安徽省淮北市树人高级中学2023-2024学年高一上学期第二次阶段考试数学试题（Word版附解析）

2023－2024学年度高一上第二次阶段考数学试卷一、单选题1.集合的非空真子集共有（）个A.6B.7C.8D.9【答案】A【解析】【分析】先化简A合，再求解即可.【详解】，所以所求非空真子集共有个.故选：A.2.当时，若，且，则称为的一个“孤立元素”，由的所有孤立元素组成的集合称为的“孤星集”，若集合的孤星集为，集合的孤星集为，则(　　)A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据“孤星集”定义，求集合和，即可求交集.【详解】由题知，由条件及孤星集的定义知，集合中的元素，，，所以0不是“孤立元素”，，，，所以1不是“孤立元素”，，，，所以3是“孤立元素”，则，，，，所以0是“孤立元素”，，，，所以3不是“孤立元素”，，，，所以4不是“孤立元素”，则，则． 故选：B3.已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先由得，由基本不等式得，故.【详解】当时，由得，因，故，当且仅当即时等号成立，因当时，恒成立，得，故选：C4.若定义在R的奇函数，若时，则满足的x的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出时，、和的解，再由奇函数性质得出时，、和的解，然后分类讨论解不等式可得．【详解】当时，，时，，时，，，又是奇函数，所以时，，时，，且，不等式或或，所以或，综上．故选：D．5.已知是定义在上的单调函数，则a的取值范围是（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由解析式及的单调性，结合一次函数性质列不等式组求参数范围.【详解】由为递减函数，且在上的单调函数，所以单调递减，则.故选：D6.函数的最大值为（）A.8B.C.2D.4【答案】A【解析】【分析】根据题意，由换元法，结合二次函数的最值，即可得到结果.【详解】设，则，即，所以，因为，所以当时，函数取得最大值为.故选：A7.已知函数的定义域为R，为偶函数，且对任意都有，若，则不等式的解为（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】由知，在上单调递增，结合偶函数，知其在在上单调递减即可解.【详解】对，满足，等价于函数在上单调递增， 又因为函数关于直线对称，所以函数在上单调递减.则可化为，解得.故选：B.8.定义在R上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件判断函数单调性，利用单调性比较函数值大小．【详解】∵函数图象关于对称，且对任意，当时都有，∴在上单调递减，在单调递增，，∵，∴，∴．故选：B．二、多选题9.下列函数中，值域为的是（）A.，B. C.，D.【答案】AC【解析】【分析】根据基本初等函数函数的性质判断A、B、C，利用基本不等式计算D.【详解】对于A：函数，在定义域上单调递增，又，，所以，故A正确；对于B：由，所以，即，故B错误；对于C：函数，在定义域上单调递增，又，，所以，故C正确；对于D：因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，故D错误；故选：AC10.下列说法正确的是（）A.若幂函数过点，则B.函数表示幂函数C.若表示递增的幂函数，则D.幂函数的图像都过点，【答案】AC【解析】【分析】利用幂函数的定义、性质，逐项分析判断作答.【详解】对于A，设，则，即，解得，，A正确；对于B，函数不是幂函数，B错误；对于C，是幂函数，则，解得或，当时，在上单调递减，不符合题意， 当时，是R上的增函数，符合题意，因此，C正确；对于D，幂函数不过点，D错误.故选：AC11.下列说法正确的是（）A.任何集合都是它自身的真子集B.集合共有4个子集C.集合D.集合【答案】BC【解析】【分析】A选项，举出反例；B选项，根据元素个数求出子集个数；C选项，两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，C正确；D选项，举出，但，D错误.【详解】对于A，空集不是它自身真子集，故A错误；对于B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，故B正确；对于C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确；对于D，因为，当时，，所以，但，故两个集合不相等，故D错误.故选：BC12.已知函数，以下结论正确的是（）A.为奇函数B.对任意的都有C.的值域是 D.对任意的都有【答案】AB【解析】【分析】根据奇函数定义确定A正确，变换计算函数单调性得到B正确，取，无解得到C错误，举反例得到D错误，得到答案.【详解】对选项A：，，则，函数为奇函数，正确；对选项B：当时，，函数单调递增，又函数为奇函数，故函数在上单调递增，即，正确；对选项C：取，得到，当时，，方程无解，当时，，不满足，不正确；对选项D：取，，则，，故，错误；故选：AB.第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明三、填空题13.设函数，则___________．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的知识求得正确答案. 【详解】，.故答案为：14.________．【答案】【解析】【分析】根据指数幂的性质进行计算.【详解】原式故答案为：15.若，且，则的最小值为______.【答案】8【解析】【分析】由可得，，再与相乘构建积定式,继而可用基本不等式求最小值.【详解】可得，，（当且仅当时取等号）.故答案为：8.16.已知实数、满足方程，当时，则的取值范围是______．【答案】【解析】 【分析】由题述条件可将所求化为关于的函数，结合即可求解.【详解】因为，所以，所以，不妨设，所以，因为，所以，所以的值域为，即的取值范围是.故答案为：.四、解答题17.已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.