四川省泸州市泸县第一中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

泸县一中2023年秋期高一期中考试数学试题本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的交集、补集运算即可.【详解】由已知可得，因此，.故选：B2.命题“，”的否定是()A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】【分析】利用全程量词命题的否定的概念即可求解.【详解】根据全称量词命题的否定可知，命题“，”的否定是，.故选：A.3.如果，下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较，逐项判定，即可求解.详解】对于A中，由，可得，又由，其中的符号不确定，所以A不正确；对于B中，根据函数在定义域上为单调递增函数，由，可得，即，所以B正确；对于C中，由，由，可得，但的符号不确定，所以C不正确；对于D中，例如：，可得，所以D不正确.故选：B.4.若，且，则（）.A.B.或0C.或1或0D.或或0【答案】B【解析】【分析】利用条件，得或，求解之后进行验证即可．【详解】解：因为，，若，则或，解得x＝2或−2或1或0．①当x＝0，集合A＝{1，4，0}，B＝{1，0}，满足．②当x＝1，集合A＝{1，4，1}，不成立．③当x＝2，集合A＝{1，4，2}，B＝{1，4}，满足．④当x＝−2，集合A＝{1，4，−2}，B＝{1，4}，满足．综上，x＝2或−2或0．故选：B．【点睛】本题主要考查集合关系的应用，考查分类讨论的思想，属于基础题．5.设函数，若，则实数等于 A.B.C.2D.4【答案】C【解析】【详解】试题分析：因为，所以，故选C.考点：分段函数的解析式.6.已知正数a，b满足，则的最小值为（）A.25B.16C.12D.【答案】A【解析】分析】利用将化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.【详解】∵正数a，b满足，∴，，等号仅当即时等号成立．故选：A．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7.若，不等式恒成立，则a的取值范围是（）A.B.C.{a|a＞1}D.【答案】D【解析】 【分析】将已知转化为，，利用函数的单调性求最值即可得解.【详解】由于，不等式恒成立所以，恒成立，即恒成立令，显然在上单调递减，所以实数a的取值范围是故选：D【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图像在上方即可)；③讨论最值或恒成立.8.若函数为定义在上的奇函数,且在为减函数,若,则不等式的解集为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据函数为定义在上的奇函数,且在为减函数,若,画出函数的大致图像,结合图像即可求得答案.【详解】根据函数为定义在上的奇函数,且在为减函数,若,画出函数的大致图像,如图: ①当时,即,由,得或解得:.②当时,即由得或解得综上所述:的取值范围是.故选:B.【点睛】本题考查了根据函数图像求解函数不等式,解题关键是根据题意画出函数图像,结合单调性和奇偶性进行求解,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合A＝{0，1}，则下列式子正确的是（）A.0∈AB.{1}∈AC.∅⊆AD.{0，1}⊆A【答案】ACD【解析】【分析】利用元素与集合，集合与集合的基本关系判断.【详解】解：因为集合A＝{0，1}，所以0∈A，{1}A，∅A，{0，1}⊆A，故选：ACD10.下列各组函数表示相同函数的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】CD【解析】 【分析】依据相同函数的定义，定义域和对应法则都相同，依次判断即可【详解】选项A，两个函数的对应法则不同，不是同一函数；选项B，两个函数的定义域和对应法则都不相同，不是同一函数；选项C，，两个函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数；选项D，两个函数的定义域和对应法则都相同，与自变量的符号表示无关，是同一函数.故选：CD11.下列命题中的真命题有（）A.当时，的最小值是3B.最小值是2C.当时，的最大值是5D.对正实数x，y，若，则的最大值为3【答案】AC【解析】【分析】对A：将目标式进行配凑，再利用基本不等式即可求解；对B：令，构造对勾函数，利用对勾函数的单调性即可求得结果；对C：直接利用基本不等式即可求得结果；对D：取特殊值，即可判断正误.【详解】对A：当时，，当且仅当，即时取得等号，故A正确；对B：，令，则，令，又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误；对C：，当且仅当，即时取得等号；故当时，的最大值是,故C正确；对D：因为，且，显然满足题意，此时有，故D错误.故选：AC.12.已知关于的不等式的解集为，则（）A.B.不等式的解集为C.D.不等式的解集为【答案】BD【解析】【分析】一元二次不等式的解的端点即为对应的一元二次方程的解，再根据开口确定的正负.