湖北省宜昌市部分省级示范高中2023-2024学年高一上学期11月月考数学试卷（Word版附解析）

宜昌市部分省级示范高中2023秋季学期高一年级上学期11月考试数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题中条件，根据交集和补集的概念，即可求出结果.【详解】因为全集，，所以，又，所以.故选：A.2.下列选项中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由奇函数和增函数的性质一一分析即可.【详解】对于A，在上单调递减，故A错误；对于B，在上单调递增，但在定义域内不是增函数，故B错误；对于C，，所以不是奇函数，故C错误；对于D，由，可知在定义域内是奇函数，又，在上是增函数，在上单调递增，且在上连续不断，故在定义域内既是奇函数又是增函数，故D正确；故选：D 3.已知，，，则，，的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的单调性结合中间量“1”即可得解.【详解】解：因为函数为减函数，所以，又因为，所以.故选：A.4.已知函数，则的图象大致是（）AB.CD.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断A选项；由可以判断B、C选项，即可求解.【详解】函数的定义域为，在定义域内有，所以函数在定义域上是偶函数，则A选项错误； 又，则B、C选项错误；故选：D.5.设是实数，则“”的一个必要不充分条件是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】结合幂函数及指数函数的单调性以及特殊值逐项判断即可.详解】选项A，可得或或，反之若则，有取时，故是的既不充分也不必要条件，故A错误，选项B，因为，且函数在上单调递增，所以，不能得出，例如，满足，但此时，反之，则也即，故B正确，选项C，推不出，比如，反之若则有取时，故是的既不充分也不必要条件，故C错误，选项D，，同时，所以是的充要条件，故D错误，故选：B.6.若函数是上的奇函数，且函数在上有最大值2，则函数在上有（）A.最小值B.最大值C.最小值D.最小值0【答案】D【解析】 【分析】设，判断其奇偶性，根据在上有最大值，可确定的最值，结合奇函数性质，即可求得答案.【详解】由题意可设，而函数是上的奇函数，故，即为奇函数，函数在上有最大值2，即在上有最大值1，故在上有最小值-1，则函数在上有最小值0，故选：D7.车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱．根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为6个等级，其等级与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关系式．若花同样的钱买到的1级果比5级果多3倍，且3级果的市场销售单价为55元/千克，则6级果的市场销售单价约为（）（参考数据：）A.156元/千克B.158元/千克C.160元/千克D.164元/千克【答案】A【解析】【分析】利用指数运算，化简求的值.【详解】由题意可知，解得，由，可得．故选：A.8.若实数，满足，则（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】构造函数，然后利用单调性可求解.【详解】因，故，故可构造函数，根据指数函数的性质可得：在上单调递增，而函数在上单调递减，故函数在上单调递增，又由可得，故，所以，故选：C.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列命题正确的是（）A.函数与函数表示同一个函数B.若函数的定义域为，则函数的定义域为C.若，则函数的最小值为2D.若，则【答案】BD【解析】【分析】根据函数的定义域不同判断A；由抽象函数定义域求法可判断B；利用基本不等式求函数最值，由等号取得条件判断C；利用不等式性质计算D.【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不相同，故不是相同的函数，故A错误； 对于B，因为函数的定义域为，所以，解得，所以函数的定义域为，故B正确；对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，由于无实数根，故取不到最小值2，故C错误；对于D，由题意，所以，又因为，所以，又，则，故D正确.故选：BD10.下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.函数的图象过定点D.若函数在内单调递增，则实数的取值范围是【答案】BCD【解析】【分析】选项A根据所给条件化简根式即可，B选项利用完全平方公式计算即可，C选项利用指数型函数过定点判断即可，D选项根据指数（型）函数单调性求参数的取值范围.【详解】选项A，因为，所以，故A错误，选项B，因为，所以，由，所以，故B选项正确， 选项C，当时，，所以函数恒过，故选项C正确，选项D，由函数是由复合而成，由在上单调递增，故由函数在内单调递增，则可知函数在内单调递增，所以，即，故D正确，故选：BCD.11.已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（）A.B.函数为偶函数C.函数在上单调递减，在上单调递增D.函数的值域为【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，由指数函数的性质分析、的值，即可得函数的解析式，据此分析选项，作出函数图象，综合即可得答案．【详解】根据题意，函数的图象过原点，即，则有，又由的图象无限接近直线但又不与该直线相交，则，故，则，故A正确；的定义域为，且，为偶函数，故B正确；函数的图象如下： 由图可得函数在上单调递增，在上单调递减，值域为，故C错误，D正确.故选：ABD.12.若实数x，y满足，，，则（）A.且B.m的最大值为C.n的最小值为7D.【答案】ABD【解析】【分析】根据指数函数的性质判断A，利用基本不等式判断BC，根据指数幂的运算判断D；【详解】对于A：因为，若，则，又，显然不成立，即，同理可得，所以，即且，故A正确；对于B：，即，所以，当且仅当，即，时取等号，即的最大值为，故B正确；对于C：，当且仅当，即，时取等号，故C错误；对于D：， 因为，所以，即，即，即，因为，所以，即，故D正确；故选：ABD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.计算得________．【答案】【解析】【分析】利用指数的运算性质即可求解.【详解】.