河南省洛阳市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（Word版附解析）

洛阳市2022－2023学年高一质量检测数学试卷本试卷共4页，共150分.考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2．考试结束，将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，点对应的复数的模等于（）A.5B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】根据复数模的计算公式求出即可.【详解】因为，所以对应复数为，其模为.故选：B.2.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先化简集合B，再利用集合的交集运算求解.【详解】解：由，得，则，所以，又集合，所以故选：D 3.（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角正弦公式计算求解即可.【详解】由二倍角正弦公式可得，故选：A4.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】C【解析】【分析】根据空间线面位置关系依次判断各选项即可得答案.【详解】对于选项A，若，，，，由面面平行判定定理知，得不出，故选项A错误；对于选项B，若，则直线与平面，可平行、相交或在平面内，故选项B错误；对于选项C，因为，所以直线的方向向量互相垂直，又，则，故选项C正确；对于选项D，若，，，则或异面，故选项D错误.故选：C.5.从A班随机抽一名学生是女生的概率是，从B班随机抽一名学生是女生的概率是，现从两个班各随机抽一名学生，那么两名学生不全是女生的概率是（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分从A班选一名女生从B班选一名男生，从A班选一名男生从B班选一名女生和从A班选一名男生从B班选一名男生求解.【详解】解：从A班选一名女生从B班选一名男生的概率为：；从A班选一名男生从B班选一名女生的概率为：；从A班选一名男生从B班选一名男生的概率为：，所以两名学生不全是女生的概率是，故选：A6.已知是偶函数，则a=（）A.2B.1C.－1D.－2【答案】A【解析】【分析】由偶函数的定义可得.【详解】根据偶函数的定义：即，得，即，可得，即，故选：A7.如图，二面角为，点，在棱l上的射影分别是，，若，则AB长度为（） A.2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的数量积的运算律可得.【详解】由题意：，，，的夹角为，所以，,，，所以故选：D8.已知单位圆O是△ABC的外接圆，若，则的最大值为（）A.B.C.1D.【答案】C【解析】【分析】利用圆的性质，得到，将转换为，进而找到最大值.【详解】如图所示： 因为单位圆O是△ABC的外接圆，，所以，且，，故当共线反向时，取到最大值1，故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.某厂7月生产A型、B型产品共900件，其中A型400件．按型号进行分层，用分层随机抽样的方法，从7月产品中抽取一个容量为45的样本，如果样本按比例分配，下列说法中正确的有（）A.应抽取的A型产品件数为20B.应抽取的B型产品件数为25C.应抽取的A型产品件数为25D.应抽取的B型产品件数为20【答案】AB【解析】【分析】利用分层抽样的方法求解.【详解】解：应抽取的A型产品件数为，应抽取的B型产品件数为，故选：AB10.已知函数，下列说法正确的是（）A.的图象的一条对称轴为直线B.在上单调递增 C.的图象可由函数图象向右平移个单位得到D.函数是奇函数【答案】AC【解析】【分析】验证是否等于可判断A；根据正弦函数的单调性判断B；根据三角函数的图象变换及诱导公式判断C；根据诱导公式及函数的奇偶性判断D.【详解】对于A，,所以的图象的一条对称轴为直线，故A正确；对于B，时，，因为，所以在上不单调，故B错误；对于C，函数图象向右平移个单位得到,所以的图象可由函数图象向右平移个单位得到，故C正确；对于D，，为偶函数，故D错误.故选:AC.11.在棱长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，则下列结论正确的是（）A.∥平面B.平面截正方体所得截面为等腰梯形C.D.异面直线MN与所成角的正弦值为 【答案】ABD【解析】【分析】对于A，连接，则由三角形中位线定理结合正方体的性质可得∥，然后利用线面平行的判定可得结论；对于B，连接，可得四边形为等腰梯形，对于C，由∥，则与所成的角为，连接后分析判断，对于D，异面直线MN与所成角为，然后在中求解即可.【详解】对于A，连接，因为M，N分别是，的中点，所以∥，因为在正方体中，∥，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，所以A正确，对于B，连接，由选项A，知∥，所以平面截正方体所得截面为平面，因为M，N分别是，的中点，所以，因为，所以，因为，所以≌，所以，因为∥，，所以四边形为等腰梯形，所以B正确，对于C，连接，因为∥，所以与所成的角为，因在正方体中，，所以为正三角形，所以，所以与不垂直，所以C错误，对于D，因为∥，所以异面直线MN与所成角为，因为平面，平面，所以在中，，则，所以，所以D正确，故选：ABD 12.设函数的定义域为R，且满足，，当时，．则下列说法正确的是（）A.B.为偶函数C.当时，的取值范围为D.函数与图象仅有个不同的交点【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件，确定函数的对称性、周期性，判断A，B，C；作出函数、的部分图象判断D作答.【详解】依题意，当时，，当时，，函数的定义域为，由，可知的图象关于对称，由，则，的图象关于对称，又，因此有，即，于是有，从而得函数的周期，又，令可得，所以，对于A，，故A不正确；对于B， ，所以函数为偶函数，B正确；对于C，当时，，有，则，当时，，，，所以，所以当时，的取值范围为，C正确；对于D，在同一坐标平面内作出函数、的部分图象，如图：方程的实根，即是函数与的图象交点的横坐标，观察图象知，函数与的图象有个交点，因此方程仅有个不同实数解，D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数的图象，观察与轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.