四川省泸州市泸县泸县第五中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

泸县五中2023年秋期高二期中考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间上点和，则为（）A.3B.4C.5D.1【答案】C【解析】【分析】有空间向量的坐标，向量模的计算，或者空间两点间距离公式直接求得即可.【详解】由空间两点间距离公式.故选：.【点睛】本题考查空间向量的模的计算,难度容易.2.已知复数满足（为虚数单位），则复数的模等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，再求模长即可.【详解】因为，所以所以.故选：A.3.已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据题意，由直线倾斜角的定义，即可得到结果.【详解】因为的倾斜角为，与垂直，所以的倾斜角为.故选：B.4.某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（）A.抛一枚硬币，出现正面朝上B.掷一个正方体的骰子，出现3点朝上C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃D.从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球【答案】D【解析】【分析】由折线图可知，频率在0.3到0.4之间，依次分析各选项对应的概率，看是否符合即可【详解】由折线图可知，频率在0.3到0.4之间选项A，抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合，故A错；选项B，掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上概率为，不符合，故B错；选项C，一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃概率为，不符合，故C错；选项D，从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球概率为，在0.3到0.4之间，符合题意，故D对故选：D5.直线与直线互相平行，则实数A.B.4C.D.2【答案】D【解析】【分析】利用两条直线平行，它们的斜率相等或者斜率都不存在的性质求解. 【详解】当时，，，此时，不满足条件，当时，应满足，解得，综上，.故选：D.【点睛】本题考查含有参数的两条直线平行的参数的求法，判断斜率相等或者斜率都不存在是关键.6.若方程表示圆，则m的范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】配方变形为圆的标准方程后可得．【详解】方程配方后得，它表示圆，则，．故选：C．【点睛】本题考查圆的一般方程，二元二次方程表示圆，可通过配方法化为圆的标准方程，由圆标准方程得条件．7.设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，由两点距离公式计算可得根据题意可得，进而利用点到直线的距离公式即可求解．【详解】设，， ，即．点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．若直线上存在点Q使得，则PQ为圆的切线时最大，，即．圆心到直线的距离，或．故选：C．8.在三棱锥中，PA，PB，PC互相垂直，，M是线段BC上一动点，且直线AM与平面PBC所成角的正切值的最大值是，则三棱锥外接球的体积是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由线面角的最大值求出边长PC，将三棱锥补形成长方体，再确定外接球的半径，计算体积.【详解】M是线段BC上一动点，连接PM．因为PA，PB，PC互相垂直，所以是直线AM与平面PBC所成的角．当PM最短，即时，直线AM与平面PBC所成角的正切值最大，此时，． 在中，，则，解得．将三棱锥扩充为长方体，则长方体的体对角线长为．故三棱锥外接球的半径，三棱锥外接球的体积为．所以D正确；故选：D.二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（）A.圆B.线段C.椭圆D.直线【答案】BC【解析】【分析】结合基本不等式求得，结合椭圆定义分类讨论，即可求解.【详解】由题意知，定点，，可得，因为，可得，当且仅当，即时等号成立．当时，可得的，此时点的轨迹是线段；当时，可得，此时点的轨迹是椭圆．故选：BC．10.中国篮球职业联赛（CBA）中，某运动员在最近几次比赛中的得分情况如下表：投篮次数投中两分球的次数投中三分球次数 1006516记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，且事件A，B，C是否发生互不影响，用频率估计事件A，B，C发生的概率，，，下述结论中正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据频率与概率的关系，结合互斥事件的加法公式逐个判断即可【详解】，用频率估计事件发生的概率，可得，，，故ABC正确，表示事件B发生或事件C发生，故．