山东省青岛市莱西市2023-2024学年高一上学期11月期中数学试题（Word版附解析）

2023-2024学年度高一学业水平阶段性检测一数学试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则等于（）AB.C.D.2.已知函数是定义在R上的函数，命题p：“函数的最小值为3”，则是（）A.对任意，都有B.存在，使得C.对任意，都有D.“‘存，使得’或‘对任意，都有’”3.如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（）A.m，n是奇数且B.m是偶数，n是奇数，且C.m是偶数，n是奇数，且D.m，n是偶数，且4.若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D. 5.函数的图象大致是（）A.B.C.D.6.已知函数定义域为，则函数的定义域为（）A.B.C.D.7.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（）A16小时B.20小时C.24小时D.28小时8.已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（）A.B.C.2021D.0二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选锗的得0分．9.若非空集合M，N，P满足：，，则（）A.B.C.D.10.若，，则下列结论正确的是（） A.B.C.D.11.狄利克雷函数是一个经典函数，其解析式为，则下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（）A.是偶函数B.，C.D.对任意，都存在，12.已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a可以为（）A.B.1C.2D.0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为________.x1234f(x)1313g(x)323214.李华自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，李华对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付____________元．②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_________15.写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．①；②在单调递增；③是偶函数． 16.已知，，设不等式的解集为，则不等式的解集为______．四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知（）．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，有实数解，求a的范围．18.已知表示不超过x的最大整数，称为高斯取整函数，例如，，不等式的解集为A，不等式的解集为B．（1）求，（2）已知，正数a，b满足，求的最小值．19.已知集合A＝{x||x|－2≤0}，集合．（1）设a为实数，若集合C＝{x|x≥3a且x≤2a＋1}，且C⊆（A∩B），求a的取值范围：（2）设m为实数，集合，若x∈（A∪B）是x∈D的必要不充分条件，判断满足条件的m是否存在，若存在，求m的取值范围：若不存在，请说明理由．20.已知函数（）（1）判断函数在内的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在m，使得为偶函数？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．21.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间的表达式：讨论 的单调性，说明其实际意义并结合实际意义给出合理建议．22.设函数的定义域是，且对任意的正实数x、y都有恒成立，已，且时，（1）求与的值；（2）求证：函数在上单调递减；（3）解不等式 2023-2024学年度高一学业水平阶段性检测一数学试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的性质求值域可得集合，根据函数定义域求解一元二次不等式得集合，再根据并集的概念运算即可.【详解】由于函数在上递增，所以当时，，即又函数的定义域满足，解得，故，所以.故选：C.2.已知函数是定义在R上的函数，命题p：“函数的最小值为3”，则是（）A.对任意，都有B.存在，使得C.对任意，都有D.“‘存在，使得’或‘对任意，都有’”【答案】D【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可求解.【详解】命题p：“函数的最小值为3”是一个全称命题，故其否定是一个特称命题.所以是函数的最小值不是3，即“存在，使得”或“对任意，都有”.故选：D.3.如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（）A.m，n是奇数且B.m是偶数，n是奇数，且C.m是偶数，n是奇数，且D.m，n是偶数，且【答案】B【解析】【分析】根据图象得到函数的奇偶性及上单调递增，结合m、且互质，从而得到答案.【详解】由图象可看出为偶函数，且在上单调递增，故且为偶数，又m、且互质，故n是奇数.故选：B4.