湖北省鄂西北六校（ 等）2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附答案）

宜城一中枣阳一中曾都一中襄阳六中南漳一中河口一中2023-2024学年上学期高二期中考试数学试题主命题学校：曾都一中试卷满分：150分考试用时：120分钟注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知直线经过，两点，则直线的倾斜角是（）A．B．C．D．2．椭圆与椭圆的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．焦距相等D．离心率相等3．已知直线：，直线：相互平行，则的值为（）A．1或－4B．1C．2D．－44．一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则光线所走的路程是（）A．B．6C．D．5．在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则异面直线与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．6．已知半径为2的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（）A．4B．5C．6D．7 7．已知、为椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，且，的延长线与椭圆交于点，若，则该椭圆离心率为（）A．B．C．D．8．已知三棱锥的顶点都在球的表面上，球的表面积为，在中，，，则当三棱锥的体积最大时，（）A．4B．C．5D．二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A．用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则个体被抽到的概率是0.1B．采用分层抽样的方法从高一640人、高二760人、高三人中，抽取55人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为19人，则C．数据12，13，14，15，17，19，23，24，27，30的第70百分位数是23D．已知一组数据1，2，，5，8的平均数为4，则这组数据的方差是610．已知事件，满足，，则下列结论正确的是（）A．B．如果，那么C．如果与互斥，那么D．如果与相互独立，那么11．已知圆：，点是直线：上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，则下列说法正确的有（）A．圆上恰有两个点到直线的距离为B．切线长的最小值为C．当最小时，直线方程为D．直线恒过定点 12．如图，棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，则（）A．直线，为异面直线B．直线与平面所成角的正切值为C．过点，，的平面截正方体的截面面积为D．三棱锥外接球的表面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为6的概率是______．14．在正四棱台中，，，，则该棱台的体积______．15．原点到直线的距离的最大值为______．16．已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴、轴分别交于，两点，且，，则的方程为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知圆心为的圆经过，，这三个点．（1）求圆的标准方程；（2）直线过点，若直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，点是的中点． （1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．19．（本小题满分12分）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，为的中点，且所在的直线方程为．（1）求顶点，的坐标；（2）求过点且在轴、轴上的截距相等的直线的方程．20．（本小题满分12分）第22届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为庆祝这场体育盛会的胜利召开，某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．（1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率；（2）求这3人都参加市知识竞赛的概率；（3）某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了奖励方案：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．求三人奖金总额为1200元的概率．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点，且．（1）证明：平面； （2）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在请说明理由．22．（本小题满分12分）已知椭圆：离心率，且经点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线于点D，且，设直线，，的斜率分别为，，，若，证明为定值．宜城一中枣阳一中曾都一中襄阳六中南漳一中老河口一中2023-2024学年上学期高二期中考试数学答案一．选择题1．D2．C3．B4．C5．B6．D7．A8．B9．ABD10．BCD11．AC12．BCD二．填空题13．14．15．16．三．解答题（以下答案仅供参考，若有其它解法，根据参考答案相应步骤给分）17．解：（1）设圆的标准方程为，因为过，，，所以，解得所以圆的标准方程为．（2）当直线的斜率不存在时，其方程为，符合题意；当直线l的斜率存在时，设其方程为，即， 则圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为6，所以，即，解得，直线的方程为故直线方程为或18．解：（1）证明：连接交于点，连接，∵底面为正方形，∴为的中点，∵点是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面（2）因为平面，平面，所以，又四边形为正方形，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以又点是的中点，，，所以，，，，所以，设点到平面的距离为，则，即，即，解得，即点到平面的距离为．19．解：（1）由题意可设直线方程为：，由点，可得．所以直线方程为． 又直线方程为，解得，则．设，则中点坐标，因为直线方程为，则，又点在直线，所以，解得．则（2）由（1）可得，由题意可得．①当直线经过原点时，设直线方程为，由点的坐标可得，解得，所以直线方程为；②当直线经不过原点时，设直线方程为，把点坐标代入可得：，所以直线方程为．故直线方程为或．20．解：（1）解：3人全通过初赛的概率为，所以，这3人中至多有2人通过初赛的概率为（2）解：甲参加市知识竞赛的概率为，乙参加市知识竞赛的概率为，丙参加市知识竞赛的概率为，所以，这3人都参加市知识竞赛的概率为（3）解：记“甲、乙、丙三人获得奖金之和为1200元”为事件，则21．解：（1）证明：连接，与的交点记为点，因为，，，所以，所以， 因为，所以，所以，即，又因为，且，所以平面，因为平面，所以．因为在中，，所以，又因为，所以平面．（2）存在，点为线段的中点理由如下：如图，以为原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，设，即，则，．设平面的法向量，由取，则易知，平面的一个法向量为，因为二面角的余弦值为，即，整理可得，解得（舍去）或．故线段上存在一点，使得二面角的余弦值为，此时点为线段的中点． 22．解：（1）由题意知，解得，，故椭圆的标准方程为．（2）由题意直线的斜率一定存在，由（1）知，则椭圆的右焦点的坐标为，设直线方程为：，坐标为．所以，设，，将直线方程与随圆方程联立，∴，又恒成立，由韦达定理知，，，∴