湖北省荆州市 2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附答案）

湖北省荆州中学2023-2024学年第一学期期中考试试题高二数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.᧰࢟쬐ʕ�灰榤쬐ʕ�࢒()A.࢟䁢ʕB.榤䁢ʕC.࢟灰榤䁢ʕD.࢟灰࢟䁢ʕ2.已知集合࢒ሼሼ࢟쬐ݔ࢒൅榤ሼ࢟쬐ሼሼ࢒，ݔ，若，则m的取值范围为()A.࢟࢟쬐�B.࢟쬐䁥C.࢟쬐�D.࢟࢟쬐䁥3.如图，在三棱锥࢟中，平面ABC，，且࢒᧰，则在方向上的投影向量为()᧰쬐쬐᧰A.࢟B.࢟C.D.䁢᧰᧰䁢4.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件࢒“两枚骰子的点数之和为偶数”，事件࢒“恰有一枚骰子的点数为偶数”，则()A.��B.��C.A与B互为对立事件D.A与B互为互斥但不对立事件5.在中，࢒灰，࢒，cos࢒，则࢒() A.2B.C.D.3쬐᧰6.若쬐쬐灰�，ݔݔ쬐，�灰ݔݔ�，则点A到直线BC的距离为()쬐᧰ݔ᧰쬐ݔA.B.C.D.7.定义在R上的奇函数ሼ�在区间ݔ�䁢࢟ሼሼ式等不则，ݔ࢒�且，减递调单上�榤ݔ的解集为()A.࢟࢟쬐�ݔ灰�䁢ݔ�ݔ쬐࢟.B�榤ݔ灰�䁢ݔ榤�C.࢟࢟쬐�灰ݔ灰䁢�ݔ쬐࢟.D�榤ݔ�二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.8.已知实数x，y满足쬐ሼ࢟െ榤쬐࢒ݔ，则ሼ࢟�쬐榤െ쬐榤ሼ쬐榤െ쬐࢟䁢ሼ࢟䁢െ榤Ͷ的最小值为()A.灰ݔ榤灰᧰B.᧰灰᧰C.108D.1179.已知一组数据x，ሼ榤쬐，᧰ሼ࢟᧰，쬐ሼ榤灰，9的平均数为6，则()A.ሼ࢒᧰B.ሼ࢒쬐C.这组数据的第70百分位数为7D.这组数据的第70百分位数为′10.已知点灰䁢�，᧰쬐�，쬐࢟灰�，若直线l经过点C，且A，B到l的距离相等，则l的方程可能是()A.ሼ榤െ࢟灰࢒ݔ࢒쬐࢟ሼ.Dݔ࢒灰榤െ.Cݔ࢒᧰࢟െ࢟ሼ.Bݔ11.已知直线知᧰൅榤灰�ሼ࢟൅࢟᧰�െ࢟䁢࢒ݔ与圆知ሼ쬐榤െ쬐࢒灰相交于A，B两点，则的面积可能为()A.쬐᧰B.4C.䁢᧰D.812.苏州博物馆图一�是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层ܨܩ࢟ܪെ是正四棱柱，下层底面ABCD是边长为4的正方形，E，F，G，H在底面ABCD的投影分别为AD，AB，BC，CD的中点，若ܨ࢒，则下列结论正确的有() A.该几何体的表面积为᧰쬐榤Ͷ쬐榤䁢B.将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为᧰C.直线CP与平面ABF所成角的正弦值为᧰D.点M到平面BFG的距离为᧰三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.过点᧰ݔ�作圆知ሼ쬐榤െ࢟灰�쬐࢒灰的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为__________.14.若直线灰知ܽሼ榤䁢െ榤࢒ݔ࢒灰࢟െ᧰࢟ሼ쬐知쬐与ݔ垂直，则ܽ࢒__________.15.已知函数ሼ�࢒᧰sinሼ榤�榤sinሼ࢟�ݔ在灰࢟�ሼ࢒�ሼ数函若，�ݔ�上恰有两个零᧰点，则的取值范围为__________.16.