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山东省青岛市莱西市2022-2023学年高一数学下学期期末试题(Word版附解析)

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高一学业水平阶段性检测(四)数学试题本试卷共22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,请将答题卡上交.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.对于下列四个命题:①满足的复数只有、;②若、,且,则是纯虚数;③复数的充要条件是;④在复平面内,轴叫做实轴,轴叫做虚轴.其中真命题的个数为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解方程,可判断①;取,可判断②;设,由可求得的值,可判断③;利用复平面的相关知识可判断④.【详解】对于①,由可得,解得,①错;对于②,当时,则,此时,为实数,②错;对于③,设,若,所以,复数的充要条件是,③对;-20- 对于④,在复平面内,轴叫做实轴,轴叫做虚轴,④对,所以,真命题的个数为.故选:C.2.若直线不平行于平面,且,则下列结论成立的是()A.内不存在与异面的直线B.内存在与平行的直线C.内存在唯一一条直线与相交D.内存在与垂直的直线【答案】D【解析】【分析】利用图形判断A选项;利用反证法可判断B选项;设,取内所有过点的直线可判断C选项;利用线面垂直的性质可判断D选项.【详解】因为直线不平行于平面,且,则直线与平面相交,对于B选项,若内存在与平行的直线,则,且,,则,与题设矛盾,B错;对于A选项,如下图所示:设,设直线满足,且,在平面内存在直线,使得,且,由A选项可知,与不平行,若,则、,且、,从而有,与题设矛盾,故与异面,即在平面内存在直线与直线异面,A错;对于C选项,设,则平面内所有过点的直线均与直线相交,C错;对于D选项,设,在直线上取异于点的一点,设点在平面内的射影为点,连接,在平面内存在直线,使得,因为,,则,-20- 因为,、平面,所以,平面,因为平面,所以,,故内存在与垂直直线,D对.故选:D.3.如果一组数据的中位数比平均数小很多,则下列叙述一定错误的是()A.数据中可能有异常值B.这组数据是近似对称的C.数据中可能有极端大的值D.数据中众数可能和中位数相同【答案】B【解析】分析】根据中位数、平均数、众数的定义说明.【详解】中位数表示一组数据的一般水平,平均数表示一组数据的平均水平,如果这两者差不多,说明数据分布较均匀,也可以看作近似对称,但现在它们相关很大,说明其中有异常数据,有极端大的值,众数是出现次数最多的数,可能不止一个,当然可以和中位数相同,因此只有B错误.故选:B.【点睛】本题考查样本数据特征,掌握它们的概念是解题基础.4.抛掷2枚质地均匀的硬币,设事件“第一枚硬币正面向上”,事件“第二枚硬币反面向上”;下列结论正确的是()A.B.与互斥C.与相等D.与是对立事件【答案】A【解析】【分析】根据事件发生的结果,仔细辨别对立事件、互斥事件和相等事件即可.【详解】A选项,因为,所以,故A选项正确;B选项,事件与可以同时发生,所以与不是互斥事件,故B选项错误;C选项,事件与可以同时发生,也可能不同时发生,所以与不相等,故C选项错误;D选项,事件与可以同时发生,所以与不是对立事件,故D选项错误;故选:A.-20- 5.为了得到函数的图象,只需把函数的图象上的所有点()A.向左平移个单位长度,然后把图象上各点的坐标纵坐标伸长到原来的2倍B.向右平移个单位长度,然后再把图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍C.向左平移个单位长度,然后再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍D.向右平移个单位长度,然后再把图象上每点的纵坐标缩短到原来的倍【答案】A【解析】【分析】用辅助角公式先把函数化为,再用三角函数的图象变换法则即可求解.【详解】因为,把的图象上的所有点向左平移个单位长度后,得到的图象,然后再把图象上各点的坐标纵坐标伸长到原来的2倍即可得到的图象.故选:A6.已知,,点P在直线上,且,则点P的坐标为()A.B.C.或D.或【答案】C【解析】【分析】-20- 设点P的坐标为,表示出,的坐标,由且P在直线上,故分或两种情况讨论,根据向量相等得到方程组,解得.【详解】解:设点P的坐标为,,则,.由且点P在直线上,得或.∴或解得或∴点P坐标为或.故选:【点睛】本题考查向量的坐标运算,属于基础题.7.对于,若存在,满足,则称为“类三角形”.“类三角形”一定满足.A.有一个内角为B.有一个内角为C.有一个内角为D.有一个内角为【答案】B【解析】【分析】由对称性,不妨设和为锐角,结合同角三角函数关系进行化简求值即可.【详解】解:由对称性,不妨设和为锐角,则A,B,所以:+=π﹣(A+B)=C,于是:cosC=sin=sin(+)=sinC,即:tanC=1,解得:C=45°,故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值,注意新定义运算法则,诱导公式的应用,属于中档题.