浙江省杭州高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题（Word版附答案）

浙江省杭州高级中学2023-2024学年第一学期期中考试试题高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若x∈{1,2,x2}，则x的可能值为(    )A.0，2B.0，1C.1，2D.0，1，22.命题p: ∀x∈N, x3>x2的否定为(    )A.∀x∈N, x3≤x2B.∃x∉N, x3≤x2C.∃x∈N, x3≤x2D.∃x∈N, x3<x23.若a，b，c∈R，a<b<0，则下列不等式正确的是(    )A.1a<1bB.ab<b2C.a|c|>b|c|D.a(c2+1)<b(c2+1)4.已知函数y=f(2x)的定义域为[1,2]，则函数y=f(x+1)x-1的定义域为(    )A.[-1,1)B.(1,3]C.[0,3]D.[0,1)∪(1,3]5.使“2x+11-x≥0”成立的一个必要不充分条件是(    )A.-12≤x≤1B.-12≤x<1C.x≤-12或x≥1D.x≤-12或x>16.因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油.现张先生本周按照以下两种方案加油(两次加油时油价不一样)，甲方案：每次购买汽油的量一定;乙方案：每次加油的钱数一定.问哪种加油的方案更经济(    )A.甲方案B.乙方案C.一样D.无法确定7.已知定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减，定义在R上的偶函数g(x)在(-∞,0]上单调递增，且f(1)=g(1)=0，则满足f(x)g(x)>0的x的取值范围是(    )A.(-∞,-1)∪(-1,0)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(-1,1)8.已知函数f(x)=2x2-1,g(x)=ax,x∈R，用Mx表示fx,gx中的较大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)}，若Mx的最小值为-12，则实数a的值为(    )A.0B.±1C.±2D.±2 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是(    )A.f(x)=3x3与g(t)=t是同一函数B.奇函数的图象一定过点(0,0)C.对于任何一个函数，如果因变量y的值不同，则自变量x的值一定不同D.函数f(x)=1x在其定义域内是单调递减函数10.函数f(x)=ax2+2x+1与g(x)=xa在同一坐标系中的图象可能为(    )A.B.C.D.11.已知f(x)=x2,x≥5,12f(x+1),x<5，则(    )A.2f(4)=f(5)B.2f(5)=f(6)C.f(1)=1532D.当x∈[4,5),f(x)=(x+1)2212.对于定义在D函数f(x)若满足：①对任意的x∈D，f(x)+f(-x)=0;②对任意的x1∈D，存在x2∈D，使得f(x1)+f(x2)2=x1+x22;则称函数f(x)为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为(    )A.f(x)=2xB.f(x)=x2,0<x<1-x2,-1<x<0C.f(x)=1xD.f(x)=|x-1x+1|三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.化简求值：0.027-13+(8)43-3-1+(2-1)0=__________.14.函数f(x)=(12)|x-1|的单调递减区间为__________，值域为__________.15.已知函数f(x)=ax2-(2-a)x+1，g(x)=x，若对于任意实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数a的取值范围是__________. 16.