湖北省恩施州四校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附答案）

恩施州四校联盟2023年春季学期高二年级期中联考数学试卷命题学校：利川市第一中学本试卷共4页,22小题,满分150分,考试用时120分钟.一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.设集合，则（    ）A．B．C．D．3.已知直线,互相垂直，则的值为（    ）A．2B．1或-3C．-3D．0或24.“=2”是“函数在区间上为增函数”的（    ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件5.已知，则（    ）A．B．C．D．6.已知，则（    ）A.B．C．D．7.已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点M，N与点B，C不重合），设，，则的最小值为（   ）A．1B．C．2D．8.平面内有四条平行线，相邻两条平行线的间距均为2，在每条直线上各取一点围成矩形，则该矩形面积的最小值是（    ）A.B.16C.D.18 二、多选题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A.，，B.，，C.，，D.，，10.已知函数，则下列结论正确的是（    ）A．函数的单调递增区间是B．不等式的解集是C．函数的图象关于对称D．函数的值域是11.已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为，平均数为;去掉的两个数据的方差为，平均数为﹔原样本数据的方差为，平均数为，若=，则下列说法正确的是（    ）A.B.C．剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数D.剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数12.在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则（    ）A．异面直线与所成角的余弦值为B．点为正方形内一点，当平面时，的最大值为C．过点，，的平面截正方体所得的截面周长为D．当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分．13.平面向量与的夹角为135°，已知，，则=.14.点到直线(为任意实数)的距离的最大值是.15.设函数，若函数恰有4个零点，,,,，且 ，则的值为.16.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且,则的取值范围是.四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17.(10分)的三个顶点是，，，求：（1）边BC上的中线所在直线的方程；（2）边BC上的高所在直线的方程；18.（12分）在平面直角坐标系中，已知三点.（1）若点在线段上运动，求直线的斜率的取值范围； （2）若直线经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍，求直线的方程.19.（12分）一个袋子中有4个红球,6个绿球,采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.（1）求第二次取到绿球的概率;（2）如果是个红球,6个绿球,已知取出的2个球都是绿球的概率为，那么是多少?20.（12分）记的内角的对边分别为，已知．（1）求A；（2）若，，求的面积． 21.（12分）如图1，已知平面四边形BCMN是矩形，AD//BC，，将四边形ADMN沿AD翻折，使平面ADMN平面BCDA，再将沿着对角线AC翻折，得到，设顶点在平面上的投影为O.图1图2图3（1）如图2，当时，若点在MN上，且DM=1，，证明：平面并求AB.（2）如图3，当时，若点O恰好落在的内部（不包括边界），求二面角的余弦值的取值范围.22.（12分）如图，在八面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，二面角与二面角的大小都是，，．（1）证明：平面平面；（2）设为的重心，是否在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求到平面的距离，若不存在，说明理由． 恩施州四校联盟2023年春季学期高二年级期中联考数学试卷答案一、单选题：1-8.DBDABAAB二、多选题：9-12.ABDCDABDACD三、填空题：13-16.四、解答题：17.(10分)的三个顶点是，，，求：（1）边BC上的中线所在直线的方程；（2）边BC上的高所在直线的方程；解：（1）BC的中点坐标为则边BC上的中线所在直线的方程为；.................................................(5分）（2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过，则边BC上的高所在直线的方程为；.................................................................................(10分）18.（12分）在平面直角坐标系中，已知三点.（1）若点在线段上运动，求直线的斜率的取值范围； （2）若直线经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍，求直线的方程.解：（1）不妨设，当点运动到点时，直线的斜率为，.............................(2分）当点运动到点时，直线的斜率为，......................................................................(4分）若点在线段上运动，则直线的斜率的取值范围为.........................(6分）（2）当截距为均为0时，直线方程为，符合题意......................................................(8分） 当截距不为0时，不妨设直线方程为.........................................................................(10分）又直线经过点，故，即所以直线方程为...........................................................................................................(12分）19.（12分）一个袋子中有4个红球,6个绿球,采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.（1）求第二次取到绿球的概率;（2）如果是6个绿球,个红球,已知取出的2个球都是绿球的概率为,那么是多少?解：（1）从10个球中不放回地随机取出2个共有(种)可能,即...........(1分）设事件=“两次取出的都是红球”,则，设事件=“第一次取出红球,第二次取出绿球”，则，设事件=“第一次取出绿球,第二次取出红球”则.设事件=“两次取出的都是绿球”则,且事件两两互斥..............(3分）第二次取到绿球的概率为........................................................................(6分）（2），..........................................................................................................................(8分）又................................................................................................................(10分）或-14，即............................................................................................................................(12分）20.（12分）20.（12分）记的内角的对边分别为，已知．（1）求A；（2）若，，求的面积．解：（1），由正弦定理得，，，即．...............................................................................(5分）又，．......................................................................................................(6分） （2）由正弦定理，有，，，..............................................................................................(8分）又，，，................................................................................................(10分）的面积为．..................................................................(12分）21.（12分）如图1，已知平面四边形BCMN是矩形，AD//BC，，将四边形ADMN沿AD翻折，使平面ADMN平面BCDA，再将沿着对角线AC翻折，得到，设顶点在平面上的投影为O.图1图2图3（1）如图2，当时，若点在MN上，且DM=1，，证明：平面并求AB.（2）如图3，当时，若点O恰好落在的内部（不包括边界），求二面角的余弦值的取值范围.解：（1）点在平面ABCD上的射影为O，则点O恰好落在边AD上，平面平面ACD，又，平面，，又，平面...........................(3分）设，，则，，∽，，在Rt中，,.....................................(5分）解得...............................................................................................................................................(6分）作，交AC于E，交AD于F， 当点O恰好落在的内部不包括边界，点O恰好在线段EF上，又，，为二面角的平面角,.....................................................................................(8分）当时，由,可得，且，....................................................(10分），故二面角的余弦值的取值范围为....................(12分）22.（12分）如图，在八面体中，四边形是边长为2的正方形，平面平面，二面角与二面角的大小都是，，．（1）证明：平面平面；（2）设为的重心，是否在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求到平面的距离，若不存在，说明理由．证明：(1)因为，又，，平面，所以平面，所以为二面角的平面角，即，又平面平面，，所以平面，即为二面角的平面角，即， 如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，即，所以，因为平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，因为，平面，所以平面平面.(2)由点在上，设点，其中，点，所以，平面的法向量可以为，设与平面所成角为，则，即，化简得，解得或（舍去），所以存在点满足条件，且点到平面的距离为.