四川省泸州市泸县第四中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

泸县四中2023-2024学年高一上期期中考试数学试题本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集，集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，结合集合的运算，求解即可.【详解】由题可得：，，故．故选：.2.“，使”的否定是（）A.，使B.，使C.，使D.，使【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题.【详解】“，使”的否定为，使故选：D3.已知和均为非零实数，且，则下面表达正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】选项B、C、D可以利用赋值法进行判定，选项A可利用作差与0比较，从而得到结论． 【详解】∵和均为非零实数，且，∴不妨取，，，故选项B不正确；取，，则，故选项C不正确；取，，则，故选项D不正确；∵，∴，故选项A正确，故选：A．4.设a，b，c为的三条边长，则“”是“为等腰三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别讨论命题的充分性和必要性即可得出结论.【详解】由题意，充分性：若，则为等腰三角形.必要性：若为等腰三角形，则a，b不一定相等.故选：A.5.已知集合，则中元素的个数为（　　）A.1B.5C.6D.无数个【答案】C【解析】【分析】由集合描述列举出元素，即可确定元素个数.【详解】由，则可为，所以，共6个元素.故选：C6.某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加人篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为（） A.9B.12C.15D.18【答案】C【解析】【分析】依题意列出不等式，结合其整数的性质依次从小到大分析即可得解.【详解】依题意，设加入乒乓球协会、篮球协会、足球协会的学生人数分别为a，b，c，则，又，若，则，不满足；若，则，不满足；若，则，不满足；若，则，满足；则，，，则.故选：C.7.已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】由于函数是上的减函数，则函数在上为减函数，所以，，解得.且有，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：A. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数，考查计算能力，属于中等题.8.已知定义在上函数满足：对任意的，有，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件可知在上单调递减，在上单调递增，由不等式在恒成立，结合的单调性、对称性即可求的取值范围.【详解】对任意的，有，知：在上单调递增，是偶函数，知：关于对称，∴在上单调递减，在上单调递增；∵不等式对任意的恒成立，且，∴即可，而根据对称性有，∴综上知：或，解得，故选：C【点睛】结论点睛：注意抽象函数单调性、对称性判断1、对任意的：有单调递增；有单调递减；2、当是偶函数，则关于对称； 思路点睛：对称型函数不等式在一个闭区间上恒成立：在对称轴两边取大于或小于该闭区间最值即可，结合函数区间单调性求解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）A.与B.与C.与D.与【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，由同一函数的定义对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A，函数，函数，两函数的定义域与对应法则都一致，所以是同一函数，故正确；对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，它们的定义域不同，所以不是同一函数，故错误；对于C，函数与函数，两函数的定义域与对应法则都一致，所以是同一函数，故正确；对于D，函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数，故正确；故选:ACD10.设函数、的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）A.是奇函数B.是偶函数C.是偶函数D.是奇函数【答案】AB【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义即可逐项判断.【详解】是奇函数，是偶函数，，，，故是奇函数，A正确；，故为偶函数，B正确；，故是奇函数，C错误；，故为偶函数，D错误.故选：AB．11.已知正数满足，则下列选项正确的是（）A.的最小值是2B.的最大值是1C.的最小值是4D.的最大值是【答案】ABD【解析】【分析】根据题中条件及基本不等式，逐项分析即可.【详解】因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，即的最小值是2，故A正确；因为，所以，当且仅当时，等号成立，即的最大值是1，故B正确；， 当且仅当时，等号成立，即的最小值是，故C错误；因为，当且仅当，即时等号成立，即的最大值是，故D正确，故选:ABD.12.定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（）.A.B.为偶函数C.区间上有最大值D.的解集为【答案】AD【解析】【分析】赋值，令，可判断A；令，结合奇偶函数定义可判断B；根据抽象函数性质结合函数单调性定义可判断C；利用函数单调性解不等式判断D.【详解】令，则，故，A正确；令，则，即，故函数为奇函数，B错误；设，则，由题意可得，即，即，故函数为R上的减函数，所以在区间上有最大值为，C错误；等价于，又为R上的减函数，故，所以，解得，即的解集为，D正确. 