若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据二次函数性质运算求解即可【详解】因为函数开口向上，对称轴为，若函数在区间上是增函数， 则，所以，故实数的取值范围是；故选：A．5.函数的图象大致是（）A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】根据题意，得到函数偶函数，且当时，，结合选项，即可求解.【详解】由函数，可得其定义域为，且，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，又由时，，结合选项，只有B项符合题意.故选：B.6.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】先由函数的定义域得函数的定义域，从而进一步可求出函数的定义域.【详解】函数的定义域为，易知是增函数，时，.所以函数的定义域为.于是函数的定义域为，即.故选：C.7.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（）A.16小时B.20小时C.24小时D.28小时【答案】C【解析】【分析】将两组数据代入解析式可得，，当时，利用指数函数的运算即可得到保鲜时间.【详解】由已知得①，②，将①代入②得，则．当时，，所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时，故选：C．8.已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（）A.B.C.2021D.0【答案】A【解析】 【分析】根据条件先求解出的值，然后分析的取值特点，从而求解出结果.【详解】因为为偶函数，所以，所以，所以且不恒为，所以，又因为，所以，所以，所以，又因为，所以，故选：A.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选锗的得0分．9.若非空集合M，N，P满足：，，则（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】先根据交集、并集运算的结果得到，然后再逐项进行判断.【详解】因为，，所以，所以，对于A：因为，所以，故正确；对于B：因为，所以不一定成立，故错误；对于C：因为，所以，故正确；对于D：因为，，所以，故正确；故选：ACD.10.若，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据不等式的性质逐项进行判断.【详解】A：因为，所以，故正确；B：因为，其中的正负无法确定，故错误；C：因为，所以，所以，又因为，所以，所以，故正确；D：因为，所以，又因为，所以，故正确；故选：ACD.11.狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为，则下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（）A.是偶函数B.，C.D.对任意，都存在，【答案】ABD【解析】【分析】根据给定的函数求函数值域，判断奇偶性，求函数值逐项判断即可．【详解】当，则，所以，当，则，所以，又的定义域为，故是偶函数，故A正确；由函数的值域是,知道，0,，所以，，故B正确；由，所以，所以， ，所以，所以，所以，故C错误；因为，所以当时，，当时，，，故对任意，都存在，，故D正确.故选：ABD.12.已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a可以为（）A.B.1C.2D.0【答案】BC【解析】【分析】结合函数奇偶性得到，题目条件变形后得到，令，则在上单调递增，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出，得到答案.【详解】①中将换为得，，又是奇函数，是偶函数，所以，故②，①＋②得，，对于任意，都有，故，即，令，则在上单调递增，若，则，不满足在上单调递增，舍去，若，则要满足，解得， 故AD错误，BC正确.故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为________.x1234f(x)1313g(x)3232【答案】2或4【解析】【分析】对于的任一取值，分别计算和的值若两个值相等，则为正确的值.【详解】当时，，不合题意.当时，，符合题意.当时，，不合题意.当时，，符合题意.故填或.【点睛】本小题主要考查函数的对应法则，考查复合函数求值.在计算这类型题目的过程中，往往先算出内部函数对应的函数值，再计算外部函数的函数值.属于基础题.14.李华自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，李华对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付____________元．②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_________【答案】①.90②.10【解析】【分析】（1）根据题意可得顾客需要支付的费用；（2）设是总价，据题意，在时，列出不等式，解之可得，注意分类讨论． 【详解】（1）顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，由草莓40元/盒，西瓜60元/盒，得总价为元.因为一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付10元，所以支付元（元）；（2）设订单总价为，若，没有优惠，符合题意；若，则，，而，所以，最大值为．