四川省宜宾市第四中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题（Word版附解析）

宜宾市四中高2023级高一上期期中考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题，.则为（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定，改量词、否结论，即可得出结果.【详解】命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，先改写量词，然后否定结论即可得到，该命题的否定为“，”.故选：C.【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题型.2.若集合，则A∩B＝（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先化简集合，再求交集即可．【详解】由题意，得，所以．故选：D3.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 【分析】利用不等式的基本性质，通过充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件的定义求解.【详解】因为，所以，两边同乘以a，得，故必要.当时，不成立，故不充分.故选：B【点睛】本题主要考查不等式的基本性质和充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件的定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题4.函数的图象是下列图象中的A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据比例函数平移即可得到答案.【详解】函数向右平移个单位，得到的图象，向上平移个单位，可得函数的图象，函数的图象关于点对称，且过原点，故选：B5.函数的单调递减区间为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】求得函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的单调递减区间.【详解】对于函数，则，即，解得.所以，函数的定义域为.内层函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，外层函数为定义域上的增函数，因此，函数的单调递减区间为.故选：C.【点睛】本题考查利用复合函数法求解函数的单调区间，解题时不要忽略了函数定义域的求解，考查计算能力，属于中等题.6.设，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】化简得，再利用基本不等式可得的最小值，由题意可得，即可得到所求范围．【详解】解：，，，则，当且仅当，，，上式取得等号，由不等式恒成立，可得，故选：B 7.已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题可知f(x)在[0，＋∞)单调递增，由f(x)是偶函数知其在(－∞，0)单调递减，则距离y轴越近，函数值越小，即自变量绝对值越小，函数值越小﹒【详解】由题可知f(x)在[0，＋∞)单调递增，由f(x)是偶函数知其在(－∞，0)单调递减，则距离y轴越近，函数值越小，即自变量绝对值越小，函数值越小﹒∵||＜|－2|＜|23|，∴＜＜﹒故选：A﹒8.关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（）A.B.C.D.且【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程根的分布，结合韦达定理即可求解.【详解】根据题意可知；，由韦达定理可得，解得，故选：B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合，，那么下列关系正确的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系可判断各选项的正误.【详解】，，，，.故选：ACD.10.已知集合，，若，则实数a的值可以为（）A.2B.1C.D.0【答案】BCD【解析】【分析】由题意，分类讨论求解集合并验证即可.【详解】方程解得或，∴，当时，方程解得，则，满足，选项D正确；当时，方程解得，则，满足，选项B正确；当且时，方程解得或，则，要满足，则，即，选项C正确；故选：BCD．11.已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值可能是（）A.B.C.1D.2【答案】AB【解析】 【分析】由，，可得：，求出函数的最大值即可.【详解】由，，可得：，设，当时，，当且仅当时取等，所以，故AB正确，CD错误.故选：AB.12.已知函数的定义域为，为奇函数，且对，恒成立，则（）A.为奇函数B.C.D.是以为周期的函数【答案】BCD【解析】【分析】根据函数定义换算可得为偶函数，根据偶函数和奇函数性质可知为周期函数，再根据函数周期性和函数特殊值即可得出选项.【详解】因为为奇函数，所以，故，又，所以，故，所以，为偶函数，A错误；为奇函数，所以，，所以，B正确；，又的图象关于点对称，所以，所以，C正确；又，则，所以是以为周期函数，D对． 故选：BCD．第II卷非选择题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数是上的严格减函数，则k的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据一次函数的单调性可得结果.【详解】因为函数是上的严格减函数，所以，得，所以k取值范围为.故答案为：.14.设全集，集合，则______.【答案】【解析】【分析】利用集合的补运算即可求解.【详解】，则.故答案为：15.已知是上的严格增函数，那么实数的取值范围是_____________．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的单调性，结合一次函数与二次函数的单调性得到关于的不等式，解之即可.【详解】因为是上的严格增函数， 当时，在上单调递增，所以，则；当时，，当时，，显然在上单调递减，不满足题意；当时，开口向下，在上必有一段区间单调递减，不满足题意；当时，开口向上，对称轴为，因为在上单调递增，所以，则；同时，当时，因为在上单调递增，所以，得；综上：，即故答案为：.16.函数的值域为______.【答案】【解析】【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可求解.【详解】设，，则，所以，等号成立所以函数的值域为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，或．（1）若，求；（2），求实数a的取值范围．【答案】（1）或； （2）或.【解析】【分析】（1）应用集合的并运算求即可；（2）由题意，讨论、分别求a的范围，然后取并.【小问1详解】由题设，而或，所以或.【小问2详解】由知：，当时，可得，满足；当时，且或，可得或.综上，或.18.已知，且（1）求的最大值；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用基本不等式的直接法即可求得答案.（2）利用“”的代换，即可求得的最小值.【小问1详解】因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.【小问2详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.19.设函数．（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；（2）若对于一切实数，恒成立，求取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，求解即可；（2）根据二次函数恒成立，结合对参数的分类讨论，即可求得结果.【小问1详解】根据题意可得为方程的两根，则，，解得.【小问2详解】根据题意，对任意的恒成立， 当时，恒成立，满足题意；当时，要满足题意，则，解得；综上所述，.20.已知函数是定义域为上的奇函数，且.（1）求b的值，并用定义证明：函数在上是增函数；（2）若实数满足，求实数的范围.【答案】（1），证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得，即有，解可得，设，由作差法分析可得答案；（2）根据题意，原不等式变形可得，解可得的取值范围，即可得答案．【小问1详解】根据题意，函数是定义域在上的奇函数，则，即有，解可得，则，则，则此时为奇函数，设，则，又，，则，，则，故在上是增函数.【小问2详解】根据题意，，即， 则有，解可得；即的取值范围为．21.首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似的表示为，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【答案】（1）400吨；（2）不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.【解析】【分析】（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为，应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件.（2）根据获利，结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度.【小问1详解】由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为；当且仅当，即时等号成立，故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.【小问2详解】不获利，设该单位每个月获利为S元，则，因为，则，故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损. 22.已知函数对一切实数都有成立，且.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）设当时，不等式恒成立；当时，是单调函数.若至少有一个成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】【详解】试题分析：（1）令，，则由已知，即可求解的值；（2）令，则，再由，即可求解函数的解析式；（3）由不等式，得到，根据二次函数的性质，即可得到集合，又由在上是单调函数，列出不等式，得到集合，即可得到结论.试题解析：（1）令，，则由已知，有（2）令，则，又∵，∴（3）不等式，即，即.当时，，又恒成立，故， 又在上是单调函数，故有，或，∴或∴至少有一个成立时的取值范围或考点：函数性质的综合应用.