四川省宜宾市兴文第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

兴文二中高2022级高二上期期中考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由共轭复数的定义得出，再根据复数的乘法运算即可求解.【详解】解：由题可知，.故选：D.2.已知直线：与直线：相互垂直，则实数m的值是（）A.0B.1C.-1D.【答案】A【解析】【分析】根据直线：与直线：相互垂直，列出方程，从而可得答案.【详解】解：因为直线：与直线：相互垂直，所以，解得.故答案为：A.3.已知直线l经过点，且与直线的倾斜角互补，则直线l的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意求出直线l的斜率，然后利用斜截式即可写出直线的方程，进而转化为一般式方程即可.【详解】因为与直线的倾斜角互补，而直线的斜率为， 所以直线l的斜率为，则直线l的方程为，即．故选：A4.在四面体中，，且，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求出结果.【详解】，故选：C.5.“幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取10位某小区居民，他们的幸福感指数分别为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的第75百分位数是（）A.7.5B.8C.8.5D.9【答案】B【解析】【分析】根据百分位数的计算公式即可得出结果.【详解】该组数据从小到大的排序是:3，4，5，5，6，6，7，8，9，10且，故第75百分位数为从小到大排列的第8项数据为8.故选:B 6.若过椭圆的上顶点与左顶点的直线方程为，则椭圆的标准方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出、的值，进而可得出椭圆的标准方程.【详解】在直线方程中，令，得，得到椭圆的上顶点坐标为，所以，令，得，得到椭圆的左顶点坐标为，所以，所以椭圆的标准方程为，故选：C.7.已知圆与圆，则两圆位置关系是（）A.外切B.内切C.相交D.相离【答案】A【解析】【分析】求得两圆的圆心和半径，再根据圆心距与半径之和半径之差的关系，即可判断位置关系.【详解】对圆，其圆心，半径；对圆，其圆心，半径；又，故两圆外切.故选：A.8.若直线被圆所截得的弦长为,则实数的值为（）A.或B.或C.或D.或【答案】A【解析】【分析】利用垂径定理，结合点到线的距离公式求解. 【详解】由圆可知，圆心，半径为：，若直线被圆所截得的弦长为，则由垂径定理可知圆心到直线的距离：，故，解得或.故选：A.【点睛】本题考查直线与圆相交时弦长的求解，考查点到线距离公式的应用，属于基础题.二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法中，正确的有（）A.直线在y轴上的截距是2B.直线经过第一、二、三象限C.过点，且倾斜角为90°的直线方程为D.过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为【答案】BC【解析】【分析】根据直线相关概念一一对答案进行核对即可。【详解】对于A:令时，，故在y轴上的截距是2，A错.对于B:直线的斜率为2，在轴上的截距分别为，故直线经过第一、二、三象限，B对.对于C:过点，倾斜角为90°的直线方程为，故C对.对于D:当直线的截距不为0时，设直线的方程为：，把点代人直线得，所以直线方程为：，当截距为0时，设直线方程为：，把点代人直线得，直线方程为：，故D错.故选：BC10.抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“至少一枚点数为1”，“两枚骰子点数一奇一偶”，“两枚骰子点数之和为8”，“两枚骰子点数之和为偶数”判断下列结论，正确的有（）A.B.B，D为对立事件C.A，C为互斥事件D.A，D相互独立 【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，写出各事件包含的基本事件，再根据对立事件，互斥事件，相互独立事件的概念讨论求解即可.【详解】根据题意，用数对表示抛掷两枚质地均匀的骰子的结果，共包含36个基本事件.事件包含的基本事件有，事件包含的基本事件有，，，事件包含的基本事件有，事件包含的基本事件有，，，由于事件中的元素均在事件中，则，故A正确；事件与事件互斥，且并集为必然事件，故B，D为对立事件，故B正确；事件与事件是不可能同时发生，故A，C为互斥事件，故C正确；由题知，，事件包含的基本事件有，，显然，故D错误.故选：ABC.11.已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上一动点，则下列说法正确的是（）A.