湖北省鄂西北六校(宜城市第一中学等)2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题（Word版附解析）

宜城一中枣阳一中曾都一中襄阳六中南漳一中老河口一中2023—2024学年上学期高一期中考试数学试题时间：120（分钟）主命题学校：宜城一中分值：150一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（  ）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将中式子代入集合中,求出，则交集的元素可求.【详解】令，可得，又，可得，则，可得.故选：A.2.下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（）A.，B，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根据相等函数的判定方法，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A选项，因为的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A错；B选项，因为的定义域为，的定义域也为，且与对应关系一致，是同一函数，故B正确；C选项，因为的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故C错；D选项，因为的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D错.故选：B.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由分式不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，不等式可化为，即，解得，即不等式的解集为，所以“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，以及充分不必要条件的判定，其中解答中熟记分式不等式的解法，以及充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4.设，，则有（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】作差法比较大小即可.【详解】，，故选：A5.若，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将化简得，利用作差法、基本不等式和绝对值性质判断即可.【详解】因为，所以，对于A，因为，，即，故A错误；对于B，因为，，即，故B正确；对于C，因为，，所以，当且仅当，即时取等号，又因为，所以，故C错误；对于D，因为，，，即，故D错误.故选：B.6.已知是定义在上的偶函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（    ）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】根据题意判断出在上单调递增，再由函数在上为偶函数，得到，将代入解题即可.【详解】因为对任意的满足，所以在上单调递增，又是定义在上的偶函数，且，所以，所以，解得或.故选：C7.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（）A.8B.10C.12D.14【答案】C【解析】【分析】由题意，代入，利用基本不等式的性质即可得出.【详解】因为，，所以，故，因为，当且仅当时，等号成立，故，则此三角形面积的最大值为12.故选：C8.已知函数的值域与函数的定义域相同，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合一次函数的单调性列不等式求解即可.【详解】因为函数的定义域为R，所以的值域是R，当时，，故当时，的值域为，所以，所以，解得，所以实数a的取值范围是.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论.【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，所以选项AD正确，选项CD不正确，故选：AD.10.下列说法正确的是（）A.命题“，”的否定是“，”B.至少有一个整数，使得为奇数 C.“”是“”的必要条件D.“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件【答案】AD【解析】【分析】根据存在量词的命题的否定判断A，判断是偶数可判断B，根据必要条件的概念可判断C，根据方程根的分布求出参数范围判断D.【详解】对于A，命题“，”的否定为命题“，”.正确；对于B，，若为奇数，则为偶数，则为偶数，若为偶数，则为偶数，所以一定是偶数，错误；对于C，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，错误；对于D，若关于的方程有一正一负两个根，则，解得，所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，正确.故选：AD11.已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（   ）A.的对称轴为直线B.的对称轴为直线C.D.不等式的解集为【答案】BD【解析】【分析】由偶函数的定义确定对称轴即可判断AB；根据和函数的单调性即可判断C；利用函 数的奇偶性和单调性解不等式即可判断D.【详解】A：因为为偶函数，其图象关于y轴对称，所以函数的对称轴为直线，故A错误；B：由选项A可知，B正确；C：因为函数的对称轴为直线，所以，又函数在上单调递增，所以，则，故C错误；D：因为函数的对称轴为直线，且在上单调递增，所以函数在上单调递减，且，由，得，即，解得，故D正确.故选：BD.12.下列说法正确的有（   ）A.已知，则的最小值为B.若正数x、y满足，则的最小值为9C.若正数x、y满足，则的最小值为3D.