故D错误；故选：ABC．11.已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（）A.的倾斜角等于B.在轴上截距等于C.与直线垂直D.与直线平行【答案】CD【解析】【分析】根据题意求出直线的方程，然后逐个分析判断即可.【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，因为直线经过点，所以直线的方程为， 即，A，直线的斜率，则倾斜角等于，A错误；B，当时，，所以在轴上的截距等于，B错误；C，因为直线的斜率，直线直线的斜率为，，所以两直线垂直，C正确；D，因为直线的斜率，直线的斜率，不过（1，-2），所以两直线平行，D正确.故选：CD12.在正方体中，点P满足，其中，，则下列说法正确的是（）A.当时，平面B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，△PBD的面积为定值D.当时，直线与所成角的取值范围为【答案】ABD【解析】【分析】对于A选项，确定点在面对角线上，通过证明面面平行，得线面平行；对于B选项，确定点在棱上，由等体积法，说明三棱锥的体积为定值；对于C选项，确定点在棱上，的底不变，高随点的变化而变化；对于D选项，通过平移直线，找到异面直线与所成的角，在正中，确定其范围.【详解】对于A选项，如下图，当时，点在面对角线上运动，又平面，所以平面，在正方体中，且，则四边形为平行四边形， 所以，，平面，平面，平面，同理可证平面，，所以，平面平面，平面，所以，平面，A正确；对于B选项，当时，如下图，点在棱上运动，三棱锥的体积为定值，B正确；对于C选项，当时，如图，点在棱上运动，过作于点，则，其大小随着的变化而变化，C错误；对于D选项，如图所示，当时，，，三点共线，因为且,所以四边形为平行四边形，所以，所以或其补角是直线与所成角， 在正中，的取值范围为，D正确.故选：ABD.第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知一组数按从小到大顺序排列的数据：24，30，36，38，40，50，52，54，57，60；这组数据的第30百分位数为______.【答案】37【解析】【分析】按照百分位数的定义，直接求得.【详解】因为这一组数据为：24，30，36，38，40，50，52，54，57，60；所以第30百分位数为.故答案为：37.14.已知三点共线，则的值为________.【答案】【解析】【分析】由条件可得，结合两点斜率公式列方程求的值.【详解】因为三点共线，所以，所以，解得.故答案为：. 15.设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆离心率等于__________．【答案】【解析】【详解】设到位于轴上方，坐标为，∵为等腰直角三角形，∴，即，即，∵，∴，，∴．16.设点P(x，y)是圆C：x2+(y-2)2=1上的动点，定点A(1，0)，B(－1，0)，则的最大值为_____【答案】8【解析】【分析】用点的坐标表示出，，再求出并借助点P在圆C上的条件即可作答.【详解】因点在圆C上，即，则，且，而，于是得，显然在上单调递增，则当时，，即，所以的最大值为8.故答案为：8四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.对某班40名同学每天参加课外活动的时间进行了详细统计，并绘制成频率分布直方图，其中 ，，，，在纵轴上对应的高度分别为m，0.02，0.0375，0.0175，m，如图所示．（1）求实数m的值并估计每位同学每天参加课外活动的平均时间；（2）从每天参加活动不少于50分钟的人（含男生甲）中任选3人，求其中的男生甲被选中的概率．【答案】（1），平均时间为34.75分钟；（2）【解析】【分析】（1）根据频率之和为1可求，再根据平均数公式可求；（2）设每天参加活动不少于50分钟的人分别为，甲，列出所有可能结果，再利用古典概型概率公式可计算.【详解】（1）由频率之和为1可得，解得，每位同学每天参加课外活动的平均时间为分钟；（2）每天参加活动不少于50分钟的人有人，设为,甲，则从中任选3人，可能情况有abc，abd，ab甲，acd，ac甲，ad甲，bcd，bc甲，bd甲，cd甲，共10种，其中的男生甲被选中的情况有ab甲，ac甲，ad甲，bc甲，bd甲，cd甲，共6种，则男生甲被选中的概率为.18.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上． （1）求AD边所在直线的方程；（2）求对角线AC所在直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据直线垂直的关系求出直线斜率即可求AD边所在直线的方程；（2）求出交点A的坐标即可求对角线AC所在直线的方程【小问1详解】解法一：因为AB边所在直线的方程为，所以．又因为矩形ABCD中，，所以．所以由点斜式可得AD边所在直线的方程为：，即；解法二：因为矩形ABCD中，，所以设AD边所在直线的方程为：．又因为直线AD过点，所以将点代入上式得，解得．所以AD边所在直线的方程为：；【小问2详解】由，解得，即，所以对角线AC所在直线的方程：，即．