已知函数f(x)=x3+2x-12x+1+5，若实数a、b满足f(2a2)+f(b2-2)=10，则a1+b2的最大值为__________四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设集合A=x-1≤x≤2，B=x2m<x<1，C=xx<-1或x>2.(1)若A∩B=B，求实数m的取值范围；(2)若B∩C中只有一个整数，求实数m的取值范围．18.已知函数gx=2x+b2x-b，b为非零常数．(1)当b<0时，试判断函数y=gx的单调性，并用定义证明；(2)当b=-1时，不等式gx2+1+g3-ax>0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．19.老李是当地有名的养鱼技术能手，准备承包一个渔场，并签订合同，经过测算研究，预测第一年鱼重量增长率200%，以后每年的重量增长率是前一年重量增长率的一半，但同时因鱼的生长，会导致水中的含氧量减少，鱼生长缓慢，为确保鱼的正常生长，只要水中的含氧量保持在某水平线以上。现知道水中含氧量第一年为8个单位，经科技人员处了解到鱼正常生长，到第三年水中含氧量为4.5个单位，含氧量y与年份x的函数模型为y=kax(k>0,0<a<1)，当含氧量少于8132个单位，鱼虽然依然生长，但会损失5%的总重量，当某一年的总重量比上一年总重量开始减少时就应该适时捕捞，此时也是签合同适宜的最短时间.(1)试求出含氧量模型函数关系式;(2)试求出第几年开始鱼生长因含氧量关系导致会缓慢并出现损失;(3)求出第n+1年鱼的总重量an+1与第n年鱼的总重量an的关系式(不用证明关系式，n为整数)，并求出签合同适宜的最短时间是多少年?20.对于定义域为I的函数fx，如果存在区间m,n⊆I，使得fx在区间m,n上是单调函数，且函数y=fx，x∈m,n的值域是m,n，则称区间m,n是函数fx的一个“优美区间”．(1)判断函数y=x2(x∈R)和函数y=3-4x(x>0)是否存在“优美区间”，如果存在，写出符合条件的一个“优美区间”？(直接写出结论，不要求证明)(2)如果m,n是函数fx=a2+ax-1a2x(a≠0)的一个“优美区间”，求n-m的最大值． 浙江省杭州高级中学2023-2024学年第一学期期中考试试题高一数学参考答案1.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了集合中元素的互异性，属于基础题．利用集合中元素的互异性分类讨论求解即可．【解答】解：∵x∈{1,2,x2}，当x=1时，{1,2,x2}={1,2,1}，不满足集合中元素的互异性；当x=2时，{1,2,x2}={1,2,4}，满足集合中元素的互异性；当x=x2，即x=0或x=1(舍)时，{1,2,x2}={1,2,0}，满足集合中元素的互异性；∴x=0或x=2.故选A.2.【答案】C 【解析】【分析】本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定，属于基础题.【解答】解：全称量词命题的否定是存在量词命题，故命题p的否定为：∃x∈N,x3⩽x2.3.【答案】D 【解析】【分析】本题考查不等式的性质的综合应用，掌握不等式的性质是解题的关键，属于基础题.利用不等式的性质，这个判断四个选项即可判断.【解答】解：对于A，由a<b<0，则0>1a>1b，故选项A不正确；对于B，由a<b<0，则ab-b2=b(a-b)>0,故ab>b2，故选项B不正确；对于C，当c=0时，ac=bc，当c≠0时，ac<bc，故选项C不正确；对于D，由c2+1>0，a<b<0，所以ac2+1<bc2+1，故选项D正确. 故选：D.4.【答案】B 【解析】【分析】本题考查抽象函数的定义域求解，需要充分理解定义域的具体含义，为基础题.【解答】解：函数y=f(2x)的定义域为[1,2]，则有fx的定义域为2,4，则函数y=f(x+1)x-1的定义域满足2≤x+1≤4x≠1，即该函数的定义域为(1,3].5.【答案】A 【解析】【分析】本题考查必要不充分条件的概念及应用，以及分式不等式的求解.【解答】解：2x+11-x≥0，可得2x+1x-1≤0，且x≠1.