______．【答案】5【解析】【分析】利用分数指幂的运算性质求解即可【详解】 ，故答案为：514.从1，2，3，4，5，6中任取两个不同的数，则这两个数的积为奇数的概率为______．【答案】##0.2【解析】【分析】将所有可能结果和符合题意结果一一列出，根据古典概率公式即可求出结果.【详解】设取的两个数为，则所有可能结果为：，，共15种情况，这两个数的积为奇数有：，共3种情况，则这两个数的积为奇数的概率为，故答案为：.15.已知实数M，N满足，则的最小值是______．【答案】4【解析】【分析】由已知可得，再解一元二次不等式可得答案.【详解】因为实数a，b满足，所以，且，即，可得，当且仅当取得最小值.故答案为：.16.如图，在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为__________. 【答案】【解析】【分析】根据三棱锥外接球的表面积为可得：外接球半径，设外接圆半径为，根据外接球和三棱锥的位置关系可得：，由，代入可得，由正弦定理即得：，再利用余弦定理结合基本不等式即可得解.【详解】如图所示：设三棱锥的外接球球心为，半径为，外接圆半径为，圆心为M，连接，AO，AM，则，解得，在，，故：，故，又，， ，，当且仅当时取等号，三棱锥的体积.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，同时考查了利用正、余弦定理解三角形，还考查了利用基本不等式求最值，考查了空间想象及计算能力，属于难题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤．17.已知复数，且为纯虚数．（1）求b；（2）设复数满足，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）将代入化简，再由其为纯虚数可求出；（2）由求出，再由复数对应的点在第二象限，列不等式组可求出实数a的取值范围．【小问1详解】，∵是纯虚数，∴∴．【小问2详解】复数，∵复数所对应的点在第二象限， ∴解得：．∴实数a的取值范围为．18.已知向量，，满足：．（1）若，求向量在向量方向上的投影向量；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据投影向量的计算公式求解即可；（2）根据及二次函数的性质求解即可.【小问1详解】向量在向量方向上的投影向量为.小问2详解】,当时，，即.19.在中，角、、的对边分别为、、．已知．（1）求；（2）若角的平分线与交于点，且，，求的面积．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）利用余弦定理化简可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）由结合三角形的面积公式可得出关于的等式，解出的值，再结合三角形的面积公式可求得的面积.【小问1详解】解：因为，所以，，整理可得，即，因为，则，由余弦定理可得，因为，故.【小问2详解】解：由，即，即，解得，所以，的面积为.20.某单位组织一场党史知识竞赛活动，随机抽取100名员工的成绩作为样本进行统计，得到如图所示频率分布表：分组频率0.050.150.250.30.2 0.05（1）求样本成绩的第80百分位数；（2）试利用表格中数据估算这次党史知识竞赛的平均成绩；（3）已知样本中成绩落在区间内的员工男女比例为，现从该样本中分数在的员工中随机抽出2人，求至少有1人是女员工的概率．【答案】（1）82.5（2）71分（3）【解析】【分析】（1）先计算样本中成绩的第80百分位数在哪一组，进而求解即可；（2）根据平均数的公式估计即可求解；（3）先计算这次党史竞赛成绩落在区间内的员工人数，进而随机抽出2人，列举样本空间，进而利用古典概型的概率公式求解即可.【小问1详解】样本中成绩在的频率为，样本中成绩在的频率为，所以样本中成绩的第80百分位数在，所以样本中成绩的第80百分位数为：.【小问2详解】样本平均值为：（分），估计这次党史知识竞赛的平均成绩为71分．【小问3详解】这次党史竞赛成绩落在区间内的员工有名，男员工3人，女员工2人，记“至少有一个女员工被选中”为事件A，记这5人为1，2，3，4，5号，其中女员工为1，2号，则样本空间：， 其中，所以至少有1人是女员工的概率为.21.如图，在三棱柱中，，，．（1）证明：；（2）求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）取BC中点为N，利用线面垂直的判断定理可得平面，性质定理可得，再由可得答案；（2）利用可得，BC⊥平面得，由线面垂直的判断定理可得平面，得为与平面所成的角，在直角中计算可得答案．【小问1详解】取BC中点为N，连接，∵，∴，又∵，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴，又∵，∴；【小问2详解】 ∵，∴，∴，∴，由（1）BC⊥平面，平面，所以，∵，平面，∴平面，∴为在平面内的射影，∴为与平面所成的角，在直角中，，∴，即与平面所成角的正弦值为．22.已知函数有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（2）设，是g（x）的两个零点，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由可得，然后令，则，再分或，和讨论即可；（2）函数g（x）有两个零点，，令，则转化为，为方程 的两根，然后根据根与系数的关系结合三角函数的性质可得，再利用余弦函数的单调性可证得结论.【小问1详解】解：．由可得，令，由可得，故．当或，即或时，无解，所以g（x）不存在零点；当，即时，有一解，此时x仅有一解，所以g（x）只存在一个零点；当，即时，有两解，此时在各有一解，故g（x）有两个零点．综上，实数a的取值范围为．【小问2详解】证明：函数g（x）有两个零点，，令，则，为方程的两根，则，，所以，两边平方得，因为，所以，所以， 由可得，所以，则，因为在上单调递减，所以，即【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查余弦函数性质的应用，第（2）问解题的关键是通过换元将问题转化为二次方程有两个根，再利用根与系数的关系结余弦函数的性质可证得结论，考查数学思想和计算能力，属于难题.