江苏省常州市联盟学校2023-2024学年高一上学期12月学情调研数学试题（Word版附解析）

常州市联盟学校2023—2024学年度第一学期学情调研高一年级数学试卷2023.12本试卷共22题满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，，则（）A.B.C.D.2.已知角，那么的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.“”是“”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（）A.B.C.2D.5.华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（） AB.C.D.6.若，则（    ）A.B.C.D.7.已知幂函数在上单调递减，设，，则大小关系为（）A.B.C.D.8.若是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（）A.在上单调递增B.C.当时，解集为D.当时，二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设正实数a，b满足，则（）A.有最小值4B.有最小值C.有最大值D.10.下列正确的是（）A.为锐角，B.为锐角， C.若，则D若，且，则11.下列说法正确的是（     ）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.当时，不等式恒成立，则的取值范围是C.函数在区间单调递增D.若函数的值域为，则实数的取值范围是12.在平面直角坐标系xOy中，角以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（）A.B.C.若，则D.若，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.命题“，”的否定是______.14.已知函数，则的值为______.15.牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位：），环境温度是（单位：），其中、则经过t分钟后物体的温度将满足（且）．现有一杯的热红茶置于的房间里，若经过3分钟后物体的温度为，则经过6分钟后物体的温度为_________.16.若函数，对恒成立，则实数的取值范围为 _________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，以x轴非负半轴为始边作角，它的终边与单位圆O相交于点P，已知点P的横坐标为．（1）求的值；（2）求的值．18.（1）已知，，求的值；（2）若锐角满足，求的值.19.设函数（且）的图像经过点，记．（1）求A；（2）当时，求函数的最值．20.已知二次函数满足，函数，且不等式的解集为．（1）求，的解析式；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．21.已知函数是定义在上奇函数，当时，， （1）当时，求函数的解析式；（2）求不等式的解集．22.定义在D上函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.（1）判断函数是否是上的有界函数并说明理由；（2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围；（3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由． 常州市联盟学校2023—2024学年度第一学期学情调研高一年级数学试卷2023.12本试卷共22题满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析】解对数不等式得到，从而求出交集.【详解】，故.故选：B2.已知角，那么的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据求出答案.【详解】，其中，故的终边在第三象限.故选：C3.“”是“”的（）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 【分析】根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可。【详解】可得或所以“”是“”的必要而不充分条件。故选：B【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题。4.已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（）A.B.C.2D.【答案】B【解析】【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案.【详解】设扇形半径为，圆心角为，则，解得.故选：B5.华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，求得，结合指数函数的图象与性质以及图象变换，即可求解.【详解】由题意，根据函数的图象，可得，根据指数函数的图象与性质，结合图象变换向下移动个单位，可得函数的图象只有选项C符合.故选：C.6.若，则（    ）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用整体代换法与诱导公式化简求值即可.【详解】依题，令，则，，所以.故选：A7.已知幂函数在上单调递减，设，，则大小关系为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】根据幂函数的定义得到，求出或0，根据单调性得到，根据指数函数和对数函数单调性得到，，，故，从而根据函数奇偶性和单调性得到答案.【详解】令，解得或0，当时，，此时在上单调递减，满足要求，当时，，此时在上单调递增，不合要求，故，定义域为，且，故为偶函数，，，，，其中，由于，故，即.故选：C8.若是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则（）A.在上单调递增B.C.当时，的解集为D.当时，【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性得出函数的周期，即可得出函数在一个周期内的图象，从而结合函数的性质逐个判断.【详解】由是定义在上的奇函数得， 由是偶函数得，即关于对称，结合是奇函数可得关于对称，∴，∴，∴函数的周期为8.当时，，则在（1个周期）的图象如图所示.对A，由图易得，在上单调递减，A错；对B，由函数的奇偶性、对称性和周期性可得，B错；对C，由图以及函数关于对称可知，满足，故C错误.对D，当时，，因为函数关于对称，所以，D对.故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.设正实数a，b满足，则（）A.有最小值4B.有最小值C.有最大值D.【答案】ACD【解析】【分析】A选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；B选项，使用基本不等式求出最大值为；C 选项，平方后结合B选项求出答案；D选项，代入，从而得到.【详解】A选项，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；B选项，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，故，即最大值为，B错误；C选项，，由B选项得，，故，故，当且仅当时，等号成立，有最大值，C正确；D选项，因为，所以，其中，故，当时，等号成立，故，D正确.故选：ACD10.下列正确的是（）A.为锐角，B.为锐角，C.若，则D.若，且，则【答案】ABD【解析】 【分析】结合角的象限可判断AB，应用指对幂的运算公式可判断CD.