可得-12≤x<1，结合选项找必要不充分条件，则为-12≤x≤1，为选项A.6.【答案】B 【解析】【分析】本题考查根据实际问题中用作差法比较大小，属于基础题.设两次加油的油价分别为x元/升、y元/升，分别写出两种方案两次加油的平均价格，比差即可得结论.【解答】解：设两次加油的油价分别为x元/升，y元/升(x,y>0,且x≠y)，甲方案每次加油的量为a升(a>0)，则甲方案的平均油价为：ax+ay2a=x+y2;乙方案每次加油的钱数为b元(b>0)，乙方案的平均油价为：2bbx+by=21x+1y=2xyx+y；因为x+y2-2xyx+y=(x-y)22(x+y)>0，所以x+y2>2xyx+y，即乙方案更经济.故选B.7.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性以及单调性，属于中档题．根据函数奇偶性以及单调性可得当x<-1或0<x<1时，f(x)>0，当-1<x<0或x>1时，f(x)<0，当x<-1或x>1时，g(x)<0，当-1<x<1时，g(x)>0，从而可解．【解答】解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0，又f(1)=0，则当x<-1或0<x<1时，f(x)>0，当-1<x<0或x>1时，f(x)<0，又因为g(x)是定义在R上的偶函数，且g(1)=0，则当x<-1或x>1时，g(x)<0，当-1<x<1时，g(x)>0，则当f(x)g(x)>0时，0<x<1或x>1，故选：C.8.【答案】B 【解析】【分析】本题考查函数的新定义问题，考查函数的最值，属于一般题.先画出两个函数的图象，得到Mx的图象，根据最小值为-12进行数形结合可知，交点处函数值为-12，计算即得结果.【解答】解：依题意，先作两个函数f(x)=2x2-1,g(x)=ax,x∈R的草图(图中a的正负情况对解题过程不影响)，因为M(x)=max{f(x),g(x)}，故草图如下：可知在交点A出取得最小值-12，令2x2-1=-12，得x=±12，故A±12,-12，代入直线g(x)=ax，得-12=±12a， 故a=±1.故选：B.9.【答案】AC 【解析】【分析】本题考查函数的定义和性质，属于基础题.【解答】解：f(x)=3x3=x与g(t)=t是同一函数，故A正确;奇函数的图象不一定过(0,0)点，故B错误;函数中一个x值只能对应一个y值，如果y值不同，则x值肯定不同，故C正确;f(x)=1x的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞)，但不能说在其定义域内单调递减，故D错误.10.【答案】ACD 【解析】【分析】本题考查函数图象特征与对应参数取值范围的关系，理解基本函数图象的特征是解答本题的关键，此类题通常是假定一个正确，从而来检验两者之间是否有矛盾．先假定函数g(x)=xa的图象正确，得出相应的参数a的范围，再由此判断函数f(x)=ax2+2x+1图象是否符合这一特征，即可得出正确选项．【解答】解：对于A选项，函数g(x)=xa正确，可得出a<0，此时二次函数图象开口向下，对称轴x=-1a>0，所给图象符合这一特征，故可能是A；不可能是B；对于选项C，函数g(x)=xa正确，可得出a>0，此时二次函数图象开口向上，对称轴x=-1a<0，所给图象符合这一特征，故可能是C；对于选项D，函数g(x)=xa正确，可得出a>0，此时二次函数图象开口向上，对称轴x=-1a<0，所给图象符合这一特征，故可能是D；故选：ACD.11.【答案】AD 【解析】【分析】本题主要考查分段函数的解析式与求值，属于中档题.根据分段函数的解析式，逐项分析即得.【解答】解：因为fx=x2,x≥512fx+1,x<5，所以f4=12f5，即2f4=f5，故A正确；所以f5=25,f6=36，2f5≠f6，故B错误； 所以f(1)=12f(2)=14f(3)=18f(4)=116f(5)=2516≠1532，故C错误；当x∈4,5时，x+1∈5,6,所以fx=12fx+1=x+122，故D正确.故选：AD.12.