19.甲、乙、丙三个学校进行篮球比赛，各出一个代表队，简称甲队、乙队、丙队．约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个队，另一队轮空；每场比赛的胜队与轮空队进行下一场比赛，负队下一场轮空，直至有一队被淘汰；当一队被淘汰后，剩余的两队继续比赛，直至其中一队被淘汰，另一队最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙两队首先比赛，丙队轮空．设甲队与乙队每场比赛，甲 队获胜概率为0.5，甲队与丙队每场比赛，甲队获胜概率为0.6，乙队与丙队每场比赛，乙队获胜概率为0.4．记事件A为甲队输，事件B为乙队输，事件C为丙队输，（1）写出用A，B，C表示“乙队连胜四场”的事件，并求其概率；（2）写出用A，B，C表示“比赛四场结束”的事件，并求其概率；（3）求“需要进行第五场比赛”的概率．【答案】（1）事件为ACAC，概率为；（2）事件分别为BCBC，ACAC，ABAB和BABA，概率为；（3）【解析】【分析】（1）根据给定条件，写出所求事件，再利用相互独立事件的概率公式计算作答.（2）比赛四场结束的事件是三个互斥事件的和，写出该事件，再利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求解作答.（3）由（2），利用对立事件求出概率作答.【小问1详解】依题意，，“乙队连胜四场”的事件为ACAC，所以.【小问2详解】“比赛四场结束”共有三种情况，分别是：“甲队连胜四场”为事件BCBC；“乙队连胜四场”为事件ACAC；“丙队上场后连胜三场”为事件ABAB和事件BABA，所以，“比赛四场结束”的概率为．【小问3详解】根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，所以，需要进行第五场比赛的概率为.20.已知圆C的圆心在直线上，并且与x轴的交点分别为.（1）求圆C的方程；（2）若直线l过原点且垂直于直线，直线l交圆C于M，N，求的面积. 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由条件有圆心在线段的中垂线上，又圆心在直线，两方程联立可求出圆心坐标，从而求出圆的方程.(2)根据条件直线l的方程为：，先求出圆心到直线l的距离，再由垂径定理求出弦长，则三角形面积可求.【详解】（1）线段的中垂线方程为：，圆与x轴的交点分别为，则圆心在线段的中垂线上.由，得，∴圆心C为，又半径，∴圆C的方程为.（2）直线l垂直于直线，则又直线l过原点，则直线l的方程为：，所以点C到直线l的距离为：，，.【点睛】本题考查利用圆的几何性质求圆的方程，考查圆中垂径的应用，属于中档题.21.如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直于圆O所在平面，G为△AOC的重心.（1）求证：平面平面PAC； （2）若，求二面角A-OP-G的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证明面面垂直，转化为证明线面垂直，即证明平面；（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面OPM的一个法向量和平面AOP的一个法向量，利用，即可求解.【小问1详解】证明：如图，延长OG交AC于点M.因为G为△AOC的重心，所以M为AC的中点.因为O为AB的中点，所以.因为AB是圆的直径，所以，所以.因为平面ABC，平面ABC，所以.又平面PAC，平面PAC，，所以平面PAC.即平面PAC又平面OPG，所以平面平面PAC.【小问2详解】以点C为原点，，，方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系C-xyz，则，，，，，， 则，，，平面OPG即为平面OPM，设平面OPM的一个法向量为，则令，得.且设平面AOP的一个法向量为，则令，得.且设所求二面角的平面角为，因为，因为所求二面角为锐角，所以二面角A-OP-G的余弦值为22.已知椭圆的左、右焦点分别为、，其离心率为.椭圆的左、右顶点分别为，，且.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于，（不与顶点重合），过右顶点分别作直线，与直线相交于，两点，以为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1） （2）过定点；，【解析】【分析】（1）由题意可得，，从而可求出，再由可求出，进而可求得椭圆的方程，（2）设直线的方程为，代入椭圆的方程化简整理再由根与系数的关系可得，，再由直线，可求得，，则可得以为直径的圆的方程，结合前面的式子化简可得，从而可求得圆过的定点【小问1详解】由离心率.且左右顶点间距离为，所以，，，∴椭圆的标准方程为.【小问2详解】由（1）知，，由题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入椭圆的方程，整理得.设，，则，②由直线，令，得，同理，∴以为直径的圆的方程为， 即，③由②得，代入③得圆的方程为.若圆过定点，则解得或