故答案为：【点睛】本题考查了指数的运算性质，考查了基本运算求解能力，属于基础题.14.若为奇函数，则_______.【答案】【解析】【分析】先根据函数是奇函数求出a的值，再求解.【详解】由题得函数的定义域为R,因为函数是奇函数，所以.所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查奇函数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.15.关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是______．【答案】 【解析】【分析】不等式化为，讨论与1的大小解出不等式即可得出.【详解】关于x的不等式可化为，当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，当时，不等式化为，此时无解，当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，综上，实数a的取值范围是.故答案为：.16.设，，若恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】作出，的大致图象，由恒成立，利用数形结合可得到关于a的不等式，解不等式即可得解.【详解】作出函数的图像，向右平移一个单位得到的图像，如图所示.要使恒成立，必有，即， 又，所以.故答案为：【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是正确作出函数的大致图象，然后根据函数与的图象的关系，数形结合判段的取值范围，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于较难题.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知集合，.（1）求集合和；（2）集合，若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据指数函数的性质得到关于的不等式，求出集合，再求出的补集，求出即可；（2）根据，得到关于的不等式组，求出即可.【小问1详解】由集合可知，，得，解得，所以，因为，，所以【小问2详解】由题意可得， 因为，所以，解得，所以实数的取值范围为18.已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.（1）求函数的解析式；（2）若，求的取值范围；（3）若正实数，满足，求的最小值.【答案】18.19.20.【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式；（2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性求解；（3）由基本不等式求得最小值．【小问1详解】由为幂函数得：，且在上单调递增，所以，又，所以或，当时，为奇函数，不满足题意，当时，为偶函数，满足题意，所以.【小问2详解】 由函数为偶函数，所以且在上单调递增，所以，即，所以的取值范围为：，【小问3详解】因为且，所以，所以，当且仅当且，即时取等号，所以的最小值为.19.已知函数是定义在上的奇函数.（1）当时，求，的值：（2）若函数在上单调递减.（i）求实数的取值范围：（ii）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性得到时的解析式，求出，的值；（2）（i）根据函数开口方向，对称轴，得到不等式，求出；（ii）根据函数的奇偶性和单调性得到不等式，转化为恒成立，求出答案.【小问1详解】当时，，当时，，，因为为定义在上的奇函数，所以，故，所以，所以；【小问2详解】（i）在上单调递减，，开口向下，对称轴为，所以，解得，（ii）为定义在上的奇函数，故，又在上单调递减，故在R上单调递减，故，即恒成立，由于，故，实数的取值范围为. 20.已知函数.（1）判断函数的奇偶性与单调性，并加以证明；（2）设函数，，，利用（1）中的结论求函数的最小值.【答案】（1）奇函数；在，上皆为增函数，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义即可判断的奇偶性，利用单调性定义判断在上的单调性，再结合其奇偶性即可判断上的单调性；（2）化简，并换元，确定t的范围，将化为，讨论二次函数对称轴和给定区间的位置关系，即可求得答案.【小问1详解】判断为奇函数，在，上皆为增函数，证明如下：由题意知函数的定义域为，关于原点对称，，故为奇函数；任取，则，因为，，所以，则，所以，即在上为增函数，又为奇函数，故在上也为增函数. 【小问2详解】，设，由（1）知在上单调递增，故，故即为，其图象对称轴为，当时，在上单调递增，则；当时，在上单调递减，在上单调递增，则；当时，在上单调递减，则；故.21.某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线是以点为圆心的圆的四分之一部分，其中，轴，垂足为；曲线是抛物线的一部分；，垂足为，且恰好等于的半径，假定拟建体育馆的高（单位：米，下同）.（1）试将用和表示；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度不超过75米，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程求得，从而可得半径，即，进而求解出点坐标后，可知；（2）根据题意，恒成立，即恒成立，再根据基本不等式求最值即可得答案.【小问1详解】解：由抛物线方程得：，∵，均为圆半径，，圆的半径为：，∴，入抛物线方程可得，解得，∵曲线是以点为圆心的圆的四分之一部分，其中，轴，垂足为，∴，∴，.【小问2详解】解：∵要求体育馆侧面的最大宽度不超过75米，，整理可得：，，（当且仅当时取等号），，.∴的取值范围为：22.已知函数. （1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；（2）若的最小值为，求实数的值；（3）若对任意的，均存在以，，为三边长的三角形，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【详解】分析：（1）问题等价于恒成立，分类参数后转化为求函数的最值即可；（2）由，令，分三种情况进行讨论求出的最小值，令其为，即可求出的值.（3）由题意对任意恒成立，当时容易判断，当时转化为函数的最值问题即可求解.详解：（1）（2），令，则，当时，无最小值，舍去；当时，最小值不是，舍去；当时，，最小值，综上所述，.（3）由题意，对任意恒成立.当时，因且，故，即；当时，，满足条件；当时，且，故，； 综上所述，.