设x、y为实数，若，则的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式求最值逐项判断即可.【详解】对于A，因为，所以当时，，，当且仅当，即时，等号成立；当时，，，， 当且仅当，即时等号成立，所以，所以，所以函数的值域为，故A错误；对于B，若正数x、y满足，可得，当且仅当时等号成立，令，则，即，解得，即，所以的最小值为9，故B正确；对于C，若正数x、y满足，则，则当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为3，故C正确；对于D，，所以，所以，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合，若，则实数的值为________【答案】##0.5【解析】【分析】根据元素与集合的关系进行求解即可. 【详解】因为，，所以或，解得或.当时，，不符合元素的互异性，舍；当时，，符合题意.综上，.故答案为：14.已知不等式的解集为，则不等式的解集为______【答案】【解析】【分析】根据韦达定理求出，代入解二次不等式即可.【详解】由不等式的解集为，则，则，则，即为，解得：.故答案：15.正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围______【答案】【解析】【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式即可.【详解】因为且，是正数，所以， 当且仅当，即时等号成立，因为不等式恒成立，所以，解得.故答案为：16.若函数在区间上的值域为，则称区间为函数的一个“倒值区间”．已知定义在R上的奇函数，当时，．那么当时，______；求函数在上的“倒值区间”为______．【答案】①.②.【解析】【分析】根据函数是奇函数求出时，，再由二次函数的单调性及“倒值区间”的定义，列出方程求解即可.【详解】设，则，，由为奇函数，可得，故当，，对称轴方程为，所以时，，设是在上的“倒值区间”，则值域为，所以，即，所以在上单调递减， ，即，解得，所以函数在上的“倒值区间”为.故答案为：；四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合（1）若是空集，求的取值范围；（2）若中只有一个元素，求的值，并求集合.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据是空集，可知，解不等式组即可；（2）根据中只有一个元素，分和两种情况进行讨论.小问1详解】因为是空集，所以，即解得，所以的取值范围为.【小问2详解】当时，集合，符合题意；当时，即，解得，此时集合， 综上所述，的值为或，当时，集合，当时，集合.18.已知集合．（1）若，求实数的取值范围；（2）若是的必要条件，且集合不为空集，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）．【解析】【分析】（1）分类讨论和两种情况，分别求出对应m的取值范围即可；（2）由题意可得且，列出不等式组，解之即可求解.【小问1详解】当时，由，得，符合题意；当时，可得或，解得．综上，实数的取值范围是或．【小问2详解】由题意可知且.可得解得，综上，实数的取值范围是．.19.已知二次函数满足，且．（1）求的解析式；（2）若函数，求的值域.【答案】19.20.. 【解析】【分析】（1）设二次函数的解析式，利用待定系数法即可求解；（2）当时，根据二次函数的性质即可求解；当时，利用换元法，结合二次函数的性质即可求解.【小问1详解】设二次函数因为，所以．由，得，得，所以得，故．【小问2详解】当时，，对称轴，在上单调递增，；当时，，令，，则，，对称轴，该函数在上单调递增，所以当时，，综上所述，的值域为.20.已知函数为幂函数，且在上单调递增.（1）求的值，并写出的解析式；（2）解关于的不等式，其中.【答案】（1）3，（2）答案见解析【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质即可求解；（2）由（1）可得原不等式变形为，分类讨论含参一元二次不等式即可求解.【小问1详解】因为为幂函数，且在上单调递增，则，解得，所以；【小问2详解】不等式0，即当，，即不等式解集为，当，或，即不等式解集为，当，或，即不等式解集.所以，当，不等式解集为，当，不等式解集为，当，不等式解集为.21.中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?（2）为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.【答案】（1）40元；（2）至少应达到10.2万件，每件定价30元.【解析】 【分析】（1）设每件定价为t元，由题设有，解一元二次不等式求范围，即可确定最大值；（2）问题化为时，有解，利用基本不等式求右侧最小值，并确定等号成立条件，即可得到结论.【小问1详解】设每件定价为t元，依题意得，则，解得，所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元【小问2详解】依题意，时，不等式有解，等价于时，有解，因为（当且仅当时等号成立），所以，此时该商品的每件定价为30元，当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．22.已知函数，定义域为．（1）写出函数的奇偶性（无需证明），判断并用定义法证明函数在上的单调性；（2）若，都有恒成立，求实数的取值范围；（3）解不等式．【答案】（1）在定义域为偶函数；在区间上单调递减，证明见解析.（2） （3）【解析】【分析】（1）由偶函数和单调性的定义可得；（2）先根据函数的单调性求最小值，根据恒成立即可得；（3）根据函数的定义域，单调性，偶函数，结合列出不等式组即可.【小问1详解】在定义域为因，所以为偶函数；.在区间上单调递减，证明如下设，则因，所以，，，所以，所以在区间上单调递减.【小问2详解】由（1）可知在区间上单调递减，所以，当时，取得最小值，又，都有恒成立，所以只需成立，即，故实数的取值范围为.【小问3详解】 由（1）知，在定义域为偶函数且在区间上单调递减，故由得，即，解得，所以实数的取值范围为