【详解】因为的解集为，所以，解得，所以A错误；对于B：将代入可得，解得，B正确；对于C：不等式的解集为，所以时，C错误；对于D：将代入可得，即，解得，D正确，故选：BD 第II卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知实数满足不等式，则的取值范围为______【答案】【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】不等式等价于，即，对应方程的根是和，所以不等式的解集是.故答案为：14.已知，，，，则p是q的________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】充要【解析】【分析】判断和的真假．【详解】解析当，时，且成立,当且时，得所以p是q的充要条件.故答案为：充要条件【点睛】本题考查充分必要条件的判断，在确定了和的真假后可给出正确选择．15.函数的定义域为，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】 【分析】函数的定义域为，等价于恒成立，然后分和两种情况讨论求解即可得答案【详解】函数的定义域为，等价于恒成立，当时，显然成立；当时，由，得．综上，实数的取值范围为．故答案为：16.已知是上的减函数，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】由题知，解不等式组即可得答案.【详解】解：当时，为减函数，故又因为是上的减函数，所以，解得.所以实数的取值范围为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记全集，集合，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）或 （2）【解析】【分析】（1）根据集合运算，结合数轴分析可得；（2）先分析集合A，B的包含关系，然后利用数轴讨论即可.【小问1详解】若，则，因为或，所以或.【小问2详解】若，则，所以，解得，即实数的取值范围为.18.已知函数，且（1）求解析式；（2）判断并证明函数在区间的单调性.【答案】（1）；（2）单调递增，证明见解析.【解析】【分析】（1）由题得且，解方程组即得解；（2）利用单调性的定义判断证明即可.【小问1详解】解：且，解得. 所以函数的解析式为.【小问2详解】解：∵.∵，，所以，所以，所以函数在单调递增.19.已知定义域在上的奇函数,当时,的图象如图所示.（1）请补全函数的图象并写出它的单调区间.（2）求函数的表达式.【答案】（1）如图所示：的单调递增区间为，；单调递减区间为 （2）【解析】【分析】（1）根据奇函数关于原点对称，即可画出图像．（2）令,则，即，再根据即可写出，，即可得出答案．【详解】（1）如图所示：单调递增区间为，单调递减区间为（2）令,则，又为奇函数，所以所以【点睛】本题考查利用奇函数的性质求函数的解析式，属于基础题．20.已知，且（1）求的最小值；（2）若恒成立，求的最大值.【答案】（1）8（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，化简后利用基本不等式可求出其最小值， （2）将问题转化为恒成立，求出的最小值，而，化简后利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出的最大值.【小问1详解】因为，且，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，【小问2详解】因为（）恒成立，所以恒成立，因为，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为， 所以，所以的最大值为.21.某乡镇响应“绿水背山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．（1）求函数的解析式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400元【解析】【分析】（1）利用，即可求解；（2）对进行化简，得到，然后分、讨论的取值，进而得到答案.【小问1详解】根据题意，，化简得，；【小问2详解】由（1）得 ，当时，，当时，，所以，当且仅当时，即时等号成立，因为，所以当时，，故当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为400元.22.设二次函数满足条件：①当时，的最大值为0，②成立，③；（1）求的解析式；（2）求的解集；（3）求最小的实数，使得存在实数，只要当时，就有成立.【答案】（1）；（2）或；（3）.【解析】【分析】（1）设，由得的对称轴为，再设二次函数的顶点式，利用得到的解析式；（2）解一元二次不等式即可；（3）存在性问题与恒成立问题结合，需要由得出x的范围，然后和比较得，先解得，进而求出的范围. 【小问1详解】设，由得整理得，所以所以函数的对称轴为，由的最大值为0，可设.由，得，所以得.所以；【小问2详解】由（1）知，即，解得或，所以的解集为或；【小问3详解】由可得，，即，即只要当时，就有成立.故，所以由解得，又在时恒成立，可得，由得.令，易知单调递减，所以，由于只需存在实数，故，则能取到的最小实数为-9. 此时，存在实数，只要当时，就有成立.综上：能取到的最小实数为-9.