的周长为6B.的最大面积为C.存在点使得D.的最大值为7【答案】BD 【解析】【分析】对于A，利用椭圆的定义可得的周长为，由此判断即可；对于B，根据椭圆的几何性质，当为椭圆短轴顶点时，可得的面积最大，从而得以判断；对于C，由可得点的轨迹，结合椭圆的几何性质即可判断得点的轨迹与椭圆没有交点，由此得以判断；对于D，利用椭圆的定义，结合三角形边长的不等式可得，从而得以判断.【详解】对于A，因为椭圆，所以，则，所以的周长为，故A错误；对于B，当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大，所以，故B正确；对于C，假设存在点使得，则，所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则，因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即，由可知，圆与椭圆没有交点，所以假设不成立，即不存在点P使得，故C错误；对于D，由选项A易得，又，所以，所以，故D正确.故选：BD. .12.如图，已知正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点，点在上，平面，则以下说法正确的是（）A.点为的中点B.三棱锥的体积为C.直线与平面所成的角的正弦值为D.过点、、作正方体的截面，所得截面的面积是【答案】ABC【解析】【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面EFG的法向量，由列出方程，求出，得到点为的中点；B选项，求出点到平面EFG的距离，利用余弦定理及三角形面积公式得到，得到三棱锥的体积；C选项，利用空间向量求解线面角的大小； D选项，作出辅助线得到过点、、作正方体的截面为正六边形，得到其面积即可.【详解】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，设平面EFG的法向量为，则，令，则，故，A选项，设，则，因为平面，所以，即，解得：，故，故，，所以，则点为的中点，A正确；设点到平面EFG的距离为d，则， 又，，，即，由余弦定理得：，故，则，由三角形面积公式可得：，故三棱锥的体积为，B正确；，设直线与平面所成的角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为，C正确；取的中点，的中点，的中点，连接，则过点、、作正方体的截面，截面为正六边形，边长为，正六边形的面积为则截面面积为，D错误. 故选：ABC第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为______．【答案】【解析】【分析】根据点关于坐标平面对称的特征求解作答.【详解】点关于平面的对称点的坐标为.故答案为：14.若方程表示圆，则的取值范围为________.【答案】或【解析】【分析】由圆的一般方程写出标准方程，从而求得参数取值范围.【详解】由圆的一般方程写出标准方程，，即由，可得或.故答案为：或15.若方程所表示的曲线为椭圆，则实数t的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据方程表示椭圆列不等式组，由此求得的取值范围.【详解】表示椭圆， 所以.故答案为：16.已知点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】先把圆上存在点使得，转化为圆与圆相交，利用，解不等式即可.【详解】因为直径所对的圆周角为90°，而，所以以AB为直径的圆与圆存在公共点，故两圆相交或相切，所以解得.故答案为：【点睛】圆C1和圆C2的半径分别为R和r，圆心距为d，圆与圆的位置关系由5种：（1）相离；（2）相外切；（3）相交；（4）相内切；（5）相内含；四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.分别根据下列条件求椭圆标准方程：（1）一个焦点为（2）与椭圆有相同的焦点，且经过点【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据已知可得a，c，然后由求出b，即可得椭圆方程；（2）根据已知椭圆方程可得焦点坐标，然后设所求椭圆方程为，代入已知点坐标，结合即可求解.【小问1详解】由题知，，椭圆焦点在x轴上，又，所以，所以，椭圆方程为.【小问2详解】椭圆的焦点为，设所求椭圆方程为，则有，解得，所以所求椭圆方程为.18.浙江某校为了了解学生的体育锻炼时间，采用简单随机抽样法抽取了100名学生，对其平均每日参加体育锻炼的时间（单位：分钟）进行调查，按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表：分组男生人数216181863女生人数3209221若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”. （1）若将频率视为概率，估计该校3500名学生中“锻炼达人”有多少？