如图，在正方体࢟灰灰灰灰中，࢒쬐，N为灰的中点，记平面CMN与平面灰灰的交线为l，则直线l与直线灰所成角的余弦值为__________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线灰知ሼ榤ܽെ࢟ܽ榤쬐࢒ݔ࢒࢟ܽ榤െ�᧰榤ܽ榤ሼܽ쬐知쬐与ݔ′灰�当ܽ࢒灰时，求直线灰与쬐的交点坐标;쬐�若灰쬐，求a的值.18.如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系.灰�求该圆弧所在圆的方程;쬐�若某种汽车的宽约为쬐′米，高约为灰′米，车辆行驶时两车的间距要求不小于ݔ′米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车?将汽车看作长方体� 19.甲、乙准备进行一局羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，则᧰灰本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第䁢䁢1回合由甲发球.灰�求第3回合由乙发球的概率;쬐�求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率.20.如图，在正四棱锥࢟中，E，F分别为PA，PC的中点，࢒쬐′灰�证明：B，E，G，F四点共面.灰쬐�记四棱锥࢟ܨ的体积为灰，四棱锥࢟的体积为쬐，求的值.쬐21.已知O为坐标原点，ݔ࢒且，点动一内面平是P，�䁢ݔ，记动点P的轨迹为′灰�求C的方程.쬐�已知不经过原点且斜率存在的直线l与C相交于M，N两点，且ܪ࢒࢟᧰，试问l是否经过定点?若经过，求出该定点坐标;若不经过，说明理由. 22.如图，在斜三棱柱࢟灰灰灰中，是边长为2的等边三角形，M，Q分别为AC，灰灰的中点，且െ′灰�证明：灰′쬐�若灰࢒䁢，െ࢒灰，求平面灰灰与平面灰െ夹角的余弦值. 湖北省荆州中学2023-2024学年第一学期期中考试试题高二数学参考答案1.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养，属于基础题.【解答】解：᧰࢟쬐ʕ�灰榤쬐ʕ�࢒᧰榤ʕ࢟쬐ʕ࢟䁢ʕ쬐࢒榤䁢ʕ′故选′2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的分布的问题、含参数的交集运算问题，属基础题.【解答】解：因为࢒ሼሼ쬐，，所以，쬐灰灰则当࢒࢟灰�࢟䁢൅࢒ݔ，即൅࢒时，࢒，则࢒，不合题意；䁢쬐쬐灰쬐当࢒࢟灰�࢟䁢൅ݔ࢒൅榤ሼ࢟ሼ程方，时൅即，ݔ有两个不等实根，䁢쬐灰又二次函数െ࢒ሼ࢟ሼ榤൅的对称轴为ሼ࢒쬐，쬐则要使，只要쬐쬐࢟쬐榤൅ݔ，解得൅࢟쬐′综上可知，m的取值范围为࢟࢟쬐�′3.【答案】D【解析】【分析】本题考查空间向量的投影向量，考查直观想象的核心素养.属于基础题.【解答】解：由题灰࢒࢟�࢒࢟࢟�，䁢灰灰쬐쬐᧰쬐࢒࢟࢟榤࢒，䁢䁢䁢᧰在方向上的投影向量为쬐࢒䁢′4.【答案】C 【解析】【分析】本题考查随机事件的关系，考查数学运算、逻辑推理，属于基础题.【解答】灰解：由题可知，A与B互为对立事件，且�࢒�࢒′쬐故选：′5.【答案】D【解析】【分析】本题考查利用余弦定理解三角形，属基础题.