【答案】ABC 【解析】【分析】本题考查新函数的判定，函数新定义问题，属于中档题目．由条件得出“等均值函数”在定义域内为奇函数，结合新定义对选项进行逐一判断即可.【解答】解：对于A：f(-x)=-2x，所以f(x)+f(-x)=0，满足①；对任意的x1∈R，存在x2=-x1∈R，使得f(x1)+f(x2)2=2x1+2x22=x1+x2=0=x1+x22，满足②，A正确；对于B：当0<x<1时，-1<-x<0，f(-x)=-x2，f(x)+f(-x)=0，当-1<x<0时，同理可得f(x)+f(-x)=0，即f(x)满足①；对任意的x1∈(-1,0)，存在x2=x1+1∈(0,1)，f(x1)+f(x2)2=-x12+x222=(x2+x1)(x2-x1)2=x1+x22，满足②，B正确；对于C：f(-x)=1-x，所以f(x)+f(-x)=0，满足①；对任意的x1∈(-∞,0)∪(0,+∞)，存在x2=1x1∈(-∞,0)∪(0,+∞)，使得f(x1)+f(x2)2=1x1+1x22=x1+x2x1x22=x1+x22，满足②，C正确；对于D：定义域是x≠-1，对于任意的x，当x=1时，没有对应的-x使得f(x)+f(-x)=0成立，不满足①，D错误；故选：ABC.13.【答案】8 【解析】【分析】本题考查指数幂的化简求值，为基础题.【解答】解：0.027-13+843-3-1+2-10=0.3-1+4-13+1=8.14.【答案】(1,+∞) ； (0,1] 【解析】【分析】 本题主要考查复合函数的值域和单调区间，考查指数函数的性质，属于基础题.根据指数函数的性质可得值域，根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调区间.【解答】解：定义域为R，∵|x-1|≥0，∴0<f(x)≤1，∴值域为(0,1].设y=(12)u，u=|x-1|，∴u在区间(-∞,1)上单调递减，在区间(1，+∞)上单调递增，∵y=(12)u为减函数，∴y=(12)|x-1|在区间(-∞,1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减.故答案为(1,+∞)；(0,1].15.【答案】[0,4+23), 【解析】【分析】本题主要考查了恒成立问题中求解参数范围，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．问题转化为当x<0时，f(x)=ax2-(2-a)x+1>0恒成立，然后对a是否为0进行分类讨论，结合二次函数的性质及一次函数性质可求．【解答】解：当x≥0时，g(x)≥0，当x<0时，g(x)<0，因为对于任意实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数，故当x<0时，f(x)=ax2-(2-a)x+1>0恒成立，当a<0时显然不成立，当a=0时，f(x)=-2x+1>0对x<0时恒成立，满足题意，当a>0时，函数图象开口向上，对称轴x=2-a2a，①若2-a2a≥0，即0<a≤2时，函数f(x)在x<0时单调递减，f(0)=1，故f(x)>0对x<0时恒成立，满足题意；②若2-a2a<0，即a>2时，f(x)min=f(2-a2a)=4a-(2-a)24a>0，解得4-23<a<4+23，综上，0≤a<4+23.16.【答案】324 【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性的应用，考查分类讨论等，为较难题.【解答】解：令gx=fx-5=x3+2x-12x+1，g-x=-x3+2-x-12-x+1=-x3+2x-12x+1=-gx，故gx为奇函数，f2a2-5=-fb2-2-5，即g2a2=-gb2-2，可知2a2=-b2+2，即b2=2-2a2成立，则a∈-1,1，当-1≤a≤0时，a1+b2恒小于或等于0，当0<a≤1时，a1+b2=a-2a2+3=-2a4+3a2=-2a2-342+98≤324.综上a1+b2的最大值为324.17.【答案】解：(1)因为A∩B=B，所以B⊆A.