陕西省宝鸡市金台区2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

2023—2024学年度第一学期期中质量检测题高二数学（选择性必修第一册第一章、第二章、第三章第一节）2023.11注意事项：1.考试时间120分钟，满分150分。2.答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚。3.全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效。一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围是(  )A.B.C.D.且2.若直线和直线平行，则m的值为(  )A.1B.C.1或D.3.已知直线经过点和点，则直线AB的倾斜角为(  )A.B.C.D.4.在空间直角坐标系中，点关于平面xOz的对称点为B，则点的坐标为(  )A.B.C.D.5.如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为(  )A.线段B.直线C.椭圆D.圆6.若是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是(  )A.B.C.D. 7.圆与圆的公切线有(  )A.1条B.2条C.3条D.4条8.如图，已知正三棱柱的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是(  )A.B.C.D.0二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说中正确的是(  )A.是直线的一个方向向量B.直线与直线之间的距离是C.点到直线l：的距离为D.经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线条数共有2条10.已知直线l的方程是、不同时为），以下说法中正确的是(  )A.若在直线l上，则直线l的方程可写成B.若、均不为零，则直线l与x轴、y轴都相交C.若，,，则直线l与x轴平行D.若，，则直线l是y轴所在直线11.已知直线和圆，则以下判断中正确的是(  )A.直线l恒过定点B.圆心O到直线l的最大距离是C.直线l与圆O相交D.若，直线l被圆O截得的弦长为412.已知空间向量，，则下列结论正确的是(  )A.B.C.D.在上的投影向量为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若三条直线，，相交于同一点，则实数m的值为__________.14.已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的方程为__________.15.椭圆的焦点坐标是__________.16.椭圆的离心率为，则__________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.注意：每题有1分书写分，要求卷面整洁，书写规范，步骤条理清晰.17.（本小题满分10分）已知直线l：.（1）在给定的直角坐标系中，画出直线l；  （2）在直线l外取4个点，将这些点的坐标代入，求它们的值，观察有什么规律，把这个规律表示出来.18.（本小题满分12分）已知圆心为的圆经过、两点，且圆心在直线上，请你用两种解法求此圆的标准方程．19.（本小题满分12分） 如图，正四面体四个面都是正三角形的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足（1）用向量表示；（2）求20.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，，E是BC中点.（1）求点到平面的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值.21.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为椭圆与直线相交于A、B两点．（1）求椭圆的方程；  （2）求弦长22.（本小题满分12分）如图，在正方体中，E为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值． 2023—2024学年度第一学期期中质量检测题答案高二数学（选择性必修第一册第一章、第二章、第三章第一节）2023.11一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.来源：课本107页椭圆定义改。考查内容：本题考查椭圆的方程，是一道基础题．课标要求：掌握椭圆的定义、标准方程。【答案】D【解析】解：若方程为椭圆方程，则，解得：，且，故选D2.来源：课本61页例2改。考查内容：本题考查直线的一般式方程和平行关系．课标要求：能根据斜率判断两条直线平行.