湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（Word版附答案）

2023年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高二数学试卷考试时间：2023年11月13日下午15：00-17：00试卷满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z的共轭复数为，若复数z满足，则下列说法正确的是（）A．z的虚部为B．z对应的点在第二象限C．D．2．如图，在四边形中，，，设，，则等于（）A．B．C．D．3．已知直线，直线，若，则与的距离为（）A．B．C．D．4．若圆与圆恰有一条公切线，则（）A．4B．6C．4或6D．85．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则6．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，记向量，的夹角为，则为钝角的概率是（） A．B．C．D．7．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面为平行四边形，面，记该刍甍的体积为，三棱锥的体积为，，，若，则（）A．1B．C．D．8．锐角中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，满足且的面积，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题（本小题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9．近日，华为在美国商务部长雷蒙多访问中国之际发布了备受瞩目的新款手机Mate60pro，该手机采用了自主国产芯片麒麟9000s，这标志着华为成功冲破了美国的限制和封锁。芯片的突破，鼓舞了中国全社会。现甲，乙两人准备各买一部手机，购买华为手机的概率分别为0.8，0.9，购买黑色手机的概率分别为0.7，0.5，若甲，乙两人购买哪款手机互相独立，则（）A．甲，乙两人恰有一人购买华为手机的概率为0.26B．甲购买了华为手机，但不是黑色的概率为0.24C．甲，乙两人都没有购买黑色手机的概率为0.3D．甲，乙至少有一人购买黑色华为手机的概率为0.75810．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，（）A．若三角形的面积为，则B．若仅有一解，则C．若，则为直角三角形 D．若边上的中线长为，则三角形的面积为11．圆幂定理是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理，经过圆内一点引两条弦被这点所分成的两线段长的积相等，已知圆的半径为5，点P是圆O内的一定点，且，过点P引两条弦，，则下列说法正确的是（）A．为定值B．的取值范围为C．当时，如图以O为原点，为x轴，则中点M的轨迹方程为D．当时，四边形面积的最大值为4012．已知四棱台的下底面和上底面分别是边长为4和2的正方形，则（）A．侧棱上一点E，满足，则面B．若E为的中点，过A，，E的平面把四棱台分成两部分时，较小部分与较大部分的体积之比为3：5C． D．设与面的交点为O，则三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分。13．若直线l过点且在两坐标轴上的截距之差为3，则直线l的一般式方程为________．14．已知向量，，，若，，互不共线，且，，共面，则________．15．已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若，则梯形面积为________．16．在长方体中，，，，M为上一动点，N为AB上一动点，则的最小值为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中，，．（1）D为棱上一点，证明：；（2）在棱中是否存在一点E，使得面，若存在，指出E点位置，并证明。若不存在，说明理由．18．（本小题满分12分） （1）写出点到直线（A，B不全为零）的距离公式；（2）当不在直线上，证明到直线距离公式．（3）在空间解析几何中，若平面的方程为：（A，B，C不全为零），点，试写出点P到面的距离公式（不要求证明）．19．（本小题满分12分）如图，等腰梯形中，，，，，与的距离为6．（1）求等腰梯形的外接圆E的方程；（2）已知直线与圆E相交于M，N两点，若，求实数m的值．20．（本小题满分12分）某电信运营公司为响应国家5G网络建设政策，拟实行5G网络流量阶梯定价，每人月用流量中不超过kGB（一种流量计算单位）的部分按0.8元/GB收费，超过kGB的部分按2元/GB收费，从用户群中随机调查了10000位用户，获得了他们某月的流量使用数据，整理得到如下的频率分布直方图。已知用户月使用流量的中位数为31．（1）求表中的n；（2）若k为整数，依据本次调查为使85%以上用户在该月的流量价格为0.8元/GB，则k至少定为多少？（3）为了进一步了解用户使用5G流量与年龄的相关关系，由频率分布直方图中流量在和两组用户中，按人数比例分配的分层抽样方法中抽取了100名用户，已知组用户平均年龄为30 ，方差为36，流量在组用户的平均年龄为20，方差为16，求抽取的100名用户年龄的方差．21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面面，，，E为的中点．（1）求证：面面；（2）若二面角的大小为60°，求与面所成角的正弦值；（3）若平面与平面所成的锐二面角大小为60°，求四棱锥的体积．22．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，P为直线上一动点，圆与x轴的交点分别为M，N点，圆O与y轴的交点分别为S，T点．（1）若为等腰三角形，求P点坐标；（2）若直线，分别交圆O于A，B两点．①求证：直线过定点，并求出定点坐标；②求四边形面积的最大值．2023年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高二数学参考答案1．C令，，∴，，，2．C3．D4．B圆，圆与圆内切，，∴ 5．A6．D1），2），3），无解∴7．B，，∴，∴，∴8．B，，∴，∴，，∴．，∴，∴，，∴9．ABD，A，BCD甲购买黑色华为手机的概率，乙购买黑色华为手机的概率∴10．ACDA，∴，∴C，，， B，∴，①当，符合，②当时，，∴，∴或∴，∴11．ABCAB（为中点）∵，∴C设，，∴D（，别为到，的距离）12．AC连结，并延长交于F，，连交于G点，则G为中点，连，则，∴面，若E为中点，， ∴，∴C取中点则，D13．或14．15．直线过定点且P在圆上，取中点M，则16．过M点作面于，过M点作于，将，沿翻折至同一平面，∴的最小值为3。 17．解：（1）连，，∵四边形为正方形，∴，，面，面面，面．……5分（2）E为的中点，证明如下：取中点F，连，，，面面．……10分18．解（1）．……2分（2）见课本．……8分，有多种方法酌情给分（3）．……12分19．解：（1）圆心在E在y轴上，设，，∴，∴圆．……5分（2），∴．E点到直线的距离∴，∴或．……10分结合图形，．……12分20．解：（1），，∴．……3分（2）通过直方图可知第85百分位数落在第组，，∵，∴．……7分 （3）按分层抽样在组抽取40人记为，则∴在组抽取60人记为，则，平均值为∴抽取的100名用户的方差．……12分21．解：（1）取中点，中点，连，，∴面，面，∴面面．……4分（2）面，为二面角的平面角，∴，∴为正三角形，取中点，连，过点作分别以为x，y，z轴建立直角坐标系，，，，，面的法向量，设面与面所成角为，．……8分 （3）设，如图（1）A为原点，过A作直线面，，，分别为x，y，z轴建立直角坐标，，，，面的法向量，面的法向量∴，，∴．……12分22．解（1）由图1°当，2°当时，，∴或．……3分（2）①设，，，，，∵，∴，设直线（斜率存在）联立，消去y可得设，，，， ，∴或（舍去）直线恒过定点②当时，过定点，符合综上，直线恒过定点．……8分（3），，令，，当时，取得最大值。∴当直线，四边形面积有最大值．……12分