【解答】쬐榤쬐࢟쬐쬐䁢解：由余弦定理知，cos࢒，则᧰࢟࢟灰쬐࢒ݔ，解得࢒᧰或࢒࢟舍去�′쬐᧰6.【答案】C【解析】【分析】本题考查空间中点到直线的距离，考查数学运算的核心素养.【解答】解：由题࢒쬐쬐ݔ쬐࢒，�ݔ࢟灰�，䁢则在上的投影向量的模为࢒，쬐则点A到直线BC的距离为쬐쬐᧰ݔ࢟࢒′7.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性和单调性，考查直观想象、逻辑推理的核心素养，属于中档题.【解答】解：因为定义在R上的奇函数ሼ�在区间ݔ࢒�且，减递调单上�榤ݔ，所以ሼ�的图象大致如图所示.ሼݔሼݔ由ሼሼ࢟䁢�ݔ，得或ሼ࢟䁢�ݔ�䁢࢟ሼݔ解得ݔ灰ሼ或䁢ሼݔ或ሼ࢟쬐′故选：′ 8.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了点关于直线的对称问题，属中档题.【解答】解：因为ሼ쬐榤െ쬐࢟䁢ሼ࢟䁢െ榤Ͷ࢒ሼ࢟쬐�쬐榤െ࢟쬐�쬐，所以ሼ࢟�쬐榤െ쬐榤ሼ쬐榤െ쬐࢟䁢ሼ࢟䁢െ榤Ͷ表示直线知쬐ሼ࢟െ榤쬐࢒ݔ到点一上ݔ�，െ쬐쬐�两点距离之和的最小值.易知P，Q两点在l的同一侧，设点P关于l对称的点称ሼݔെݔ�，െݔ࢟ݔ灰࢒࢟ሼݔ࢟쬐ሼݔ࢒࢟则解得即称࢟Ͷ�，ሼݔെݔ榤ݔെ榤ݔ࢒Ͷ쬐࢟榤쬐࢒ݔ쬐쬐故ሼ࢟�쬐榤െ쬐榤ሼ쬐榤െ쬐࢟䁢ሼ࢟䁢െ榤Ͷ称െ࢒࢟࢟쬐�쬐榤Ͷ࢟쬐�쬐࢒᧰灰᧰′9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查统计，考查数学运算的核心素养.【解答】解：因为x，ሼ榤쬐，᧰ሼ࢟᧰，쬐ሼ榤灰，9的平均数为6，所以ሼ榤ሼ榤쬐榤᧰ሼ࢟᧰榤쬐ሼ榤灰榤࢒᧰ݔ，解得ሼ࢒᧰，则这组数据为3，5，6，7，′由ݔ′࢒᧰′，得这组数据的第70百分位数为′10.【答案】AD【解析】【分析】本题考查直线的位置，考查直观想象的核心素养，属于中档题.【解答】쬐࢟䁢解：若A，B在l的同侧，则，因为࢒࢒࢟灰，所以l的方程为ሼ榤െ࢟灰࢒ݔ′若A，B᧰࢟灰 在l的两侧，则l经过线段AB的中点쬐᧰�，此时l的方程为ሼ࢟쬐࢒ݔ′故答案选：′11.【答案】ABC【解析】【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系及圆中三角形的面积，属中档题.【解答】解：将直线l的方程转化为᧰ሼ࢟െ�൅榤ሼ榤᧰െ࢟䁢࢒ݔ，᧰ሼ࢟െ࢒ݔሼ࢒灰令解得ሼ榤᧰െ࢟䁢࢒ݔെ࢒᧰即直线l经过定点灰᧰�，则圆心O到直线l的距离࢒쬐，设࢒，则cos灰，故ݔͶ灰ݔ쬐灰即，ݔ′࢒ݔ쬐䁢쬐쬐灰쬐则的面积࢒䁢sin쬐ݔ䁢᧰䁥′쬐12.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查立体几何中直线与平面所成角的正弦值，考查直观想象的核心素养.【解答】解：因为F在平面ABCD的投影为AB的中点，且ܨ࢒，࢒䁢，所以F到平面ABCD的距离为1，ܨ࢒쬐쬐，P到平面ABCD的距离为2，则点B到FG的距离为灰쬐榤쬐�쬐࢒᧰，灰灰则ܨ的面积为䁢灰࢒쬐，ܨ的面积为쬐쬐᧰࢒′根据对称性可知，该几何体的表面쬐쬐积为䁢䁢榤䁢쬐榤䁢榤䁢쬐쬐灰榤쬐쬐쬐쬐࢒᧰쬐榤Ͷ쬐榤䁢，A正确.