故答案为：（1）90；（2）10.15.写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．①；②在单调递增；③偶函数．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据性质①②③找出符合题意的一个.【详解】由性质②在单调递增；③是偶函数，可以取二次函数，经检验，对性质①也符合.故答案为：（答案不唯一）16.已知，，设不等式的解集为，则不等式的解集为______．【答案】或【解析】【分析】利用韦达定理可得a、b、c、d的关系，代入目标不等式求解可得.【详解】由题知，为方程的两根，因为所以所以 解方程得，因为，所以不等式的解集为或.故答案为：或四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知（）．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，有实数解，求a范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将代入得，再代入不等式移项通分，进而解分式不等式得到答案.（2）由题意得，令，进而利用单调性和不等式的性质求的值域，于是得到a的范围.【小问1详解】当时，.代入原不等式：，即，移项通分，解得.∴原不等式的解集为【小问2详解】由于在上有解，所以，即求在值域， 由于在单调递增，所以，于是，即.所以．18.已知表示不超过x的最大整数，称为高斯取整函数，例如，，不等式的解集为A，不等式的解集为B．（1）求，（2）已知，正数a，b满足，求的最小值．【答案】（1），（2）5【解析】【分析】（1）根据一元一次不等式得集合，由一元二次不等式可得集合，再根据集合的并集及补集与交集的运算即可；（2）根据集合与元素的关系可得，再利用基本不等式即可得最值.【小问1详解】不等式，解得，即，，解得，即，所以，由于或，所以.【小问2详解】因为，所以，因为，，所以， ，当且仅当即，时，取得最小值，最小值为5．19.已知集合A＝{x||x|－2≤0}，集合．（1）设a为实数，若集合C＝{x|x≥3a且x≤2a＋1}，且C⊆（A∩B），求a的取值范围：（2）设m为实数，集合，若x∈（A∪B）是x∈D的必要不充分条件，判断满足条件的m是否存在，若存在，求m的取值范围：若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在；.【解析】【分析】（1）根据解绝对值不等式的公式，结合分式的性质、交集的定义、子集的性质进行求解即可；（2）根据必要不充分条件的定义，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.【小问1详解】，所以，，所以，（1）由已知得，①时，，此时满足题意；②时，，要满足题意需综上所述，a取值范围是；【小问2详解】由已知得，由题意得D是的真子集， 所以，要满足题意需（等号不同时成立）答：满足条件的m存在，取值范围是．20.已知函数（）（1）判断函数在内的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在m，使得为偶函数？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）函数在内单调递减，证明见解析（2）存在；【解析】【分析】（1）结合指数运算利用单调性定义证明单调性即可；（2）根据偶函数的定义列方程求解即可得m的值.【小问1详解】函数在内单调递减，理由如下：任取，，且则由于，可得，所以，，，所以，即，所以当m取任意实数时，函数在内单调递减【小问2详解】假设存在m，使得函数为偶函数，的定义域为，所以由，即，即， 可得，解得因此，存在，使得为偶函数21.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间的表达式：讨论的单调性，说明其实际意义并结合实际意义给出合理建议．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意列不等式求解即可得答案；（2）根据实际意义得函数的表达式，再根据分段函数确定函数单调性即可得结论.【小问1详解】由题意得且．化简得，即．所以或．综上所述，当时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间．【小问2详解】①若，则．②若，则． 所以．当时，单调递减；所以当时，的对称轴为，所以单调递减且，单调递增．综上所述，单调递减，单调递增即：当S中的自驾人数比例在时，人均通勤时间随着成员自驾的比例增加而减少；当S中的自驾人数比例在时，人均通勤时间随着成员自驾比例增加而增加，当S中32.5%的成员自驾时，该地上班族S的人均通勤时间达到最小值36.875分钟．实际意义是：自驾人数在一定范围内增加时，交通顺畅；当随着范围进一步增加，交通拥堵，导致通勤时间增多．所以，对该地区要限制自驾人数．22.设函数的定义域是，且对任意的正实数x、y都有恒成立，已，且时，（1）求与的值；（2）求证：函数在上单调递减；（3）解不等式【答案】（1），（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据抽象函数的性质结合，采用赋值法求解与的值即可； （2）设，则，根据时，可得的符号，从而证得单调性；（3）结合抽象函数的性质将不等式转化为，结合单调性解不等式即可得的取值集合.【小问1详解】令，，则，故令，则可得，令，得，【小问2详解】设，则即，∵，故，即，故在上单调递减【小问3详解】由于，所以所以，即．因为在上单调递减，所以，解得或， 所以不等式的解为：.