山东省青岛市莱西市2022-2023学年高二数学下学期期末试题（Word版附解析）

高二学业水平阶段性检测（四）数学试题本试卷共22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，请将答题卡上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于下列命题，其中为真命题的是（）A.所有的素数都是奇数B.，是无理数C.在平面直角坐标系中，至少有一个二次函数的图象与y轴不相交D.命题“至少有一个整数n，使得为奇数”的否定【答案】D【解析】【分析】分别对各选项判断即可得出结论.【详解】最小的素数是2,而2不是奇数，故A是假命题；令，则是无理数，而是有理数，故B是假命题；二次函数,令代入均有，故二次函数的图象与y轴相交，故C是假命题；知:当为奇数时,为偶数,当为偶数时,为奇数,所以不可能为奇数；故命题“至少有一个整数n，使得为奇数”是假命题,则命题的否定为真命题；故选：D.2.已知，化简，其结果为（） A.B.4C.5D.7【答案】C【解析】【分析】利用对数与指数幂运算求解即可.【详解】.故选：C.3.已知随机变量X的分布列如下表所示：随机变量，则下列选项正确的为（）X01P0.20.8A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据两点分布求，再根据期望、方差的性质求.【详解】由题意可得：随机变量X服从两点分布，其中，所以，又因为，所以，故A、B、C错误，D正确.故选：D4.若，且，则下列不等式中一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】题目已知，且，于是可以推出得到最大数和最小数,而为正、负、零均有可能，所以每个选项代入不同的,逐一验证.【详解】解：且. 当时,,则,与已知条件矛盾,所以必有,同理可得.A项,，即，故A项正确;B项,，即，故B项错误;C项,时,,故C项错误;D项,当,,时,,故D项错误.故选A【点睛】本题主要考查给定条件判断不等式的性质，注意考虑的正负.5.某工厂经过节能降耗技术改造后，在生产其产品的过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的一些数据如下表所示：x23456y56m1925已知根据所给数据得到的y关于x的经验回归方程为，对应的经验回归直线为l.现发现表中有个数据看不清，且用m来表示，则下列说法正确的为（）A.看不清的数据B.l过点C.据该模型可以预测：产量为8吨时，相应的生产能耗为33.2吨D.l的斜率5.3可以解释为：产量每增加1吨，相应的实际生产能耗就一定能增加5.3吨【答案】B【解析】【分析】根据经验回归的概念和性质逐项分析判断.【详解】对于选项A：由题意可得：，则，可得，解得，故A错误；对于选项B：因为经验回归直线l过样本中心点，即，故B正确；对于选项C：令时，则，所以据该模型可以预测：产量为8吨时，相应的生产能耗为34.2吨，故C错误；对于选项D：l的斜率5.3可以解释为：产量每增加1吨，相应的实际生产能耗大约增加5.3吨，并不是一 定，故D错误；故选：B.6.函数的零点的个数及其分布情况为（）A.的零点个数为1，在内B.的零点个数为2，分别在，内C.的零点个数为3，分别在，，内D.的零点个数为3，分别在，，内【答案】D【解析】【分析】利用导数判断原函数单调性，结合零点存在性定理分析判断.【详解】由题意可得：，令，解得或；令，解得；则在上单调递减，在上单调递增，且，又因为函数图象连续不间断，所以的零点个数为3，分别在，，内.故选：D.7.某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（）A.0.34B.0.37C.0.42D.0.43【答案】C【解析】【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解. 【详解】设事件表示“两道题全做对”，若两个题目都有思路，则,若两个题目中一个有思路一个没有思路，则，故,故选：C8.已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设，由题意得到为偶函数且在上单调递减，由将原不等式转化为和，函数的单调性解不等式即可.【详解】由，得，因为，所以，即，设，则在上单调递减，而，则，解得：；因为为R上的奇函数，所以，则为R上的偶函数，故在上单调递增，， 则，解得：；综上，原不等式的解集为.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（）A.B.A的不同子集的个数为8C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据题意利用韦恩图逐项分析判断.【详解】由题意可知：，，所以，故A正确；集合A有3个元素，所以A的不同子集的个数为，故B正确；，故C正确；因为，所以，故D错误；故选：ABC.10.甲、乙、丙、丁、戊、己六名学生站成一排照相，则下列选项正确的为（）A.若甲和乙站在两端，则不同站法的种数为48B.若甲不站排头，乙不站排尾，则不同站法的种数为480C.若甲不站两端，乙和丙相邻，丁和戊相邻，则不同站法的种数为48D.