将该几何体放置在一个球体内，要使该球体体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上，且A，B，C，D，N，P，Q，M均在球面上，设球心到下底面ABCD的距离为x，则쬐쬐�쬐榤ሼ쬐࢒쬐쬐榤쬐࢟ሼ�쬐，䁢᧰䁢쬐解得ሼ࢒ݔ，则该球体的半径为쬐쬐，体积为쬐쬐�࢒，B不正确.᧰᧰以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则䁢䁢ݔ쬐࢟࢒ܨ，�쬐䁢࢟쬐࢟࢒，�쬐䁢쬐，�灰쬐䁢，�灰ݔ쬐ܨ，�ݔݔ䁢，�쬐ݔ쬐，�ݔ灰�，࢒࢟䁢ݔ灰ݔ࢒൅为量向法个一的ABF面平，�쬐䁢쬐࢟࢒，�灰쬐ݔ�，则cos，൅࢒࢒࢟，故直线쬐᧰ CP与平面ABF所成角的正弦值为，c正确.᧰࢟쬐ሼ灰榤灰࢒ݔ设平面BFG的法向量为࢒ሼ灰െ灰灰�，则쬐െ榤࢒ݔ令ሼ灰࢒灰，得࢒灰࢟灰쬐�，则点M到平面BFG灰灰࢟쬐灰榤䁢࢟灰�榤쬐쬐的距离为࢒࢒᧰，D正确.灰쬐榤࢟灰�쬐榤쬐쬐13.【答案】᧰ሼ࢟െ࢒ݔ【解析】【分析】本题考查圆的切线，考查直观想象的核心泰养，属于基础题.【解答】解：由图可知，其中一条切线为x轴，切点为坐标原点.灰࢟ݔ᧰因为࢒࢒࢟，ݔ࢟᧰᧰则࢒᧰，直线AB的方程为᧰ሼ࢟െ࢒ݔ′14.【答案】6【解析】【分析】本题考查了两条直线垂直的应用，属基础题.【解答】解：因为灰쬐，所以쬐ܽ࢟灰쬐࢒ݔ，解得ܽ࢒′Ͷ15.【答案】쬐䁥᧰【解析】【分析】本题考查三角函数的图象与性质，考查逻辑推理的核心泰养.【解答】解：ሼ�࢒᧰sinሼ榤�榤sinሼ࢟�࢒᧰sinሼ榤�࢟cosሼ榤�࢒쬐sinሼ榤�，᧰᧰᧰由ሼ�࢒ݔ，灰得sinሼ榤�࢒′쬐 由ݔሼ，得ሼ榤榤，灰᧰灰则榤，Ͷ解得쬐′᧰灰灰灰16.【答案】灰灰灰【解析】【分析】本题考查直线与直线的夹角，考查直观想象、数学运算的核心泰养，属于较难题.【解答】解：设灰࢒，连接NP，图略�，则直线NP即直线′易证得ܪ，由࢒쬐，N为灰灰的中点，得࢒灰′᧰以D为坐标原点，DA，DC，灰所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨令࢒，则ܪݔ灰，�ݔݔ，�쬐ݔ，�᧰ݔݔ�，ܪ࢒ݔ࢟灰�，灰࢒࢟�，ܪ灰࢟䁢쬐灰灰灰cosܪ，灰࢒࢒࢒࢟，ܪ灰᧰᧰灰灰灰灰灰灰故直线l与直线灰所成角的余弦值为′灰灰灰17.【答案】解：灰�因为ܽ࢒灰，所以灰知ሼ榤െ榤灰࢒ݔ࢒쬐࢟െ쬐榤ሼ知쬐，ݔ′ሼ榤െ榤灰࢒ݔ联立方程组ሼ榤쬐െ࢟쬐࢒ݔሼ࢒࢟䁢解得െ࢒᧰故直线灰与쬐的交点坐标为࢟䁢᧰�′쬐᧰쬐�因为灰쬐，所以쬐ܽ࢟ܽ࢟᧰࢒ݔ，解得ܽ࢒࢟灰或ܽ࢒′쬐当ܽ࢒࢟灰时，灰与쬐重合，不符合题意᧰当ܽ࢒时，灰与쬐不重合，符合题意.쬐᧰故ܽ࢒′쬐【解析】本题考查了两条直线的交点坐标、两条直线垂直的应用，属基础题.18.【答案】解：灰�由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，设该圆的半径为r米，则쬐࢒Ͷ쬐榤࢟䁢�쬐，解得࢒灰ݔ，故该圆弧所在圆的方程为ሼ쬐榤െ榤�쬐࢒灰ݔݔ′쬐�设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则쬐쬐쬐，解得࢒쬐䁢쬐′쬐䁢′�榤榤灰′�࢒灰ݔ쬐 若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为쬐′榤䁢ݔ′࢒灰䁢′쬐䁢쬐′쬐䁢，故该隧道不能并排通过5辆该种汽车.