-20- 8.在三棱锥中,,若该三棱锥的体积为,则三棱锥外接球的体积为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得等腰直角三角形和等腰直角三角形,取的中点,明确其为外接球的球心,根据线面垂直的判定定理,分割三棱锥,利用其体积公式,求得半径,结合球的体积公式,可得答案.【详解】由题意可作图如下:设的中点为,的中点为,连接,因为,,,所以,所以.所以为三棱锥外接球的球心,设其半径为,又,且,所以,,则,又由,,且,平面,则平面所以,解得,-20- 所以外接球的体积.故选:B.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知复平面内表示复数:的点为,则下列结论中正确的为()A.若,则B.若在直线上,则C.若为纯虚数,则D.若在第四象限,则【答案】CD【解析】【分析】根据复数的基本概念直接判断选项即可.【详解】对于A,若,则,得,故A错误;对于B,因为在直线上,所以,则,故B错误;对于C,若为纯虚数,则,即,此时虚部不为0,故C正确;对于D,若在第四象限,则,解得,故D正确.故选:CD10.为调查禽类某种病菌感染情况,某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值.养殖场将某周的5000只家禽血液样本中指标的检测数据进行整理,绘成如图所示的频率分布直方图.根据该频率分布直方图,对于这5000只家食血液样本中的指标值,下列的叙述正确的为()-20- A.估计指标值的中位数为B.估计A指标值的80%分位数为9C.估计A指标值的众数为7.5D.估计A指标值的第25百分位数为【答案】ABD【解析】【分析】根据题意,由频率分布直方图分别计算中位数,众数以及百分位数即可得到结果.【详解】由题意可知,,解得,因为,,所以中位数在之间,设中位数为,则,解得,故A正确;观察频率分布直方图可得,的频率最大,所以众数为8,故C错误;由频率分布直方图可知,前两组的频率之和为,小于,所以第25百分位数位于第3组,则,故D正确;且前四组的频率之和为,所以80%分位数为9,故B正确;故选:ABD11.一个袋子中有标号分别为、、、的四个球,除了标号外没有其它差异,现采用不放回方式从中任意摸球两次,设事件“第一次摸出球的标号小于”,事件“第二次摸出球的标号小于”,则下列选项正确的为()A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】列举出所有的基本事件,确定每个选项中各事件所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得各选项中事件的概率.【详解】采用不放回方式从中任意摸球两次,所有的基本事件有:、、、、、、、、、、、,共种,-20- 对于A选项,事件包含的基本事件有:、、、、、,共种,则,A错;对于B选项,事件包含的基本事件有::、、、、、、、、、,共种,则,B对;对于C选项,事件包含的基本事件有:、,共种,故,C对;对于D选项,事件包含的基本事件有:、、、、、,共种,故,D错.故选:BC.12.三棱锥满足下列两个条件:①;②.若,记二面角的大小为,则下列选项中可以取到的为()A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】设,,,将三棱锥沿着、、剪开,然后将、分别沿着、都展开在所在的平面内,延长、交于点,则四边形为正方形,计算得出,在三棱锥中,过点在平面内作,连接,推导出,利用基本不等式计算的取值范围,结合余弦函数的单调性可得出的范围,即可得出合适的选项.【详解】设,,,将三棱锥沿着、、剪开,然后将、分别沿着、都展开在所在的平面内,-20- 如下图所示,得五边形,由题设知,,延长、交于点,则四边形为正方形,且,,,在中,有,互,解得,在三棱锥中,过点在平面内作,连接,因为,,,、平面,所以,平面,因为平面,所以,,因为,,、平面,所以,平面,因为平面,所以,,故为二面角的平面角,则,因为平面,平面,所以,,故,在中,,在中,,从而,而余弦函数在时单调递减,所以,,故选:CD.-20- 【点睛】方法点睛:求二面角常用的方法:(1)几何法:二面角的大小常用它的平面角来度量,平面角的作法常见的有:①定义法;②垂面法,注意利用等腰三角形的性质;(2)空间向量法:分别求出两个平面的法向量,然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若圆锥的底面半径为,其侧面展开图的面积为,则该圆锥的高为_______.【答案】【解析】【分析】求出圆锥的母线长,利用勾股定理可求得该圆锥的高.【详解】设该圆锥的母线长为,高为,圆锥的侧面积为,可得,因此,该圆锥高为.故答案为:.14.已知,则在上的投影向量的坐标为_______;【答案】【解析】【分析】根据题意,先由平面向量的坐标运算得到,然后由投影向量的定义,代入计算,即可得到结果.【详解】因为,则在上的投影向量的坐标为:.故答案为:.15.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字,记为,再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为,且,,若,则称甲乙“心有灵犀”-20- 现任意找两个人玩这个游戏,得出他们”心有灵犀”的概率为______.