若甲、乙、丙三名学生两两不相邻，且丁、戊、己三名学生也两两不相邻，则不同站法的种数为72 【答案】ACD【解析】【分析】利用分步乘法原理，结合捆绑法、间接法与插空法对选项逐一分析判断即可.【详解】对于A，由于甲和乙站在两端，故有种站法，再将其余四人全排列，有种站法，所以一共有种不同站法，故A正确；对于B，六名学生全排列有种站法，甲站排头有种站法，乙站排尾种站法，甲站排头且乙站排尾有种站法，所以甲不站排头，乙不站排尾有种不同站法，故B错误；对于C，乙和丙相邻，丁和戊相邻，将他们分别捆绑在一起，共有种方法，将他们看作两个元素，与甲、己进行排列，由于甲不站两端，故有种方法，所以甲不站两端，乙和丙相邻，丁和戊相邻有种不同站法，故C正确；对于D，将甲、乙、丙全排列，有种站法，将丁、戊、己全排列，也有种站法，将甲、乙、丙插到丁、戊、己之间的空隙中，有种方法，所以甲、乙、丙三名学生两两不相邻，且丁、戊、己三名学生也两两不相邻有种不同站法，故D正确.故选：ACD.11.已知函数，若，则下列选项中正确的为（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】 【分析】利用导数说明的单调性，求出的最大值，即可判断A、B，令，利用导数说明单调性，即可判断C，令，利用导数说明单调性，即可判断D.【详解】因为，所以，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，且当时，当时，又，若成立，即在上单调递减，显然不符合题意，故A错误；因为，所以，故B正确；令，则，当时，所以在上单调递增，因为，所以，即，故C错误；令，则，令，，则，所以当时，即在上单调递增，则，所以在上恒成立，所以在上单调递增，因为，所以，即，即，故D正确；故选：BD12.已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的为（）A.B.C.D.【答案】CD 【解析】【分析】利用配方法求出函数值域可判断A；的解集为可判断B；利用韦达定理可判断CD.【详解】函数，因为函数的值域为，所以，即，故A错误；对于B，由得，因为解集为，所以，故B错误；对于C，由、得，故C正确；对于D，由得，因为的解集为，所以，得，所以，整理的，故D正确.故选：CD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为_________.【答案】【解析】【分析】根据根式、对数的性质有求解集，即为函数的定义域.【详解】由函数解析式知：，解得， 故答案为：.14.在的二项展开式中，各项的二项式系数之和为，则展开式中的系数为______（用数字填写答案）；【答案】280【解析】【分析】依题意可得，即可求出，再写出展开式的通项，从而求出展开式中的系数.【详解】依题意可得，则，所以展开式的通项为（且），令，解得，所以，所以展开式中的系数为.故答案为：15.已知随机变量服从正态分布，且方程有实数根的概率为0.5.若，则______；【答案】0.5##【解析】【分析】根据题意结合二次方程的判别式可得，进而结合正态分布的对称性运算求解.【详解】若方程有实数根，则，解得，可得，则，所以.故答案为：.16.若函数（且）既有极大值又有极小值，则a的取值范围为______.【答案】且. 【解析】【分析】先求导，令，由导数研究函数的图象，有两个不相等的实数根则等价于既有极大值又有极小值，从而得解.【详解】由题，令，则，所以有两个不相等的实数根.令，则，若，则时，在单调递减，则时，在单调递增，，所以，故，若，则时，在单调递增，则时，在单调递减，，所以，故或，所以且. 故答案为：且.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某单位文娱队中的每一位队员对于唱歌、跳舞都至少会一项，已知会唱歌的有4人，会跳舞的有5人，现从中选出2人参与一次社会公益演出.设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且.（1）求该文娱队的队员人数；（2）求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1）7（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）设该文娱队中既会唱歌又会跳舞的有m人，则文娱队共有人，只会一项的是人，利用，可得，从而可求出结果，（2）由题意可知可能的取值为0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出随机变量的分布列和数学期望.【小问1详解】设该文娱队中既会唱歌又会跳舞的有m人，则文娱队共有人，只会一项的是人.，即，化简得，又，解得：，该文娱队的队员人数为7； 【小问2详解】可能的取值为0，1，2，由（1）可知，该文娱队共有7人，既会唱歌又会跳舞的有2人，只会一项的是5人.，，，的分布列为012P.18.已知函数的定义域为A，的解集为B，，函数的值域为D.（1）若“”是“”的充分条件，求m的取值范围；（2）若，且，求m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意求集合A，B，由充分条件可知，列式求解即可；（2）先由解得，再求解集合D，结合子集关系运算求解【小问1详解】因为，，所以， 又因为“”是“”的充分条件，可得则，解得，所以m的取值范围为.