若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为䁢쬐′榤᧰ݔ′࢒灰灰′쬐䁢쬐′쬐䁢，故该隧道能并排通过4辆该种汽车.综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车.【解析】本题考查圆的标准方程，及应用，属于中档题.᧰灰灰᧰᧰19.【答案】解：灰�由题可知，第3回合由乙发球的概率为榤࢒′䁢䁢䁢䁢Ͷ쬐�前3个回合中甲赢的回合数不低于乙，则前3个回合中甲赢的回合数为2或3᧰᧰᧰쬐甲赢的回合数为3的概率为࢒，䁢䁢䁢䁢᧰᧰灰᧰灰灰灰灰᧰灰甲赢的回合数为2的概率为榤榤࢒，䁢䁢䁢䁢䁢䁢䁢䁢䁢䁢쬐灰쬐灰故前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率为榤࢒䁢䁢᧰쬐【解析】本题考查了概率的计算，属于中档题.20.【答案】灰�证明：设为空间的一个基底，因为E，F分别为PA，PC的中点，灰灰灰灰所以࢒榤，ܨ࢒榤′쬐쬐쬐쬐쬐쬐灰쬐又࢒쬐，所以࢒榤࢒榤࢒榤࢟�࢒榤᧰᧰᧰᧰灰灰쬐쬐灰灰쬐灰灰쬐쬐࢒榤榤࢒榤�榤榤�࢒榤ܨ′᧰᧰᧰᧰쬐쬐᧰쬐쬐᧰᧰由向量共面的充要条件可知，、、ܨ共面，又、、ܨ都过同一点B，故B，E，G，F四点共面.쬐�解：由正四棱锥的对称性知，灰࢒쬐࢟，쬐࢒쬐࢟设点E到平面PBG的距离为灰，点A到平面PBD的距离为쬐，由E是PA的中点得쬐࢒쬐灰由࢒쬐，得࢒᧰灰灰࢟᧰灰灰则࢒࢒灰࢒′쬐࢟᧰쬐【解析】本题考查了空间向量共面定理、空间向量的线性运算、棱锥的体积等知识，属中档题.21.【答案】解：灰�设ሼെ�，则࢒࢟ሼ䁢࢟െ�，࢒࢟ሼ࢟െ�由࢒ݔ࢒�െ࢟䁢െ࢟쬐ሼ得，ݔ 整理得ሼ쬐榤െ࢟쬐�쬐࢒䁢，故C的方程为ሼ쬐榤െ࢟쬐�쬐࢒䁢′쬐�经过定点，设ሼ灰െ灰�，ܪሼ쬐െ쬐�，쬐െ灰࢒ሼ灰െ쬐′则由灰�可知ሼ灰࢟െ灰䁢࢟െ灰�࢒ݔ，则࢒ሼ灰䁢࢟െ灰，ܪ࢒ሼ쬐ሼ灰െ쬐由ܪ࢒࢟᧰，得䁢࢟െሼ࢒࢟᧰，即ሼ灰െ쬐࢟᧰ሼ쬐െ灰榤灰쬐ሼ쬐࢒ݔ①′灰쬐同理可得，ሼ쬐െ灰࢟᧰ሼ灰െ쬐榤灰쬐ሼ灰࢒ݔ②′ሼ灰െ쬐࢟ሼ쬐െ灰①-②得ሼ灰െ쬐࢟ሼ쬐െ灰࢒᧰ሼ灰࢟ሼ쬐�，则ሼ࢒᧰′灰࢟ሼ쬐െ쬐࢟െ灰䀀࢟െ灰设直线l与y轴交于െݔ䀀�，则由M，N，Q三点共线可知࢒，ሼ쬐࢟ሼ灰ݔ࢟ሼ灰整理得ሼ灰െ쬐࢟ሼ쬐െ灰࢒䀀ሼ灰࢟ሼ쬐�ሼ灰െ쬐࢟ሼ쬐െ灰则䀀࢒࢒᧰，即l过定点െݔ᧰�′ሼ灰࢟ሼ쬐【解析】本题考查圆的方程，直线与圆位置关系，属于中档题.22.【答案】灰�证明：因为灰灰灰是等边三角形，Q为灰灰的中点，所以灰െ灰灰′又灰灰，所以灰െ′因为െ，灰െെ࢒െ，所以平面灰െ′又灰平面灰െ，所以灰′᧰쬐�解：取AB靠近点A的四等分点N，连接MN，NQ，易证得ܪ灰െ，则ܪ，且ܪ࢒′쬐由࢒䁢，得െܪ࢒᧰쬐쬐쬐，即െܪ，从而െ平面′灰′因为െ࢒灰，所以െ榤ܪ࢒െܪ쬐以M为坐标原点，MN所在直线为x轴，MQ所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则ݔ᧰࢟灰，�灰灰ݔ灰，�ݔݔݔ灰�，则࢒ݔ᧰࢟࢒，�灰灰ݔ灰�灰灰െ榤灰࢒ݔ设平面灰灰的法向量为൅࢒ሼെ�，则࢟᧰ሼ榤灰࢒ݔ࢒灰，得൅࢒࢟灰灰�′由图可知，࢒ݔ灰ݔ�是平面灰െ的一个法向量.൅᧰设平面灰灰与平面灰െ的夹角为，则cos࢒࢒′൅ 【解析】本题考查了面面角角的向量求法，线线垂直，属于中档题.