故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的综合应用.关键点在于赋值法的运用，通过对题意的理解，巧妙的赋予特殊值，结合奇函数定义判断奇偶性，利用单调性的定义判断单调性，然后利用函数性质求解抽象函数的值域（最值）、解抽象函数不等式.第II卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数在上的值域是_____.【答案】【解析】【分析】先化简函数的解析式，再利用函数的单调性求函数的值域．【详解】解：当时，函数在上是增函数，故当时，函数取得最小值为1，又，故函数的值域为，故答案为：．14.“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是___．【答案】【解析】【分析】求解一元二次不等式和一元一次不等式，根据充分不必要性，列出不等式，则问题得解.【详解】由，解得；由，即，解得或；又“”是“”的充分不必要条件，故可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查由命题之间的充分性和必要性求参数范围，属基础题.15.不等式的解集为，不等式的解集为，不等式的解集是，那么等于__________． 【答案】【解析】【详解】分析：利用一元二次不等式的解法可得，，求出，根据韦达定理求得的值，从而可得结果.详解：不等式变形得：，计算得出：，即，不等式变形得：，计算得出：，即，∴，即不等式的解集为，∴由韦达定理可得，，则，故答案为．点睛：集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．16.定义在上函数满足，且当时，．若当时，，则的最小值等于________．【答案】【解析】【分析】转化条件为在区间上，，作出函数的图象，数形结合即可得解．【详解】当时，故，当时，故…，可得在区间上，，所以当时，，作函数的图象，如图所示， 当时，由得，由图象可知当时，，所以的最小值为．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞1}.（1）求集合；（2）设集合M＝{x|a＜x＜a+6}，且A∪M＝M，求实数a的取值范围.【答案】（1）{x|﹣2≤x≤1}（2）【解析】【分析】（1）进行补集和交集的运算即可；（2）根据可得出，然后即可得出，然后解出的范围即可．【小问1详解】，则，又，则；【小问2详解】∵，∴，且，∴，解得，∴实数的取值范围为: 18.（1）若x＞0，求f（x）=的最小值．（2）已知0＜x＜，求f（x）=x（1-3x）的最大值．【答案】(1)12;(2)．【解析】【分析】（1）利用基本不等式求最小值即可；（2）化简得f（x）=x（1-3x）=•[3x•（1-3x）]，再利用基本不等式求最大值.【详解】（1）若x＞0，则3x＞0，，∴f（x）=+3x≥2•=12，当且仅当=3x，即x=2时，取“=”，因此，函数f（x）的最小值为12；（2）若，∵f（x）=x（1-3x）=•[3x•（1-3x）]≤•=，当且仅当3x=1-3x，即x=时，取“=”，因此，函数f（x）的最大值为．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．（1）画出函数的图象；（2）求函数的解析式（写出求解过程）． （3）求，的值域．【答案】（1）答案见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）作出时的图象（抛物线的一部分），再作出其关于原点对称的图象，即可得结论；（2）根据奇函数的定义求解析式；（3）由函数图象得函数的单调性，从而可得最大值和最小值，即得值域．【小问1详解】先作出时的图象（抛物线的一部分），再作出其关于原点对称的图象：【小问2详解】是奇函数，时，，，所以，所以；【小问3详解】由（1）可知在和上是增函数，在上是减函数，，，，，因此最大值为1，最小值为，所以的值域为．20.已知函数．（1）求的解析式； （2）试判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明．【答案】（1）（2）单调递增，证明详见解析【解析】【分析】（1）利用凑配法求得的解析式.（2）先求得的解析式并判断出单调性，然后利用单调性的定义进行证明.【小问1详解】，所以.【小问2详解】，在上单调递增，证明如下：设，，其中，所以，所以，所以在上单调递增.21.已知函数．（1）当时，解关于的不等式；（2）当时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）根据二次不等式求解即可；（2）分情况讨论对称轴与区间的位置关系，再根据恒成立问题求解即可.【小问1详解】当时，，即，解得【小问2详解】当对称轴，即时，在时取最小值，解得，与矛盾，不合题意；当，即时，在时取最小值，解得，此时；当，即时，在时取最小值，解得，此时.综上，的取值范围为22.已知二次函数满足，且的最小值是．求的解析式；若关于x的方程在区间上有唯一实数根，求实数m的取值范围；函数，对任意，都有恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）(2)（3）【解析】【详解】试题分析：（1）因，故对称轴为，故可设，再由得.（2）有唯一实数根可以转化为与有唯一的交点去考虑.（3），任意都有不等式成立等价于，分、、和四种情形讨论即可. 解析：（1）因，对称轴为，设，由得，所以.（2）由方程得，即直线与函数的图象有且只有一个交点，作出函数在的图象.易得当或时函数图象与直线只有一个交点，所以的取值范围是.（3）由题意知.假设存在实数满足条件，对任意都有成立，即，故有，由.当时，在上为增函数，，所以；当时，，.即，解得，所以.当时，即解得.所以.当时，，即，所以，综上所述，，所以当时，使得对任意都有成立.点睛：（1）求二次函数的解析式，一般用待定系数法，有时也需要根据题设的特点合理假设二次函数的形式（如双根式、顶点式、一般式）；（2）不等式对任意恒成立可以等价转化为恒成立.