【小问2详解】因为，则，解得，因为，可得，由可得：，解得或，所以，可知，又因为，则，解得，综上可知：m的取值范围.19.已知是定义在实数集上的偶函数，当时，.（1）求在实数集上的解析式；（2）判断在上的单调性；（3）设，，，，试比较a，b，c，d的大小，请写出判断过程并按从大到小的顺序排起来，用“>”连接.【答案】（1），（2）在上为减函数 （3）过程见解析，【解析】【分析】（1）利用的奇偶性求得时的解析式，从而求得在实数集上的解析式；（2）利用导数法或定义法，结合指数函数的性质即可得解；（3）利用指数函数与对数函数的性质判断得自变量的大小，从而利用的单调性即可得解.【小问1详解】因为当时，，所以当时，，则，是定义在实数集R上的偶函数，，从而，又当时，综上可知，对于，【小问2详解】法一：导数法因为当时，，所以，，，从而，，在上为减函数.法二：定义法因为当时，，所以，且， 有，，，从而，，，从而，，又，，，从而，在上为减函数.【小问3详解】是定义在实数集R上的偶函数，，，，，又，，由（2）可知，在上为减函数，.20.某疾病可分为A，B两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了1800名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的，男性患A型疾病的人数为男性患者人数的，女性患A型疾病的人数是女性患者人数的.（1）根据所给信息完成下列列联表：性别疾病类型合计A型B型男 女合计（2）基于（1）中完成的列联表，依据小概率值的独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关?（3）某团队进行预防A型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为9元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为，如果第一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中1人用于接种疫苗的费用为，求.附：，0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析；（2）有关；（3）34.【解析】【分析】（1）根据给定信息计算，完善列联表.（2）求出的观测值，与临界值表比对作答.（3）求出的可能值及各个值对应的概率，再求出期望作答.【小问1详解】设男性患者人数为m，则女性患者人数为，由可得：，因此男性患者人数为1200，女性患者人数为600，男性患A型疾病的人数为，女性患A型疾病的人数是列联表如下：性别疾病类型合计 A型B型男8004001200女450150600合计12505501800【小问2详解】零假设：所患疾病的类型与性别无关，根据列联表中的数据，经计算得到，由于，依据小概率值的独立性检验，可以认为所患疾病的类型与性别有关.【小问3详解】接种疫苗的费用可能的取值为27，54，，，则的分布列为2754P期望为.21.定义一种新的运算“”：，都有.（1）对于任意实数a，b，c，试判断与的大小关系；（2）若关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；（3）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围.【答案】（1） （2）或（3）且【解析】【分析】（1）根据题意，由函数新定义运算即可得解；（2）由函数新定义运算即可得解，再利用函数零点的概念解不等式即可；（3）用换元法可判断出，先由的值域为，可得出的值域为，再由可解得实数m的取值范围.【小问1详解】，，【小问2详解】原不等式可化为：，即，满足题意，必有，即或①令，由于，，结合①可得：，的一个零点在区间，另一个零点在区间，从而，即② 由①②可得：或【小问3详解】，设，令，，则，，，的值域为，的值域为根据题意可知：，解之得：且【点睛】关键点睛：理解函数新定义，用对数运算知识得出函数解析式是关键，从而用函数的性质、不等式的性质以及零点的概念解之.22.已知函数（且），（1）讨论函数的极值；（2）当时，若在上恒成立，求实数b的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求导，利用导数研究函数单调性、极值；（2）恒成立问题，分离参数得到：，令，则,求导，利用导数研究函数的单调性，找到最小值.【小问1详解】 的定义域为，当时，，，在上为增函数，此时没有极值；当时，由可得：，时，，为减函数；时，，为增函数没有极大值，仅有一个极小值，；综上所述：当时，没有极值；当时，，无极大值.【小问2详解】当时，分离参数得：令，则，令，则，在上为增函数，由于，，所以，使得.当时，，，为减函数；当时，，，为增函数， ，由可得：，从而（*），令，则（*）可表示为：，，，故为增函数，从而，也即，，从而.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；