【答案】A 【解析】解：直线和直线平行，，解得或，当时，两直线重合，故舍去；当时，经检验符合题意.故选3.来源：课本54页例1、55页练习2改。考查内容：直线的倾斜角，斜率的计算.课标要求：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。【答案】D  【解析】解：设直线的倾斜角为，由题得直线的斜率为，因为，所以故选：4.来源：课本22页习题2改。考查内容：本题考查关于平面xOz对称的点的坐标。课标要求：了解空间直角坐标系，能用空间直角坐标系刻画点的位置。【答案】B【解析】由题意知，在空间直角坐标系中，点关于平面xOz的对称点为，故选B5.来源：课本115页复习巩固1题改.考查内容：本题考查了动点的轨迹方程，椭圆的标准方程，属于基础题课标要求：通过对椭圆的学习，掌握简单的曲线的轨迹的求法。【答案】C【解析】因为，所以与，的距离之和等于常数10，由椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，所以，则点P的轨迹为椭圆．故选C6.来源：课本15页习题2改考查内容：本题考查空间向量基底的判定，属于基础题．课标要求：了解空间向量基本定理及其意义。【答案】C 【解析】解：如图所示，不妨取，，，则，可知共面，不能作为基底，故A错误；，可知共面，不能作为基底，故B错误；，三向量不共面，可以作为基底，故C正确；，三向量共面，不可以作为基底，故D错误.故选： 7.来源：课本96页例5、98页练习1改内容：本题考查两个圆的位置关系以及圆的公切线问题．要求：能根据给定圆的方程判断圆与圆的位置关系。【答案】C 【解析】解：两个圆的标准方程分别为和，所以圆心分别是，，半径分别是2，3，两圆圆心的距离为，说明两圆外切，因而公切线有3条．故选8.来源：课本20页例3改。考查内容：本题考查利用空间向量求异面直线所成角的余弦值．课标要求：掌握利用空间向量，解决直线与直线的夹角问题。【答案】C 【解析】解：以AC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，故选二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.来源：课本67页习题7、102页复习1（1）改、79页习题6、7改考查内容：本题主要考查了平行线间的距离公式，考查了点到直线距离公式，以及直线的截距式方程。 课标要求：探索并掌握平面上点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式。【答案】ABD 【解析】解：对于A，，故A正确；对于B，直线可化为，直线与直线之间的距离是，故B正确；对于C，点到直线l：的距离，故C错误；对于D，①当直线过原点时，设直线方程为，代入点得，，解得，直线方程为，②当直线不过原点，且在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为，代入点得，，解得，直线方程为，即，故选：ABD10.来源：课本67页综合运用10题、11题改考查内容：考查直线方程的一般式。课标要求：探索并掌握直线方程的一般式。【答案】ABCD 【解析】解：对于A，若在直线l上，则，于是即，正确；对于B，若、均不为零，则直线l与x轴、y轴都相交，正确；对于C，若，,，则直线即与x轴平行，正确； 对于D，若，，则直线即，则直线l是y轴所在直线，正确；11.来源：课本91页例1、93页练习3、98习题1改考查内容：本题考查直线过定点问题，直线与圆的位置关系的判断，直线与圆的弦长．课标要求：根据给定的直线和圆的方程，判断直线和圆的位置关系。能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题。【答案】ABC 【解析】解：对于A、C，由，得，令，解得，所以直线l恒过定点，故A正确；因为直线l恒过定点，而，即点在圆内，所以直线l与圆O相交，故C正确；对于B，设直线l与圆O相交于两点，若弦AB的中点为定点，则，此时为点O到直线AB距离的最大值，，圆心O到直线l的最大距离为，故B正确；对于D，时，直线，所以圆心O到直线l的距离为，所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.故选：12.来源：课本19页公式、21页练习2改考查内容：本题考查空间向量平行、模、垂直和投影向量的概念．课标要求：掌握空间向量的概念及线性运算、掌握用向量方法刻画平行和垂直。【答案】BCD  【解析】解：由题意，得，，而，故A不正确;因为，，所以，故B正确;因为，故C正确;因为在上的投影向量为，故D正确故选三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.来源：课本79页习题9改。考查内容：本题考查两条直线的交点问题。课标要求：能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标。