（1）求实数的取值集合；（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意，在时恒成立，求在时的最大值即可；（2）分类讨论解不等式，由题意，是的真子集，列不等式求实数的取值范围.【小问1详解】由题意得在时恒成立，令，对称轴，结合图像可知，取得最大值， 则有，得，即.【小问2详解】不等式，①当，即时，解集，若是的充分不必要条件，则是的真子集，有，此时；②当，即时，解集，若是的充分不必要条件，则是的真子集，有，此时，综上①②可得实数的取值范围为.18.已知二次函数，恒有.（1）求函数的解析式；（2）设，若函数在区间上的最大值为3，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件得出关于的方程，解出即可；（2）根据对称轴与区间中点关系分类讨论求解即可.【小问1详解】由，得，则，所以且，解得，又，则，故．【小问2详解】，对称轴，当，即时，时，，解得； 当，即时，，时，，不合题意；当，即时，时，，解得（舍），综上，．19.已知函数是定义在上的函数，恒成立，且.（1）确定函数的解析式并证明判断在上的单调性；（2）解不等式.【答案】（1），函数在区间上单调递增，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据条件及奇函数的性质，求出，，即可求出的解析式，再利用定义即可证明在上的单调性；（2）利用函数在上的奇偶性和单调性，即可求出结果.【小问1详解】因为函数是定义在上的函数，且恒成立，所以，又，所以，得到，当，时，，，所以，，满足题意，故函数的解析式为，函数在区间上单调递增，证明如下，任取，且，， 因为，且，所以，，，又易知，，所以，即，所以，函数在区间上单调递增.【小问2详解】因为函数是定义在上奇函数，且在区间上单调递增，所以，由，得到，所以，即，解得，所以，原不等式的解集为.20.已知函数是定义在上的奇函数.（1）求实数的值；（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件，利用奇函数的性质即可求出结果；（2）由（1）得到，再求的值域，即可求出结果.【小问1详解】因为函数是定义在上的奇函数，则，得到，解得，经检验满足题意， 故实数的值为.【小问2详解】由（1）知，，当时，，又的对称轴为，所以当时，，当时，，又的对称轴为，所以当时，，所以，当时，，故不等式恒成立时，，所以实数的取值范围21.A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上.根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元.已知学生家长与教师的人数之比为，从A到B的火车票价格（部分）如下表所示：运行区间公布票价学生票上车站下车站一等座二等座二等座AB81（元）68（元）51（元）（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？（2）由于各种原因，二等座火车票只能买x张（x小于参加社会实践的人数），其余的需买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式.（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？【答案】（1）10人、20人与180人；（2）；（3）至少要花11233元，最多要花16980元.【解析】 【分析】（1）设出老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，列出方程组，求出结果；（2）分与两种情况进行求解；（3）在第二问基础上分别求出购买火车票的总费用，比较后得到至少要花11233元，最多要花16980元.【小问1详解】设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座火车票，依题意得：， 解得，则.答：参加社会实践的老师、家长与学生各有10人、20人与180人.【小问2详解】由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，①当时，最经济的购票方案为：学生都买学生票共180张，名成年人买二等座火车票，名成年人买一等座火车票.所以火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：，即.②当时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x张，其余的学生与家长、老师一起购买一等座火车票共张.所以火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：，即.综上：【小问3详解】由（2）知，当时，，由此可见，当时，y的值最小，最小值为11233元，当时，y的值最大，最大值为11610元.当时，，由此可见，当时，y的值最小，最小值为11640元，当时，y的值最大，最大值为16980元. 所以按（2）小题中的购票方案，购买单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元.22.定义在上的函数满足对任意的x，，都有，且当时，．（1）求证：函数是奇函数；（2）求证：在上是减函数；（3）若，对任意，恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）.【解析】【分析】（1）利用赋值法以及奇函数的定义进行证明.（2）根据已知条件，利用单调性的定义、作差法进行证明.（3）把恒成立问题转化为函数的最值问题进行处理，利用单调性、一次函数进行处理.【小问1详解】令，，得，所以．令，得，即，所以函数是奇函数．小问2详解】设，则，所以．因为，，，所以，即，所以．又，所以，所以，所以，即．所以在上是减函数．【小问3详解】由（2）知函数在上是减函数， 所以当时，函数的最大值为，所以对任意，恒成立等价于对任意恒成立，即对任意恒成立．设，是关于a的一次函数，，要使对任意恒成立，所以，即，解得或，