广东省四会中学、广信中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题（Word版附解析）

2023-2024学年高二第一学期四会、广信中学数学科第二次联考一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.过点，且倾斜角为的直线方程为（）A.B.C.D.2.已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为12，到轴的距离为9，则（）A.2B.3C.6D.93.已知椭圆的一个焦点为，则的离心率为（）A.B.C.D.4.如图，是的重心，，，，则（）A.B.C.D.5.已知的三个顶点，，，则边上的中线长为（）A.B.C.D.6.已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（）A.B.C.D. 7.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A.B.C.D.8.如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，则点到平面的距离为（）A.B.C.D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.直线必过定点B.直线在轴上的截距为-2C.直线的倾斜角为D.若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为10.已知曲线（）A.若，则是粗圆，其焦点在轴上B.若，则是双曲线，其渐近线方程为C.若，则是圆，其半径为D.若，，则是两条直线11.如图，在直三棱柱中，，，，，是的中点，点在棱上且靠近，当时，则（） A.B.C.D.二面角的余弦值为12.如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，下列说法正确的是（）A.曲线关于直线，对称B.两个椭圆的离心率不相等C.到，，，四点的距离之和为定值D.曲线所围区域面积必小于36三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.与圆同心且过点的圆的标准方程为________.14.在平面直角坐标系中，已知直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，且，则直线的截距式方程为；类似地，在空间直角坐标系中，若平面与轴、轴、轴的交点分别为，，，且，则平面的截距式方程为________.15.已知是抛物线的焦点，定点.若点在抛物线上运动，那么的最小值为 ________.16.已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的大小是________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）经过直线，的交点，且满足下列条件的直线的方程：（1）与直线平行；（2）与直线垂直.18.（本小题12分）如图，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，且.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19.（本小题12分）已知两圆和.（1）判断两圆的位置关系；（2）求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长.20.（本小题12分）如图，在正四棱雉中，，，点，，，分别在棱，，，上，，，. （1）证明：；（2）点在棱上，当二面角为时，求.21.（本小题12分）已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为1.（1）求抛物线的方程；（2）若不过原点的直线与抛物线交于，两点，且，求证：直线过定点.22.（本小题12分）设粗圆的离心率为，上、下顶点分别为，，.过点，且斜率为的直线与椭圆相交于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在实数，使直线？证明你的结论. 2023-2024学年第一学期第二次联考参考答案高二数学一、选择题：题号123456789101112答案BCCDABADACDABDBDAD8.D详解：法一：（空间向量法）如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，设是平面的一个法向量，则，取，则点到平面的距离法二：（等体积法），，，∵，∴11.BD详解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，，则，，，，，，， 或（不合，舍去）∴，即∵，∴A错误，B正确∵，∴C错误对于D，显然是平面的一个法向量，设为平面的一个法向量，则，取，则∵显然，二面角是锐二面角∴二面角的余弦值为，∴D正确12.AD详解：直接由图形可知A正确（也可由方程看，因为同时用代替，用代替，方程不变；同时用代替，用代替，方程不变.所以A正确） 两个粗圆的离心率均为，B错误.由椭圆的定义可知，只有当点刚好在两个椭圆的四个交点的位置时，（定值），此结论才成立，所以C错误.阴影落在直线，四条直线围成的矩形内部，阴影的，故D正确.16.详解：（平面到空间的转化，二面角“一作二证三计算”，余弦定理，空间向量的运算）折起前如图①，折起后如图②法一：图①中，作，，垂足分别为，∵，∴，∴∴图②中，在平面内过作，则可知为二面角的平面角.连接，，则可得，∵，∴∴二面角的大小为法二：∵，∴∴∴二面角的大小为三、填空题：共20分13.14.15.316. 四、解答题：共70分17.解：由，解得，∴………………………………3分设所求直线为直线的斜率为……………………………………………………4分（1）∵直线与直线平行∴直线的方程为：，即………………………………7分（2）∵直线与直线垂直∴直线的方程为：，即…………………………10分18.（1）证明：取的中点，连接，∵是边长为2的等边三角形，∴，………………………………………………………………1分∵是以为斜边的等腰直角三角形，∴，.………………………………………………………………2分又∵，∴，即………………………………3分∵平面，，∴平面…………………………4分∵平面，∴平面平面……………………………………5分（2）由（1）可知，，，两两互相垂直，故以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.…………………………………………………………6分∵，，，.…………………………………………7分∴，，……………………………………8分设是平面的一个法向量， 则………………………………9分取，则………………………………………………………10分设直线与平面所成的角为，则…………12分19.解（1）法一：联立，消去，整理得，………………3分∵，∴两圆相交……………………………………6分法二：∵，记为圆，圆心，半径，记为圆，圆心，半径∴…………………………………………3分∵，∴两圆相交…………………………………………6分（2）联立，两式相减，化简得，∴两圆公共弦所在的直线方程为：……………………………………8分法一：解方程组，得，∵两圆的交点，……………………………………………………10分∴公共弦长为………………………………12分法二：∵圆心到两圆的公共弦所在直线的距离为…………………………………………………………10分∴公共弦长为………………………………12分20.（1）证明：以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，………………………1分∴，………………………………………………2分∴…………………………………………………………………………3分又∵，不在同一条直线上，∴………………………………4分（2）解：设，，则，，…………………………5分设平面的一个法向量为，则令，得，∴.………………………………………………………………7分又设平面的一个法向量为，则令，得，∴..……………………………………………………………………9分∴化简可得，，解得或∴或……………………………………………………11分 ∴………………………………………………………………12分21.（1）解：抛物线的焦点为…………………………………………1分，渐近线方程为.………………2分∵，∴抛物线的方程为：…………………………4分（2）证明：由题意知直线不能与轴平行，故可设直线的方程为：…………5分联立，消去，得……………………………………6分设，，则……………………………………………………7分∵………………9分，即……………………10分又∵，∴……………………………………………………………………11分∴直线的方程为，易得直线过定点………………………………12分22.解：（1）∵……………………………………………………3分∴所求的椭圆方程为……………………………………………………4分（2）直线…………………………………………………………5分设，联立方程组，消去，得……………………6分 ∴………………………………………………………………7分由已知可得，设直线、的斜率分别为、，则，…………………………8分…………………………………………………………………………9分又∵……………………………………10分∴命题“，”是真命题，从而“，”是假命题..……………………11分