上的增函数，则满足的实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的单调性得到，从而得到，即可求解.【详解】因为为上的增函数，所以由，得：，即，即，解得：，所以实数的取值范围为，故选：C.7.若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先对进行讨论,当时,不等式为,恒成立，当时,利用不等式恒成立的条件进行转化,然后求解.【详解】若,则原不等式等价为,此时不等式恒成立, 若,则要使不等式恒成立,则有，解得，综上满足题意的的范围为.故选：D.8.设（其中为常数），若，则A.31B.17C.24D.－31【答案】A【解析】【详解】令，则为奇函数．∴∴,故选A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知单元素集合，则集合的所有子集构成的集合，下列表示正确的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根据集合N中有两个元素：，对选项逐一判断即可.【详解】集合，即集合N中有两个元素：，故，，选项A正确，CD错误；空集是任何集合的子集，故，选项B正确.故选：AB.10.已知函数，关于函数的结论正确的是（）A.的定义域为B.的值域为C.D.若，则x的值是 【答案】BD【解析】【分析】根据分段函数的解析式结合二次函数的性质，逐一判断即可.【详解】对于A，因为，所以的定义域为，所以A错误；对于B，当时，，当时，，所以的值域为，所以B正确；对于C，因为，所以，所以C错误；对于D，当时，由，得，解得（舍去），当时，由，得，解得或（舍去），综上，，所以D正确.故选：BD.11.若关于的不等式的解集是，则下列说法正确的是（）A.B.的解集是C.D.的解集是【答案】AB【解析】【分析】首先利用不等式和对应方程的关系，可得，，再判断选项.【详解】因为的解集是，所以，且的两个实数根是或，即，，解得：，，故A正确；C不正确；，即，解得：， 故B正确；，即，解得：，故D不正确.故选：AB【点睛】关键点点睛：本题考查一元二次方程和不等式的关系，关键是根据根与系数的关系求出的值.12.中国宋代数学家秦九韶提出了用三角形的三边求面积的“三斜求积术”，即已知三角的三边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，此公式化简后与海伦公式完全一致.其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形满足，，则下列结论正确的是（）A.B.C.三角形的面积S的最大值为12D.三角形的面积S没有最小值【答案】BC【解析】【分析】A.利用基本不等式判断；B.利用基本不等式判断；CD.根据，得到，利用二次函数判断.【详解】A.因，，所以，当且仅当时，等号成立，故错误；B.因为，所以，当且仅当时，等号成立，故正确；C.因为，所以p=8，则，，，因为，解得，所以当时，取得最大值，故正确； D.由选项C知，错误；故选：BC第II卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知集合，集合，则_________.【答案】【解析】【分析】直接根据交集的概念得结果即可【详解】因为集合，集合则故答案为：14.不等式解集为___________________.【答案】【解析】【分析】化简不等式为即得解.【详解】原不等式可变形为,,∴,则原不等式的解集是.故答案为：15.已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为______．【答案】.【解析】【分析】根据基本不等式结合配凑法求解即可；【详解】，所以，，当且仅当即时等号成立， 又不等式对任意恒成立，所以，即.故答案为：.16.已知函数，，若对任意，总存在，使成立，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】求出函数在上的值域A，再分情况求出在上的值域，利用它们值域的包含关系即可列式求解.【详解】“对任意，总存在，使成立”等价于“函数在上的值域包含于在上的值域”，函数，当时，，，即在的值域，当时，，不符合题意，当时，在上单调递增，其值域，于是有，即有，解得，则，当时，在上单调递减，其值域，于是有，即有，解得，则，综上得：或，所以实数的取值范围为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.集合，. （1）求；（2）求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解不等式求得集合，再根据并集的运算，从而求得.（2）根据补集的运算，先求得，然后根据交集的运算，即可求出.【详解】解：（1）由题可知，，因为，解得：，所以集合，∴；（2）或，所以.18.已知函数（1）求函数的定义域；（2）画出函数的图象，并求的单调区间.【答案】（1）；（2）增区间为和，减区间为和.图象见解析.【解析】【分析】（1）根据解析式，即可求得函数定义域；（2）根据一次函数和二次函数的图象即可画出图象，数形结合即可求得单调区间.【详解】（1）函数的定义域为；（2）的图象如下所示： 由图象得增区间为和，减区间为和.【点睛】本题考查具体函数图象的绘制，以及函数定义域的求解，函数单调区间的求解，属综合基础题.19.某隧道长2150米，通过隧道的车速不能超过20米/秒．一个由55辆车身都为10米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道．设车队的速度为x米/秒，根据安全和车流的需要，相邻两车均保持米的距离，其中a为常数且，自第一辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为y(秒)．（1）将y表示为x的函数；（2）求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件求得关于的函数；（2）利用基本不等式与导数，分类讨论的取值范围，从而求得的最小值以及此时的车队速度.【小问1详解】依题意，得.【小问2详解】当时， 当且仅当，即时取等号，即当时，；当时，，故在上是减函数，故当时，；所以当时，则当车队速度为20m/s时，通过隧道所用时间最少；当时，则当车队速度为m/s时，通过隧道所用时间最少．20.已知定义在上的奇函数，当时，（1）求实数的值及在上的解析式;（2）判断函数在上的单调性（不用证明）;（3）解不等式.【答案】（1）;（2）函数在上为减函数（3）【解析】【分析】（1）由题意得到从而可求出；得到当时，；令，得，得到，根据函数奇偶性，即可求出结果；（2）根据二次函数单调性，可直接判断出该分段函数的单调性；（3）根据（2）的结果，以及函数为奇函数，将原不等式化为，由题意列出不等式组，求解，即可得出结果.【详解】（1）奇函数，，,时，；令，， ，；（2）函数在上为减函数；（3）在上为减函数，，，，解得.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数解析式，以及由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型.21.已知二次函数满足，且.（1）求函数的解析式;（2）令，求在上的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意结合待定系数法运算即可得解；（2）由二次函数的性质按照、、分类，运算即可得解.【详解】（1）设，则，，解得，，又，，；（2）由题意，，对称轴，当时，函数在上单调递增，则； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则；当时，函数在上单调递减，则；.22.已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又．（1）判断的奇偶性并证明；（2）求在区间的最小值；（3）解关于的不等式：．【答案】（1）为奇函数，证明见解析（2）（3）答案见解析【解析】【分析】(1)令,得，再令，结合奇偶性定义可证；(2)先证明单调性，利用单调性求解即可；(3)先化为，再利用单调性转化为，最后根据含参二次不等式的分类讨论求解即可.【小问1详解】为奇函数，理由如下：函数的定义域为，关于原点对称，令得，解得，令得所以对任意恒成立，所以为奇函数，【小问2详解】任取，且，则.因当时，，所以. ，即，所以在上单调递增，所以在区间的最小值为，因为，令得，令，得，在区间的最小值为，【小问3详解】由，得，由得，由在上单调递增得整理得，即，当时，，解得；当时，，当时，，，解集为，当时，，当时，，解集为，当时，，解集为，当时，，解集为，综上所述：当时，解集；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【点睛】关键点睛：这道题的关键之处为第（3）问，需要对含参的二次函数进行分类讨论，难点在于分类讨论时标准的确定，主要是按照是否有根，根的大小进行分类求解的．