【答案】【解析】【分析】由题意知是古典概型,从0~9中任意取两个数共有100种取法,列出满足所有可能情况,代入公式得到结果.【详解】由题意知本题是一个古典概型,试验发生的所有事件是从,,,,,,,,,十个数中任取两个共有种不同的结果,则的情况有;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;共种情况,他们”心有灵犀”的概率为.故答案为:.16.设锐角三角形的内角所对的边分别为,,则的取值范围为__________.【答案】【解析】【详解】由正弦定理及有,所以,则,由已知有,所以.点睛:本题主要考查了正弦定理,两角差正弦公式以及两角和正弦公式的逆用,属于中档题.本题关键是灵活运用这些公式.-20- 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知复数和满足:,若,求和.【答案】答案见解析【解析】【分析】由可得,代入化简,然后设代入上式化简,再利用复数相等的条件列方程组可求得结果.【详解】解:由可得:,将其代入可得:,设,则,化简得,∴解之得:或,或当时,;当时,.18.试分别解答下列两个小题:(1)设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,记事件“方程没有实根”,事件“方程有且仅有一个实根”,求.(2)甲、乙、丙三位同学各自独立地解决同一个问题,已知这三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为,记“三人中只有一个人正确解决了这个问题”,求.【答案】(1)-20- (2)【解析】【分析】(1)用古典概型的概率公式分别算出和,进而可得结果;(2)分别计算出只有甲、乙、丙正确解决这个问题的概率,从而可得.【小问1详解】设样本空间为,则,样本点的个数为36个,,为满足,必须:当时,;当时,;当时,;当时,.中样本点的个数为17个,,,为满足,必须:当时,;当时,,中样本点的个数为2个,【小问2详解】∵这三位同学能够正确解决这个问题的概率分别为,∴仅甲同学单独解决了这个问题的概率为:仅乙同学单独解决了这个问题的概率为:-20- 仅丙同学单独解决了这个问题的概率为:19.如图,在三棱锥中,作平面,垂足为,连接并延长交棱于点为棱上的一点,若,二面角的大小与相等,求证:平面.【答案】证明见解析【解析】【分析】连接,推出平面,,得为二面角的平面角,根据推出,再根据线面垂直的判定可得平面.【详解】连接,平面,平面,,,平面,平面,因为平面,,因为平面,又,为二面角的平面角,,平面平面,又,,,从而,平面平面-20- 20.试分别解答下列两个小题:(1)已知向量和都是非零向量,且与垂直,与垂直,记向量与的夹角为,求.(2)在中,内角的对边分别为,若.试将表示成关于的表达式,并求出的取值范围.【答案】(1)(2);【解析】【分析】(1)由已知可得,解得,然后利用向量的夹角公式求解出,再利用两角差的正切公式可求得结果;(2)利用数量积的定义结合余弦定理可得,再利用基本不等式求出的范围,从而可求得的取值范围.【小问1详解】因为与垂直,与垂直,所以,,解得,所以,-20- 因为,所以,所以,【小问2详解】因为,所以,因为所以所以,因为,,,当且仅当时取等号,所以,当且仅当时取等号,所以所以21.如图,四边形是边长为2的正方形,平面,且为的中点.(1)求证:;(2)设平面平面与直线所成的角为,求.【答案】(1)证明见解析-20- (2)【解析】【分析】(1)过作交于,连接,然后利用三角形中位线定理结合已知条件可得四边形为平行四边形,则,由已知线面垂直可得,从而可证得结论;(2)延长和交于点,连接和,则可得与重合,证得,从而可得为与直线所成的角,进而可求得结果.【小问1详解】过作交于,连接,为的中点,为的中点,,且,∴四边形为平行四边形,平面,面,,∴【小问2详解】延长和交于点,连接和,∵平面平面,与重合,,∴∽,从而,∵四边形是正方形,,从而为平行四边形,-20- 由(1)可知,,为与直线所成的角,即,在边长为2的正方形中,,22.如图,正方形的边长为1,分别为边上的点,的周长为2.(1)求的大小;(2)设,试将表示为的函数,并求出的最大值及相应的.【答案】(1)(2);时,【解析】【分析】(1)设,,即可得到,再由,,利用两角和的正切公式求出,即可得解;(2)首先表示、,根据利用二倍角公式及辅助角公式化简,再根据正弦函数的性质计算可得.【小问1详解】设,,则,的周长为,,-20- 化简得,∵正方形的边长为1,,从而,,,,,从而,【小问2详解】,,其中,在中,,,在中,,,,,,当,即时,.-20-

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所属: 高中 - 数学
发布时间:2023-10-13 17:48:03 页数:20
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文章作者:随遇而安

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