①当B≠⌀时，由B⊆A，得2m<12m≥-1，解得-12≤m<12；②当B=⌀，即m≥12时，B⊆A成立．综上，实数m的取值范围是mm≥-12.(2)因为B∩C中只有一个整数，所以B≠⌀，且-3≤2m<-2，解得-32≤m<-1，所以实数m的取值范围是m-32≤m<-1. 【解析】本题主要考查集合交集的性质，集合之间的关系，属于基础题.(1)根据集合交集的性质，可得两集合之间的关系，分类讨论是否为空集，列出不等式，可得答案；(2)由题意，明确交集中的唯一的整数，结合这个整数，列出不等式，可得答案.18.【答案】(1)解：因为gx=2x+b2x-b=1+2b2x-b，所以，由指数型复合函数单调性可判断：函数y=gx在定义域上为单调增函数．证明：∵b<0时，∴2x-b>0对x∈R恒成立，∴函数y=gx的定义域为R，任取x1,x2∈R且x1<x2，则2x1-b>0，2x2-b>0，∵gx=2x+b2x-b=1+2b2x-b， ∴gx2-gx1=1+2b2x2-b-1+2b2x1-b=2b2x2-b-2b2x1-b =2b2x1-2x22x2-b2x1-b=2b×2x11-2x2-x12x2-b2x1-b ， ∵x1<x2，∴x2-x1>0，∴2x2-x1>20=1，∴1-2x2-x1<0，又∵b<0， 2x1>0，2x1-b>0，2x2-b>0，∴gx2-gx1>0，即g(x2)>g(x1)，∴函数y=gx在x∈R为单调增函数．(2)解：当b=-1时，gx=2x-12x+1 ，∴由(1)知函数y=gx在x∈R为单调增函数，∵函数y=gx的定义域为x∈R，关于原点对称， 又g-x=2-x-12-x+1=1-2x2x+1=-gx≠gx，∴函数y=gx为R上的奇函数，∴不等式gx2+1+g3-ax>0对x∈R恒成立等价于gx2+1>-g3-ax=gax-3 对x∈R恒成立，∴x2+1>ax-3对x∈R恒成立，∴x2-ax+4>0对x∈R恒成立，∴Δ=a2-16<0，解得-4<a<4 .∴实数a的取值范围是-4,4 . 【解析】本题考查判断并证明函数的单调性、函数单调性、奇偶性的综合应用，属于较难题.(1)gx=1+2b2x-b，进而结合指数型复合函数判断，再根据函数单调性的定义证明即可；(2)结合(1)得y=gx在x∈R为单调增函数，再判断函数的奇偶性得y=gx为奇函数，再根据单调性与奇偶性得x2-ax+4>0对x∈R恒成立，进而根据二次不等式恒成立求解即可.19.【答案】解：(1)含氧量y与年份x的函数模型为y=kax(k>0,0<a<1)，由已知条件知8=ka4.5=ka3，a=34k=323，即y=8⋅(34)x-1(x∈N).(2)8⋅(34)x-1<8132，可得x-1>4，即x>5，所以从第6年开始生长缓慢并出现损失.(3)由题意和(2)可知，当n≤5时an+1=(1+12n-2)an，当n≥6时，an+1=(1+12n-2)an⋅95%当n≤5时，显然是递增，当n≥6时an+1<an即：(1+12n-2)an⋅95%<an2n-2>19，n≥7，故签7年.  【解析】本题考查指数函数模型的实际应用，为中档题.20.【答案】解：(1)y=x2≥0，y=x2在[0,+∞)上单调递增，由x2=x得x=0或1，存在优美区间是[0,1]；y=3-4x(x>0)是增函数，若存在优美区间[m,n]，则3-4m=m,3-4n=n,无解，不合题意，因此，不存在优美区间.(2)由f(x)=(a2+a)x-1a2x=a+1a-1a2x在(-∞,0)和(0,+∞)上均为增函数，已知f(x)在“优美区间”[m,n]上单调，所以[m,n]⊆(-∞,0)或 [m,n]⊆(0,+∞)，且f(x)在[m,n]上为单调增，则同理可得f(m)=m，f(n)=n，即m，n(m<n)是方程a+1a-1a2x=x的两个同号的实数根，等价于方程a2x2-(a2+a)x+1=0有两个同号的实数根，并注意到mn=1a2>0，则只要△=(a2+a)2-4a2>0，解得a>1或a<-3，而由韦达定理知n+m=a2+aa2=a+1a,mn=1a2，所以n-m=(n+m)2-4mn=(a+1a)2-4a2=-3a2+2a+1=-3(1a-13)2+43，其中a>1或a<-3，所以当a=3时，n-m取得最大值233.