【答案】9 【解析】解:联立解得即为两条直线的交点坐标，把代入直线方程，得，即14.来源：课本67页复习巩固8题改。考查内容：本题考查直线方程的求解、两直线垂直的判定。课标要求：探索并掌握直线方程的的三种形式：点斜式、两点式、一般式。【答案】 【解析】解：因为直线l与直线垂直，所以直线l的斜率为，因为直线l经过点，所以则直线l的方程为，即.15.来源：课本112页练习2（1）改。考查内容：本题考查椭圆的几何性质．课标要求：掌握椭圆的定义及简单的几何性质。【答案】 【解析】解：椭圆,焦点在轴上，则焦点坐标是 16.来源：课本112页3、4（2）、115页习题4（3）改。考查内容：本题考查椭圆的几何性质、与椭圆离心率有关的参数问题．课标要求：掌握椭圆的定义及简单的几何性质。【答案】9或16 【解析】解：当椭圆焦点在 x轴上时，  ，解得  .当椭圆焦点在 y轴上时，  ，解得  .故答案为：9或16四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.注意：每题有1分书写分，要求卷面整洁，书写规范，步骤条理清晰.17.（本小题满分10分）来源：课本67页8、79页习题2改。考查内容：本题考查直线方程与点的位置关系．课标要求：掌握直线方程与点的位置关系.解：（1）画图给4分。（2）取4个点，把代入，得：，把代入，得：，把代入，得：，把代入，得：，………8分可得规律：直线l同旁的点的坐标使得的值同号，直线l上方点的坐标使得，直线l下方点的坐标使得.………10分18.（本小题满分12分）来源：课本84页例3改。 考查内容：本题考查圆的方程。课标要求：掌握圆的标准方程与一般方程。解法（一）解：根据题意，设圆心C的坐标为  ，因为圆心在直线上，所以.①………4分因为、是圆上两点，所以，………6分根据两点间距离公式，有，………8分即，②有①②可知………10分圆的半径是………11分所以，所求圆的标准方程是………12分解法（二）解：设线段的中点为.由、两点的坐标为、，可得的坐标为，直线的斜率为………4分因此，线段的垂直平分线的方程是  ，即………6分由垂径定理可知，圆心也在线段的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组的解，………8分解这个方程组，的，所以圆心C的坐标是………10分 圆的半径是………11分所以，所求圆的标准方程是………12分19.（本小题满分12分）来源：课本12页例1、13页例2改考查内容：本题考查空间向量的线性运算，空间向量的数量积运算．课标要求：理解空间向量基本定理、能在选定基底下进行向量的表示与计算。解：因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足，所以………2分………4分；………6分因为四面体OABC是正四面体，则，，………9分，………11分所以………12分20.（本小题满分12分）来源：课本34页例6、37页例8、49页11改考查内容：考查利用空间向量求点到面的距离和平面与平面的夹角问题的余弦值．课标要求：能用向量方法解决点到平面的距离、平面与平面的夹角问题。解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，， ，………2分设平面的法向量为，则，取，得，………4分点到平面的距离点到平面的距离为………6分（2）由（1）可得：，，所以………8分由（1）平面的一个法向量为，因为平面，取平面的法向量为，………10分所以，，平面与平面所成夹角的余弦值为 ………12分21.（本小题满分12分）来源：课本112页练习题4、114页练习2改。考查内容：本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查学生计算能力．课标要求：掌握椭圆的定义和标准方程及简单的几何性质，了解椭圆的简单应用。【答案】解：椭圆的离心率为，短轴长为4，………3分 解得，，………5分椭圆方程为；………6分联立………7分得，………8分设，，则，，………9分由弦长公式可得………10分 ………12分22.（本小题满分12分）来源：2023年北京市高考真题、同课本34页例6、49页14题型考查内容：本题考查空间中直线与平面平行的判定、直线与平面夹角的正弦值．课标要求：掌握用向量方法解决直线与平面平行、直线与平面的夹角问题。解：（1）由正方体的性质可知，中，且，四边形是平行四边形，，………4分又平面，平面，………5分平面………6分（2）解法一：以A为原点，AD、AB、分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，………7分 设正方体的棱长为a，则，，，，，，，………9分设平面的法向量为，则，即，令，则，，，………11分设直线与平面所成角为，则，，故直线与平面所成角的正弦值为………12分解法二：设正方体的棱长为2a，则，，，，………8分由余弦定理知，，，，………9分 设点到平面的距离为h，，，，………11分设直线与平面所成角为，则故直线与平面所成角的正弦值为 ………12分