【详解】对A，为锐角，则在第一象限，则，A正确；对B，若，则在第一象限，则，B正确；对C，，C错误；对D，，则，同理，则，解得，D正确故选：ABD11.下列说法正确的是（     ）A.若函数的定义域为，则函数的定义域为B.当时，不等式恒成立，则的取值范围是C.函数在区间单调递增D.若函数的值域为，则实数的取值范围是【答案】AD【解析】【分析】A选项，解指数不等式得到定义域；B选项，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案；C选项，先求出定义域，再根据复合函数单调性满足同增异减进行求解；D选项，转化为能够取到所有正数，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式组，求出答案.【详解】A选项，令，解得，故函数的定义域为，A正确；B选项，当时，恒成立，满足要求，当时，需满足，解得，综上，的取值范围是，B错误； C选项，令，解得，由于在上单调递减，故的单调递减区间即为所求，其中对称轴为，开口向下，故在区间上单调递增，C错误；D选项，若函数的值域为，则能够取到所有正数，当时，能够取到所有正数，满足要求，当时，需满足，解得，综上，实数的取值范围是，D正确.故选：AD12.在平面直角坐标系xOy中，角以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（）A.B.C.若，则D.若，则【答案】BC【解析】【分析】根据角的定义和坐标关系分别求值.【详解】A项，角终边经过点，则角终边经过点，所以，所以A项错误； B项，因为，，所以，因为，，所以，所以，所以B项正确；C项，因为，由三角函数定义可知，，所以，由解得，，所以，所以C项正确；D项，因为，所以，由解得，，所以，所以，所以D项错误.故选：BC.【点睛】关键点睛：本题的关键是理解题意，化简得，，再结合同角三角函数关系分析即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.命题“，”的否定是______.【答案】，【解析】【分析】根据全称命题的否定求解.【详解】命题“，”的否定是：，.故答案为：，14.已知函数，则的值为______. 【答案】【解析】【分析】计算得出，结合函数解析式可得出，即可得解.【详解】因为，所以，，所以，.故答案为：.15.牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位：），环境温度是（单位：），其中、则经过t分钟后物体的温度将满足（且）．现有一杯的热红茶置于的房间里，若经过3分钟后物体的温度为，则经过6分钟后物体的温度为_________.【答案】【解析】【分析】由题知，首先求出k的值，再将代入，结合指、对数运算性质求解即可.【详解】由题知，3分钟后物体的温度是，即，则，得，所以，所以，将代入可得，故答案为：.16.若函数，对恒成立，则实数的取值范围为_________．【答案】. 【解析】【分析】结合奇偶性与单调性，应用换元法转化为二次函数恒成立问题求解.【详解】的定义域为，关于原点对称；又因为，所以是上的偶函数；因为，设，则，因为，所以，所以，则函数在单调递增，又其为偶函数，得在单调递减，则对恒成立，即，即，即，即,令，则不等式组化为，即与都要在上恒成立，则，解得.实数的取值范围为.故答案为：【点睛】抽象函数不等式问题一般情况要结合奇偶性与单调性求解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，以x轴非负半轴为始边作角，它的终边与单位圆O相交于点P，已知点P 的横坐标为．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义及同角三角函数基本关系计算即可；（2）利用诱导公式化简，然后转化为用表示，代入的值计算即可.【小问1详解】点P的横坐标为，，又，，；【小问2详解】 .18.（1）已知，，求的值；（2）若锐角满足，求的值.【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）根据指数运算法则得到，两边平方得，再求出，结合诱导公式求出答案；（2）根据对数运算法则求出，进而变形为齐次式，化弦为切，代入求值.详解】（1）∵，，，∴，解得，，，，，，；（2），，，故 .19.设函数（且）的图像经过点，记．（1）求A；（2）当时，求函数的最值．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由题意可解得，然后根据对数函数的单调性求解不等式，即可得到结果；（2）根据题意，由换元法，令，，然后根据二次函数的性质即可求得最值.【小问1详解】由函数（且）的图像经过点可得，解得，故，且定义域为{x|x>0}，由可得，所以，即，由，解得，故．【小问2详解】，，令，，函数等价转换为，对称轴为．所以在单调递减，在单调递增，故． 又，，所以．20.已知二次函数满足，函数，且不等式的解集为．（1）求，的解析式；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）设，根据求出，然后根据条件列出方程组，进而求出的值，求出解析式.（2）由（1）中，通过换元，将不等式对恒成立，转化为对时恒成立，然后利用基本不等式求出结果即可.【小问1详解】设二次函数，由得，由得，不等式得，由题意，是方程的两根， 则，解得，所以，综上，，.【小问2详解】由（1），因为，令，则对恒成立，故对时恒成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，此时，所以，即实数的取值范围为.21.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，（1）当时，求函数的解析式；（2）求不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数求出，且，进而求出时的函数解析式； （2）先得到在上单调递增，结合函数的奇偶性，得到不等式，求出答案.【小问1详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，，当时，则，由时，函数，所以，即，所以当时，；【小问2详解】不等式，由函数为奇函数，化为：，即，当时，在上单调递增，故在上单调递增，且，由函数为奇函数，所以在上单调递增，且，又∵，∴在上单调递增，故有，解得，综上所述：不等式的解集为.22.定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有 成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界.（1）判断函数是否是上的有界函数并说明理由；（2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围；（3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出取值范围，若不存在请说明理由．【答案】（1）是上的有界函数；理由见解析（2）（3）存在，答案见解析【解析】【分析】（1）考虑和两种情况，结合对勾函数性质得到函数值域，进而得到，存在，使得，证明出是上的有界函数；（2）由题意可知在上恒成立，变形得到，换元后根据函数单调性得到答案；（3）分离常数，得到函数单调性，故，分和两种情况，得到答案.【小问1详解】是上的有界函数，理由如下：当时，，当时，，由对勾函数性质得或，或，或， ∴的值域为，，∴存在，使得，所以是上的有界函数；【小问2详解】由题意可知在上恒成立，，，即，∴在上恒成立，∴．设，，，由，得．∵在上单调递减，在上是单调递增，∴在上，，．所以，实数a的取值范围是.【小问3详解】，∵，，∴在上递增，根据复合函数的单调性可得在上递减，∴，∴h(x)存在上界. ①若，两边平方整理得，即时，；此时，即，②若，两边平方整理得，即时，；此时，即，综上，当时，；当时，.【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念和性质.