（2）从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取8人参加某项体育活动.①求男生和女生各抽取了多少人；②若从这8人中随机抽取2人作为组长候选人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.【答案】（1）（人）（2）①男生抽取6人，女生抽取2人；②【解析】【分析】（1）求出100名学生中的“锻炼达人”人数，可得3500名学生中“锻炼达人”的人数；（2）①因为100名学生“锻炼达人”按性别中的男女之比为，可得男生和女生各抽取的人数；②求出从8人中随机抽取2人的基本事件，根据古典概型求解即可.【小问1详解】由表可知，100名学生中“锻炼达人”的人数为12人，若将频率视为概率，该校3500名学生中“锻炼达人”的人数为（人）；【小问2详解】①由（1）知100名学生中的“锻炼达人”有12人，其中男生9人，女生3人.从12人中按性别分层抽取8人参加体育活动，则男生抽取6人，女生抽取2人.②抽取的8人中有6名男生和2名女生，6名男生依次编号为，2名女生依次编号为，则8人中随机抽取2人的所有结果为,,，，，，，，,,有28种结果，且每种结果发生的可能性相等.记“抽取的2人中男生和女生各1人”为事件，则事件包含的结果有12个，故.19.在中，边上的高所在的直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为. （1）求点的坐标;（2）求直线的方程;（3）求点的坐标.【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】（1）利用两直线的交点坐标求法直接求解；（2）根据两直线的垂直关系与斜率的关系结合点斜式求解；（3）利用直线的斜率公式求解即可.【小问1详解】直线和直线交点是，即点的坐标为.【小问2详解】因为直线为BC边上的高，由垂直关系得，所以直线的方程为，即.【小问3详解】因为角的平分线所在直线的方程为，，所以，设点的坐标为，则，，解得，即点C的坐标为.20.在平面直角坐标系中，的顶点分别为.（1）求外接圆的方程；（2）若直线经过点，且与圆相交所得的弦长为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】 【分析】（1）先设圆的方程为，根据圆过，，三点，列出方程组，即可求出结果；（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况，分别用代数法联立直线与圆的方程，结合弦长公式求解，即可得出结果.【详解】（1）设圆的方程为，因为圆过三点，所以有，解得，，∴外接圆的方程为，即.（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，联立，得或，此时弦长为，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由于圆心到该直线的距离为，故，解得，∴直线的方程为，即.综上可得，直线的方程为或.【点睛】本题主要考查求圆的方程，以及已知弦长求直线方程的问题，通常需要联立直线与圆的方程，结合弦长公式求解，属于常考题型.21.如图，矩形所在平面，，、分别是、的中点. （1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）通过证明面，可证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设由向量的夹角公式先求解线面角得，再利用面的法向量求解二面角即可.【详解】如图，取中点，连接，.（1）证明：∵，，为中点，∴，，∴是平行四边形，，又∵，，∴面，∴面面.∵，为中点，面，∴面，∵面，∴平面平面.（2）建立如图所示坐标系，，，，，，，. 由（1）知面，∴，.∵直线与平面所成角的正弦值为，∴由得.设为面的法向量，则，.由得，，∵面，，设二面角为，为锐角，则，∴.【点睛】本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题.22.已知是椭圆的顶点（如图），直线l与椭圆交于异于顶点的两点，且，若椭圆的离心率是，且，（1）求此椭圆的方程；（2）设直线和直线的斜率分别为，证明为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率及的关系求解即可；（2）求出直线方程与椭圆方程联立起来，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，然后证明即可.【小问1详解】由已知可得椭圆的离心率，，∴，∴椭圆方程为；【小问2详解】如图，由（1）可知：，，，且，所以直线的斜率，设直线的方程为，设，联立得：，，∴，则，又，，，， ∴，，为定值.